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Bahn [1]

[470] Bahn. Die Bahn eines in Bewegung begriffenen Punktes ist die, Linie, die er beschreibt, d.h. der geometrische Ort aller Lagen, die er in dem Raum oder Systeme einnimmt, in dem die Bewegung stattfindet. Ist dieses System selbst in Bewegung, so heißt diese Bahn seine relative Bahn in diesem System oder in bezug auf dieses; ist es in Ruhe, seine absolute Bahn. Ist der Punkt frei, d.h. folgt er den seine Bewegung bestimmenden Beschleunigungen oder Kräften unmittelbar, so bildet sich die Bahn durch die Bewegung; ist seine Bewegung eine gezwungene, so ist ihm die Bahn vollständig oder zum Teil vorgeschrieben. Letzteres findet statt, wenn er genötigt ist, auf einer gegebenen Fläche zu bleiben. So sind die Planetenbahnen freie Bahnen, die Bahn eines Pendelpunktes ist eine gezwungene. Die Bahn eines Punktes kann eine gerade Linie oder eine Kurve sein; im letzteren Falle kann sie eine ebene Kurve oder eine Kurve doppelter Krümmung sein.

Sind x, y, z die Koordinaten des beweglichen Punktes zur Zeit t, nämlich

x =ψ(t), y = χ (t), z = ψ(t),

so stellen diese drei Gleichungen die Bahn analytisch dar. Aus dieser allgemeinen Darstellung derselben erhält man durch Elimination der vierten Variabelen t zwei Gleichungen zwischen zwei Koordinaten, welche die Projektionen der Bahn auf zwei Koordinatenebenen geben. Die drei Gleichungen selbst stellen die drei Projektionsbewegungen auf die Koordinatenachsen, d.h. die Bewegungen der drei Projektionen des Punktes auf diese Achsen dar. Ist der bewegliche Punkt gezwungen, sich auf einer gegebenen Kurve zu bewegen, so kann diese gleichfalls durch drei Gleichungen, wie die vorstehenden, gegeben sein, z.B.

x = f₁(ω), y = f₂(ω), z = f₃(ω),

worin ω irgendeine mit der Bewegung veränderliche Größe, z.B. einen Winkel, bedeutet, der als Funktion der Zeit gefunden werden kann. – Ist die Bahn z.B. eine Zylinderschraubenlinie, so sind deren Gleichungen

[470] wo h die Höhe des Schraubenganges, ω aber der Winkel ist, den der Radiusvektor der Projektion des beweglichen Punktes auf die xy-Ebene mit der x-Achse bildet.

Literatur: Schell, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung, 2. Aufl., September 1898.

(Schell) Finsterwalder.