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Harmonische Theilung einer Linie

[44] Harmonische Theilung einer Linie, wenn in einer begränzten geraden Linie AB ein Punkt C u. auf ihrer Verlängerung über B ein Punkt D so liegen, daß AC: BC = AD: BD), so nennt man AB in C in Beziehung auf D (od. kurz nach D) harmonisch getheilt; man theilt AB harmonisch nach D, indem man A, B u. D mit einem beliebigen außerhalb der Linie liegenden Punkte O verbindet, durch B eine Parallele zu AO legt, welche DO in E schneidet, hierauf auf der Verlängerung von EB den Abschnitt BF = BE nimmt u. die Verbindungslinie OF zieht, welche AB in C schneidet. Zugleich ist in dieser Figur DC in B harmonisch nach A getheilt, daher heißen A u. B, sowie C u. D paarweise Harmonische Gegenpunkte. Harmonikale od. harmonische Strahlen heißen die vier Geraden, welche aus irgend einem Punkte nach den vier Punkten einer harmonisch getheilten Linie gezogen werden, also z.B. AO, BO, CD u. DO; hiervon heißen AO u. BO, sowie CO u. DO) harmonische Gegenstrahlen. Varmonische Strahlen werden von jeder beliebigen Geraden in harmonischen Punkten geschnitten. Die H. Th. wird in der Geometrie gebraucht; la Hire führte sie ein, J. Stecker erweiterte die Anwendung. Uber H. Th. schrieben bes. Jakob Steiner (s.d.) u. Poncelet, Traité des propriétés projectives.