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Zentralbewegung

[983] Zentralbewegung. Geht die Richtung der Beschleunigung eines in Bewegung begriffenen Punktes fortwährend durch einen festen Punkt O hindurch, und ist ihre Größe nur von der Entfernung des Punktes von O abhängig, so heißt die Bewegung des Punktes eine Zentralbewegung und O das Zentrum derselben.

Wählt man O zum Pol eines Polarkoordinatensystems der r, ϑ, so ist die Komponente der Beschleunigung senkrecht zum Radiusvektor r gleich Null, und es gelten die beiden Gleichungen (s. Beschleunigung, Bd. 1, S. 717 unten) d²r/dt² – r(d ϑ/d t)² = – φ und 1/r d/d t (r² dϑ/dt) = 0, wobei die Beschleunigung φ positiv nach dem Zentrum hin gerichtet ist. Die letztere Gleichung gibt r² d ϑ : d t = C, wo die Konstante C durch die Anfangsbedingungen der Bewegung zu bestimmen ist. Es ist aber ¹/₂r²d ϑ : d t = d S : d t die Sektorengeschwindigkeit des Radiusvektors (s. Bd. 3, S. 592), und diese ist mithin für die Zentralbewegung eine Konstante ¹/₂C. Ist der Abstand p der Tangente vom Pol O, so ist d S = ¹/₂p d s, wenn d s das Bogenelement und daher v = d s : d t die Geschwindigkeit ist, also p v = C, d.h. für jede Zentralbewegung ist das Moment der Geschwindigkeit in bezug auf den Pol konstant, oder die Geschwindigkeit des Punktes ist ihrem Abstande vom Pol umgekehrt proportional. Die Bahn des Punktes ist für jede Zentralbewegung eine ebene Kurve, deren Ebene das Zentrum enthält, denn die Beschleunigung φ fällt in die Schmiegungsebene, und diese enthält mithin stets das Zentrum. Sie ist aber die Ebene zweier aufeinander folgender Tangenten, und es fallen daher alle Schmiegungsebenen in eine zusammen, da jede von ihnen durch eine Tangente und das Zentrum bestimmt ist. Eliminiert man aus beiden obigen Gleichungen das Zeitelement, so gelangt man zur Differentialgleichung der Bahn in Polarkoordinaten. Setzt man 1 : r = u. so wird dieselbe (d²u/dϑ² + u) u² = φ : C². Ist die Bahn bekannt und etwa u = f(ϑ) ihre Gleichung, so dient diese Gleichung zur Bestimmung der Beschleunigung φ als Funktion von u oder ϑ. In rechtwinkligen Koordinaten x, y, deren Ursprung der Pol O ist, sind die Differentialgleichungen der Zentralbewegung d²x/dt² + x/r φ = 0, d²y/dt² + x/r φ = 0. Außer dem Prinzip der Flächen (Bd. 7, S. 237) gilt für die Zentralbewegung auch das Prinzip der lebendigen Kraft (Bd. 7, S. 239). Beide Prinzipe liefern die beiden ersten Integrale der Bewegungsgleichungen r²d ϑ/d t = C und ¹/₂ v² = U + h, wenn U die Kräftefunktion bezeichnet und

Man erhält hiermit als zweite Integrale

Eine der wichtigsten Zentralbewegungen ist die Planetenbewegung, welche dem Newtonschen Gesetze φ = entspricht (s. Keplers Gesetze, Bd. 5, S. 431). Für sie gelten die Gleichungen

wo H = v₀² – 2μ/r₀. Die Differentialgleichung der Bahn liefert, wenn ψ den Winkel bezeichnet, den der Radiusvektor r mit dem kleinsten Radiusvektor r₀ bildet, r = p/(1 + ε cos ψ), wo [983]

Dies ist die Gleichung eines Kegelschnittes, dessen einer Brennpunkt das Zentrum O, dessen Parameter 2p und dessen numerische Exzentrizität ε ist. Derselbe ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem v₀² kleiner, gleich oder größer als 2μ : r₀ ist. Die weitere Entwicklung dieser Theorie liefert die Koordinaten r, ψ als Funktionen der Zeit t (Keplersches Problem) mit Hilfe der exzentrischen Anomalie.

Literatur: Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879, Bd. 1, S. 373–387; Appell, Traité de mécanique rationnelle, Paris 1898, T. 1, S. 354–376: Routh, Treatise on dynamics of a particle, Cambridge 1898, S. 197–303.

(† Schell) Finsterwalder.