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Geomĕtrie

[190] Geomĕtrie (v. gr.), bedeutet ursprünglich 1) so viel als Erdmeßkunst u. bezieht sich zunächst auf die Ausmessung von Theilen der Erdoberfläche; nachdem aber gegenwärtig diese Kunst u. Wissenschaft den Namen Geodäsie od. Feldmeßkunst angenommen hat, ist der Ausdruck G. für eine weit abstractere Wissenschaft behalten u. bedeutet überhaupt 2) den Theil der Mathematik, welcher die Eigenschaften der Raumgrößen (stetigen Größen) untersucht u. dieselben durch überzeugende Schlüsse beweist. Sowohl der Raum selbst mit seinen drei Dimensionen, Länge, Breite u. Höhe, als die in ihm denkbaren Figuren machen also den Gegenstand der G. aus: nur durch das Abstractionsvermögen des Verstandes wird es möglich, diese drei Dimensionen von den Körpern selbst zu trennen, um sie für sich bes. betrachten zu können. Man theilt die G. gewöhnlich in niedere u. höhere; die niedere G. befaßt alle Untersuchungen über Verbindungen gerader Linien, geradliniger Figuren u. über, von Ebenen eingeschlossene Körper; dann die Betrachtungen des Kreises, der Kugel, des Cylinders u. des Kegels, in so fern darin Verhältnisse gerader Linien verglichen werden. Die höhere G. beschäftigt sich mit den krummen Linien, den von ihnen eingeschlossenen Flächenräumen u. den von ihnen erzeugten Körpern u. Oberflächen. Sie fängt mit der Lehre von den Kegelschnitten an u. geht dann zu den höhern krummen Linien über, deren verschiedene Formen sie aus einander setzt; sie bedarf hierbei der Analysis des Endlichen u. Unendlichen.[190] Andere theilen sie ein in: a) Planimetrie (ebene G.), die es mit Construction u. Ausmessung der Figuren zu thun hat, die in Einer Ebene liegen; b) Stereometrie (körperliche G., G. des Raumes), untersucht die Eigenschaften von Figuren u. Liniengebilden, welche nicht allein auf eine Ebene beschränkt, sondern beliebig im Raume ausgedehnt sind, insbesondere aber beschäftigt sie sich mit Größen, welche allseitig im Raume durch Flächen, im Fall ebener Flächen also mindestens durch vier, begrenzt sind; c) die Trigonometrie lehrt aus gegebenen Bestandtheilen einer Figur die übrigen durch Rechnung zu finden; um zu diesem Zwecke einen Zusammenhang zwischen den Seiten u. Winkeln der Figuren zu entdecken, welches doch im Grunde ungleichartige Größen sind, war es nöthig, die Ausmessung der Winkel auf die Ausmessung gewisser sie bestimmender gerader Linien u. ihrer Verhältnisse zurückzuführen, u. der Theil der G., welcher sich hiermit beschäftigt, also eine Vorbereitung der Trigonometrie bildet, heißt Goniometrie. Mit Hülfe goniometrischer Formeln kann man Dreiecke in der Trigonometrie, Vierecke in der Tetragonometrie, Vielecke in der Polygonometrie berechnen; d) Analytische G. behandelt a) u. b) aber nicht auf constructivem Wege, sondern ohne. Figur durch bloße Rechnung; sie wird auch geometrische Analysis genannt u. als Zweig der Analysis betrachtet.

Die Methode der G., in Absicht des logischen Verfahrens, ist überhaupt entweder synthetisch od. analytisch; die synthetische war bes. die der Alten u. ist zum Anfange des mathematischen Studiums unerläßlich; die analytische ist eine Erfindung der neuern Zeit u. führt bei höheren Aufgaben leichter zum Ziel; mit großem Vortheil werden analytische Auflösungen geometrischer Aufgaben mit synthetischen verbunden. In der neusten Zeit hat sich noch eine Behandlung der G. nach eigenthümlicher Methode von der übrigen G. unter dem Namen der neueren G. losgetrennt; während nämlich sonst in der G. nur gewisse Längen-, Flächen- od. Raumgrößen gemessen u. der Zusammenhang derselben durch Construction od. Rechnung gesucht wird, ohne sich dabei von etwas anderem abhängig zu machen als von der Größe, u. die Richtung höchstens in ihrem Gegensatz als positiv od. negativ hervortritt, sonst aber auf die Verhältnisse gewisser Längen zurückgeführt wird: entwickelt die neuere G. das ganze System der G., indem sie Verschiedenheit der Größe u. Richtung als unmittelbar Zusammengehöriges in ihren Grundbegriffen aufnimmt.

Nach Herodot wurde die G. (als Feldmeßkunst) in Ägypten erfunden, indem der König Sesostris jedem seiner Unterthanen gleich viel Land zugetheilt hatte, wovon jeder eine gleichmäßige Abgabe erlegte; verlor nun einer durch Überschwemmung des Nils etwas von seinem Antheile, od. wurden dadurch die Grenzmarken unkenntlich, so wurde von einem Geometer ausgemessen, wie viel er eingebüßt hatte u. darnach die Abgabe vermindert od. die Grenze wieder bestimmt. Die Hauptlehrsätze der praktischen G. wurden aber in Griechenland erfunden. Thales kehrte selbst den Ägyptiern erst, die Höhe der Pyramiden aus dem Schatten zu messen, u. erfand die Hauptlehrsätze von den Winkeln in einem gegebenen Triangel, so wie Pythagoras u.a. den nach ihm benannten wichtigen geometrischen Lehrsatz; die numerische Vergleichung der Linien führte die Pythagoreer auf die incommensurabeln Größen; Önopides von Chios, Zenodoros, Hippokrates von Chios erfanden geometrische Sätze; auch Plato beschäftigte sich mit G., u. über der Thüre seines Hörsaals war die Inschrift: daß kein der G. Unkundiger eintrete! Eudoxos aus Knidos gilt als der Erfinder verschiedener Sätze in der Lehre von den Körpern; Menächmos scheint den Grund zu der Lehre von den Kegelschnitten gelegt zu haben, über welche Aristäos der Ältere zuerst schrieb; Epoche aber machte Euklides durch seine Elemente u. übrigen, auch die G. für alle folgende Zeiten streng wissenschaftlich begründenden Schriften; Archimedes eröffnete sich Wege in vorher noch ganz unbetretenen Gegenden der G., durch Vergleichung krummliniger Größen unter einander u. mit geradlinigen; Apollonios aus Perga bereicherte die Lehre von den Kegelschnitten. Ferner sind bemerkenswerth: Menelaos, Serenos aus Antissa u. Nikomedes, der Erfinder der Conchoide, Pappos aus Alexandrien, Diokles, der Erfinder der Cissoide, u. Eutokios aus Askalon als Commentator; mit ihnen ging im 5. Jahrh. die griechische G. unter. Die Araber haben sich nur wenige Verdienste um die G. erworben; doch wurden in der Trigonometrie durch sie, statt der Chorden der Griechen, die Sinus eingeführt; vgl. Arabische Literatur. Erst im 15. Jahrh. kam in Europa durch die Übersetzungen der geometrischen Werke der Griechen von Commandino u.a. diese Wissenschaft wieder in Aufnahme. Auch fing man im 15. u. noch mehr im 16. Jahrh. in Deutschland an, trigonometrische Tafeln vollständiger zu berechnen; Purbach, Regiomontanus, Rhäticus, Otho u.a. erwarben sich in dieser Hinsicht Verdienste. Als erster Mathematiker seiner Zeit wurde im 16. Jahrh. Maurolycus aus Messina angesehen, auch Nugnez (Nonius) u. Vieta zeichneten sich aus. durch Kepler im 17. Jahrh. wurde auch die G. wesentlich bereichert, bes. dadurch, daß er das unendlich Kleine in die G. einführte; außerdem erwarben sich in dieser Zeit Cavaleri, Guldin, Lucas Valerius, Torricelli Verdienste. Bes. zählten die Jesuiten in dieser Zeit viele Mathematiker, wie Clavius, Tacquet, Gregorius a St. Vincentio. Des Cartes gab der G. bes. durch die Anwendung der Algebra auf die Untersuchung der Natur krummer Linien einen neuen Schwung; auch Fermat, Pascal u. Huygens leisteten Erhebliches für die Ausbildung der höhern G., nächstdem Viviani, Wallis, Lord Brounker, Mercator, Is. Barrow. Mit dem Ende des 17. Jahrh. schließt sich das Zeitalter der mittleren G., die entweder ganz nach dem Muster der alten geformt war, od. sich mit der Algebra verband u. sich der Summirung unendlicher Reihen bediente. Von nun an aber setzte die Analysis des Unendlichen, welche Newton u. Leibnitz erfanden, die Geometer in den Stand, nicht allein die Aufgaben, wobei, neben den veränderlichen Größen, selbst auch die Grenzverhältnisse ihrer Veränderungen in Betracht kommen, leicht u. allgemein aufzulösen, sondern auch von diesen Verhältnissen durch die Integralrechnung zu den endlichen Größen selbst zu gelangen. Von dieser Zeit an sind Analysis, G. u. reine. Mathematik so genau mit einander verschwistert, daß die Geschichte der einen immer in die der andern eingreift; doch[191] behielt die G. der alten immer ihre Verehrer, bes. in Italien u. England. Unter den Neuern ragen durch ihre Verdienste um Weiterbildung der Wissenschaft bes. Bragelogne, Euler, Gabriel Cramer, Maclaurin, Brackenridge, Clairaut, Jac. u. Joh. auch Nik. Bernoulli, Rog. Cotes, Heinr. Chr. Mayer hervor; die wichtigsten Vertreter der neuern G. sind Möbius, Steiner, Chasles.