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Dreieck [1]

[98] Dreieck. 1. Das ebene Dreieck (Dreiseit) besteht aus drei Ecken A B C und drei Seiten B C = a, C A = b und A B = c; es besitzt drei Winkel α, β und γ, wobei α + β + γ = 180°. Außenwinkel heißen die Winkel je einer Dreieckseite mit der Verlängerung einer andern; jeder derselben ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden oder das Supplement des anliegenden.

Besondere Dreiecke sind:

Das rechtwinklige mit einem rechten Winkel α = 90°. Die Gegenseite a desselben heißt Hypotenuse, die beiden andern b und c Katheten. Lehrsatz des Pythagoras: Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate über den Katheten, also a² = b² + c².

Das gleichschenklige mit zwei gleichen Seiten, die Schenkel heißen, während die dritte Basis genannt wird. Die Gegenecke der Basis heißt Spitze, die beiden andern Basisecken.

Das gleichschenklig-rechtwinklige mit α = 90°, β = γ = 45°.

Das gleichseitige mit α = β = γ = 60°.

Die Summe zweier Dreieckseiten ist größer als die dritte. Kongruenzsätze s. Kongruenz. Aehnlich sind zwei Dreiecke, wenn sie die Winkel, einzeln verglichen, gleich und daher die Seiten proportional haben. Satz des Ceva, s. Ceva; Satz des Menelaus, s. Menelaus.

Höhen sind die Lote von den Ecken auf die Gegenseiten; sie Schneiden sich alle im Höhenschnittpunkt und verhalten sich umgekehrt wie die Gegenseiten.

Schwerlinien sind die Verbindungslinien der Ecken mit den Mitten der Gegenseiten. Sie schneiden sich alle im Schwerpunkt und teilen sich daselbst im Verhältnis 2 : 1.

Medianen sind die Halbierungslinien der Dreieckswinkel; sie schneiden sich alle im Mittelpunkt des Inkreises, der alle Dreieckseiten berührt; sie teilen die Gegenseiten im Verhältnis der anliegenden Seiten. Je eine Mediane schneidet die Halbierungslinien der ihren Gegenseiten anliegenden Außenwinkel im Mittelpunkt des Ankreises, der die Gegenseite und die Verlängerungen der andern Seiten berührt. Die Mittenlote der Seiten schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises, der durch die drei Ecken geht.

Der Feuerbachsche Kreis geht durch die Fußpunkte der Höhen und die Seitenmitten.

2. Das sphärische Dreieck besteht aus drei Punkten (Ecken) einer Kugel und den de verbindenden Großkreisbögen; von letzteren wählt man diejenigen, die nicht größer als der halbe Umfang der Kugel sind. Dieselben oder vielmehr, da der Kugelradius belanglos ist, ihre Zentriwinkel werden als Seiten bezeichnet. Dreieckswinkel in einer Ecke heißt der Winkel, den die Ebenen der anstoßenden Großkreise bilden. Die Summe der Seiten liegt zwischen 0° und 360°; die Summe der Winkel zwischen 180° und 540°; der Ueberschuß derselben über 180° heißt sphärischer Exzeß. Zu jedem sphärischen Dreieck gehört ein Polar- oder Supplementardreieck, dessen Ecken die Pole der Seiten des ersteren sind (d.h. sich zu diesen Seiten wie ein Erdpol zu einem Aequatorbogen verhalten) und dessen Winkel resp. Seiten die Supplemente der Seiten resp. der Winkel des ersteren sind. Vgl. a. Dreiecksberechnung und Trigonometrie.

Literatur: [1] Brockmann, F.J., Materialien zu Dreieckskonstruktionen, Leipzig 1888. –[98] [2] Emmerich, A., Die Brocardschen Gebilde, Berlin 1891. – [3] Seipp, H., Beiträge zur Kenntnis der Eigenschaften des ebenen Dreiecks, Halle 1886.

Wölffing.