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Theilbruch

[465] Theilbruch (Partialbruch, einfacher Bruch). Unter einer gebrochenen Function einer veränderlichen Größe versteht man den Quotienten zweier ganzen Functionen derselben Veränderlichen, wie

u. nennt eine soche Function echtgebrochen, wenn, nachdem der Zähler u. Nenner nach Potenzen der Veränderlichen geordnet ist, der höchste Exponent von x im Zähler wenigstens um 1 kleiner ist, als im Nenner. So sind

echt gebrochene Functionen von x. Ist nun der Nenner einer echt gebrochenen Function ein Product aus Potenzen solcher Factoren, von denen keiner mit irgend einem andern einen gemeinschaftlichen Theiler (s.d.) hat u. deren Grundzahlen sämmtlich Functionen ersten Grades von x sind, so läßt sich jene gebrochene Function in ein Aggregat von so viel einzelnen echt gebrochenen Functionen verwandeln, als die Summe aller Exponenten des Nenners Einheiten enthält, so daß die Zähler dieser einzelnen Brüche von x unabhängige Größen, die Nenner aber aller successiven Potenzen der verschiedenen im gegebenen Nenner enthaltenen Grundzahlen bis Glied dieses Aggregats wird ein T. der gegebenen Function genannt; also in Formel: wenn der gegebene Bruch ist

so läßt sich derselbe verwandeln in

wo sämmtliche Zähler constante, x nicht enthaltende Größen sind. Das Verfahren, um diese Zähler zu bestimmen, ist folgendes: Man bringt die Summe aller Brüche auf einen gemeinschaftlichen Nenner, wo dann die Summe aller Zähler = f (x) sein muß, u. indem man nun nach der Methode der unbestimmten Coëfficienten die Glieder mit gleich hohen Potenzen von x vergleicht, erhält man λ + μ +....+ σ_– 1 Gleichungen ersten Grades mit eben so vielen Unbekannten. Auch kann man den Taylorschen Lehrsatz hierzu anwenden. Da nun jede beliebige algebraische Function F (x) von x sich in ein Product von Potenzen solcher Binome x – 1, x – m, .. zerlegen läßt, wobei 1, m, .. die Wurzeln der Gleichung F (x) = 0 sind, so ist hierdurch die Aufgabe gelöst, eine echt gebrochene Function ^{f (x)}/_{F (x)} in ein Aggregat von T. aufzulösen. Ist z.B. der gegebene Bruch

so sind die Wurzeln der Gleichung x³ – x² – x + 1 = 0, x₁ = –1, x₂ = –1, x₃ = +1 u. es findet sich der gegebene Bruch

Die Zerlegung einer gebrochenen Function in T-e ist nothwendig, wenn sie integrirt werden soll; sie ist zuerst von Leibnitz gelehrt worden.