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Polyedralzahl

[317] Polyedralzahl (v. gr.). Werden mehre reguläre Polyeder von gleicher Seiten- u. Eckenzahl so in einander gelegt, daß alle eine Ecke mit einander gemeinschaftlich haben; werden ferner auf jede Kante des ersten 2, auf jede des zweiten 3 Punkte u. so fort gestellt, u. wendet man endlich auf die Seitenflächen des Polyeders das unter Polygonalzahl angedeutete Verfahren an: so heißt die Anzahl sämmtlicher Punkte, welche ein solches Polyeder enthält, eine P. Da es nur 5 reguläre Körper gibt, so ist die Anzahl der Reihen der P. ebenfalls auf 5 beschränkt. Sie sind Glieder von arithmetischen Reihen dritter Ordnung, deren Anfangsglied 1 ist, u. werden, wie die Polygonalzahlen, nach den griechischen Namen der regulären Körper bezeichnet. Die allgemeinen Glieder dieser Reihen sind für die Tetraedralzahlen ¹/₆ n (n + 1) (n + 2); für die Oktaedralzahlen ¹/₃ n (2 n² + 1); für die Hexaedralod. Würfelzahlen n³; für die Ikosaedralzahlen ¹/₂ n (5 n₂ – 5 n + 2); für die Dodekaedralzahl ¹/₂ n (9 n² –9 n + 2). Demnach erhält man, wenn nach einander 1,2,3,_.... statt n gesetzt wird, die

Marpurg in seinem Progressionalcalcul, Berl. 1774, hat sich mit diesen Zahlen beschäftigt. Die P. sind mit den Polygonalzahlen verwandt.