Polygonometrie

[187] Polygonometrie, die Lehre von der Ausmessung der Polygone.

Ein polygonaler Zug bestehe aus den (n + 1) Punkten x₀ y₀, x₁y₁, ... x_ny_n, die durch die Seiten von den Längen l₁l₂ ... l_n und den Richtungswinkeln α₁ α₂ ... α_n verbunden sind. Die Polygonwinkel seien ß₁ß₂ ... ß_n – 1. Sind die Seiten und die Polygonwinkel nebst den Koordinaten x₀y₀ des Anfangspunkts und dem Richtungswinkel α₁ der ersten Seite gegeben, so ist α₂ = α₁ + 180° + β₁; α₃ = α₂ +180° + β₂; ... α_n = α_n – 1 + 180° + β_n – 1; ferner x₁ = x₀ + l₁ cos α₁; x₂ = x₁ + l₂ cos α₂ ... x_n = x_n – 1 + ln cos α_n; y₁ = y₀ + l₁ sin α₁; y₂ = y₁ + l₂ sin α₂ ... y_n = y_n – 1 + l_n sin α_n. Fällt der Punkt x_ny_n mit x₀y₀ zusammen, so entsteht ein geschlossenes Polygon. Die algebraische Summe der Projektionen der Seiten eines geschlossenen Polygons auf eine beliebige Achse ist Null.

a) In einem Polygon sind alle Seiten außer ln – 1 und ln gegeben, ferner alle Winkel außer ßn – 1; ferner ist x_ny_n und α₁ gegeben. Nach Berechnung von x₁y₁, x₂y₂ ... x_n – 2, y_n – 2 und α₂ ... α_n – 1 wird α_n = α_n – 1 + 180 + β_n – 1; α₁ = α_n + 180 + β_n, woraus sich α_n und ß_n – 1 ergeben. Mit

b) In einem Polygon sind alle Seiten außer ln und alle Winkel außer ß_n – 1 und ß_n gegeben; ferner ist x_ny_n und α₁ gegeben. Nach Berechnung von x₁y₁ ... x_n – 1, y_n – 1 und α₂ ... α_n – 1 hat man

c) In einem Polygon sind alle Seiten und die Winkel außer β_n – 2, ß_n – 1, ß_n gegeben; ferner ist x_ny_n und α₁ gegeben. Man berechnet x₁y₁ ... x_n – 2 y_n – 2, α₂ ... α_n – 2. Man setzt nun

berechnet sodann die Winkel γ_n – 2, γ_n – 1, γ_n des Dreiecks aus den Seiten ln, d, l_n – 1. Alsdann, ist α_n – 1 = δ ± γ_n – 2 α_n = δ ± γ_n, also zwei verschiedene Lösungen. Endlich ist ß_n – 2 = α_n – 1 – α_n – 2 + 180°; ß_n – 1 = α_n – α_n – 1 + 180°; ß_n = α₁ – α_n + 180°.

Für die Fläche eines Polygons, dessen Ecken die Koordinaten x₁y₁ ... x_ny_n haben, ist:

Die Summen sind über k von 1 bis n zu nehmen.

Literatur: [1] Hammer, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, Stuttgart 1885, S. 187–205. – [2] Spitz, Lehrbuch der ebenen Polygonometrie, 2. Aufl., Leipzig 1881. – [3] Wellisch, Die Berechnungen in der praktischen Polygonometrie, Wien 1893.

Wölffing.