Zahl

[832] Zahl, eine Menge von Einheiten derselben Art (s. Einheit). Die aus diesen gebildete Größe selbst heißt benannte oder konkrete Z. (z. B. 6 Pfund, 8 Mark); die bloße Menge der Einheiten, also der Begriff einer bestimmten Vielheit, ohne Rücksicht auf die Beschaffenheit der einzelnen Einheiten, aus denen die Vielheit besteht, heißt unbenannte, reine oder abstrakte Z. Die unbenannten Zahlen, zu denen man durch Betrachtung einer Menge von Einheiten gelangt, sind die sogen. ganzen oder natürlichen Zahlen, die man sich auch nacheinander entstanden denken kann, indem man zu einer Einheit (der Eins) noch eine hinzufügt und so den Begriff der Z. zwei erhält, dann durch Hinzufügung einer Einheit die Z. drei etc. Man bekommt auf diese Weise die ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung (die natürliche Zahlenreihe). Arithmetik und Algebra haben diese Zahlenreihe vervollständigt und erweitert durch Einführung der gebrochenen (rationalen) Zahlen (s. Bruch, S. 471) und der irrationalen Zahlen (s. Irrational); ferner durch die Unterscheidung zwischen positiven und negativen, reellen und imaginären oder komplexen Zahlen (s. d.). Außerdem teilt man noch alle Zahlen ein in algebraische (s. Algebra) und transzendente (s. d.). Daß der Zahlbegriff auch auf Mengen von unendlich vielen Einheiten derselben Art ausdehnbar ist, hat G. Cantor durch Einführung des Begriffs Mächtigkeit (s. d.) gezeigt Die ganzen Zahlen teilt man ein in Primzahlen und in zusammengesetzte Zahlen; die durch 2 teilbaren ganzen Zahlen unterscheidet man als gerade von den übrigen, den ungeraden. Zahlenebene nennt man die Ebene, in der man sich die sämtlichen komplexen Zahlen (s. d.) durch Punkte dargestellt denkt. Zahlkörper heißt jedes Gebiet von Zahlen, das insofern in sich abgeschlossen ist, als man stets wieder Zahlen des Gebietes erhält, wenn man beliebige dem Gebiete angehörige Zahlen entweder bloß durch Addition und Multiplikation oder durch Addition, Multiplikation und Division miteinander verknüpft. In diesem Sinne bilden z. B. sowohl alle ganzen Zahlen als auch alle rationalen Zahlen je einen Zahlkörper. Der Begriff Zahlkörper ist in der neuern Theorie der[832] algebraischen Zahlen von großer Wichtigkeit. Weiteres s. bei den Artikeln »Arithmetik, Irrational, Rational, Komplexe Zahlen, Primzahl«; über die Bezeichnung der Zahlen s. Ziffern; über ihre Bedeutung vgl. Dedekind, Was sind und was sollen Zahlen? (2. Aufl., Braunschw. 1893). – Platonische Z. heißt eine gewisse ganze Z., von der Platon im achten Buche seines Werkes über den Staat spricht, und welche die günstigste Zeit zur Erzeugung von körperlich und geistig wohlgebildeten Kindern bestimmen soll, weshalb sie auch die Heiratszahl genannt wird. Die Vorschriften, die Platon zur Berechnung dieser Z. gibt, sind aber noch nicht mit Sicherheit erklärt, so daß man nicht sagen kann, welche Z. Platon eigentlich gemeint hat. Vgl. Günther, Die Platonische Z. (»Leopoldina«, Bd. 18, Halle 1882). Neuerdings glaubt man die Platonische Z. aus Rechnungen erklären zu können, die man auf babylonischen Keilinschriften gefunden hat. Vgl. Hilprecht in »Babylonian Expedition of the University of Pennsylvania«. Serie A, Bd. 20, Teil 1 (Philadelphia 1906). Danach wäre es die Z. 12,960,000 = 60'. Andre rechnen die Z. 3600. 2592 heraus, das sind so viel Tage wie verfließen, bis der Frühlingspunkt infolge der Präzession (s. d.) seinen alten Stand wieder erreicht (das Jahr zu 360 Tagen gerechnet). Vgl. G. Albert, Die Platonische Z. als Präzessionszahl (Leipz. u. Wien 1907).