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Gerade

[394] Gerade, eine Linie, welche in allen ihren Punkten gleiche Richtung besitzt und welche ihre Lage bei Drehung um zwei ihrer Punkte nicht ändert; sie ist unbegrenzt und strebt auf beiden Seiten einem und demselben unendlich fernen [394] Punkte zu. Keiner ihrer Punkte ist vor dem andern ausgezeichnet. Eine von einem Punkt begrenzte Gerade heißt Strahl, eine von zwei Punkten begrenzte heißt Strecke.

Gerade in der Ebene. Es gibt ∞² Gerade in der Ebene; die Gleichung einer beliebigen derselben ist vom ersten Grad: A x + B y + C = 0 oder homogen A x + B y + C ω = 0. Mit A = 0, B = 0 wird die Gerade resp. parallel zur x-, y-Achse; mit C = 0 geht sie durch den Ursprung. x = 0, y = 0 ist resp. die Gleichung der y-, x-Achse; ω = 0 die Gleichung der unendlich fernen Geraden, welche die unendlich fernen Punkte aller Geraden enthält. Eine Gerade ist durch zwei ihrer Punkte (a, b) und (a', b') bestimmt; ihre Gleichung ist

oder in Parameterdarstellung

Die Achsenabschnitte der Geraden

ihre Koordinaten A/C, B/C oder homogen A : B : C. Winkel ψ der Geraden G = 0 mit G' = A' x + B' y + C' z = 0 ist:

wo

Die Geraden sind parallel, d.h. sie schneiden sich im Unendlichen, wenn A : B = A' : B'. Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn A A' + B B' = 0. Hessesche Normalform der Geradengleichung: x cos α + y sin α = d; dabei ist d = – C/W die Entfernung der Geraden vom Ursprung (das Vorzeichen von W wird so bestimmt, daß d positiv wird), α ist der Neigungswinkel der Geraden gegen die y-Achse. Abstand des Punktes a, b von der Geraden

je nachdem der Punkt mit dem Ursprung auf {derselben/verschiedener} Seite er Geraden liegt. Abstand zweier parallelen Geraden A x + B y + C = 0 und A x + B y + C' = 0 ist: C – C'/W Medianenpaar von G = 0 und G' = 0 ist G/W ± G'/W' = 0. Zwei Gerade G = 0 und G' = 0 bestimmen einen Punkt

mit den Koordinaten

ist irgend eine Gerade durch denselben und stellt, wenn λ veränderlich ist, ein Strahlenbüschel mit jenem Punkt als Mittelpunkt dar. Zwei projektivische Strahlenbüschel

erzeugen einen Kegelschnitt

Zwei Gerade G = 0, G' = 0, G'' = 0 schneiden sich in einem Punkt, wenn:

Andernfalls kann eine Gleichung jeder Geraden auf die Form G + λ' G + λ' G' = 0 gebracht werden. Polargleichung der Geraden ist r cos (φ – α) = p.

Gerade im Raum. Es gibt ∞⁴ Gerade im Raum; eine beliebige derselben ist gegeben durch zwei Gleichungen ersten Grades

Ihre Koordinaten sind die Determinanten der Matrix

Richtungskoordinaten sind

Stellungskoordinaten sind:

Zwischen den sechs Verhältniskoordinaten besteht immer die Beziehung p π + q x + r ρ = 0 Zwei Gerade schneiden sich nur, wenn p π' + q x' + r ρ' + x q' ρ r' = 0. Mit (a, b, c; α, β, γ) wird eine Gerade bezeichnet, welche durch den Punkt (a, b, c) geht und mit den Achsen die Winkel (α, β, γ) bildet. Ihre Gleichungen sind x – a/cos α = y – b/cos β = z – c/cos γ wobei cos² α + cos² β + cos² γ = 1. Winkel ψ zweier Geraden G = (a, b, c, α, β, γ) und G' = (a, b, c; α', β', γ') ist cos ψ = cos α cos α' + cos β cos β' + cos γ cos γ' oder

Winkel ϑ der Geraden G mit der Ebene A x + B y + C z + D = 0 ist

Beide stehen senkrecht, wenn A cos α + B cos β + C cos γ = 0. Drei Gerade von den Richtungen (α, β, γ; α', β', γ'; α'', β'', γ'') gehören derselben Stellung an, d.h. sind einer und derselben Ebene parallel, wenn

Entfernung e des Punktes (a', b', c') von der Geraden (a, b, c; α, β, γ) ist gegeben durch

Kürzester Abstand k der Geraden G und

wo ψ der Winkel beider Geraden.[395]

Literatur: [1] Salmon, G., Analytische Geometrie der Kegelschnitte, bearbeitet von Fiedler, 4. Aufl., Leipzig 1878, Kap. 2 und 3. – [2] Ders., Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 1. Teil, 3. Aufl., Kap. 3, Leipzig 1879. – [3] Clebsch, A., Vorlesungen über Geometrie, herausgegeben von Lindemann, Bd. 1, Abt. 1, Kap. 2, Leipzig 1876; Bd. 2, Abt. 1, Kap. 4, Leipzig 1891.

Wölffing.