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Elastische Schwingungen

[380] Elastische Schwingungen sind Schwingungen der Punkte elastischer Körper (s. Wellenbewegung und [9], S. 226, [13], S. 685, [14], S. 682, [17], S. 131), wie sie z.B. bei Störung des Gleichgewichts der auf letztere wirkenden Kräfte nach plötzlichem Wegfall der Hörenden Ursachen (Zupfen einer Saite, Anschlag einer Stimmgabel, Belastung eines Balkens u.s.w.) entstehen, indem die elastischen Kräfte (s. Elastizität) die Punkte nach den Gleichgewichtslagen zurückzutreiben suchen; da jedoch die rücktreibenden Kräfte bis zur Erreichung der Gleichgewichtslagen wirken, so wachsen ebensolange die Geschwindigkeiten, die Punkte erlangen lebendige Kräfte, die sie über die Gleichgewichtslagen hinausführen, bis die alsdann von den entgegengesetzten Seiten her wirkenden Kräfte eine Umkehr veranlassen u.s.w. In dieser Weise könnte das Spiel unbeschränkt fortdauern, wenn nicht durch Abgabe lebendiger Kraft, Umwandlung in Wärme u.s.w. die Bewegungsenergie nach und nach aufgezehrt würde. Durch die Entfernung eines Körperpunktes aus seiner Gleichgewichtslage wird aber auch das Gleichgewicht der benachbarten Punkte gestört, die ihrerseits die Bewegung auf andre Punkte übertragen u.s.w. Je nachdem die Schwingungen des einzelnen Punktes in die Richtungslinie dieser Fortpflanzung der Störung fallen (Fig. 1) oder senkrecht zu ihr erfolgen (Fig. 2), hat man es mit Längsschwingungen (Longitudinalschwingungen) oder Querschwingungen (Transversalschwingungen) zu tun. Die Schallschwingungen in der Luft beispielsweise sind Längsschwingungen, während die Lichtschwingungen als Querschwingungen des schwingenden Mediums (Aethers) angesehen werden. Daneben wären noch andre geradlinige Schwingungen verschiedener Richtungen (Fig. 3) und krummlinige Schwingungen verschiedener Bahnen (Fig. 4) denkbar.

Für beliebige elastische Schwingungen bestehen die unter Elastizitätslehre, allgemeine, gegebenen Bewegungsgleichungen, in denen jedoch, da es sich um Bewegungen gegen die den äußeren Kräften (s.d.) einschließlich der Massenkräfte X, Y, Z entsprechende Gleichgewichtslage handelt, diese X, Y, Z gleich Null gesetzt werden können (vgl. Koexistenz). Wird außerdem bei den Bezeichnungen:

für gleichzeitige Aenderungen von p; und eingeführt (bezüglich ω s. Dilatation):

so lauten die Grundgleichungen für Schwingungen beliebiger isotroper Körper [9], S. 261:

während aus 1. mit Rücksicht auf 3. für dieselben folgt:

[380] Da bei der raschen Aufeinanderfolge elastischer Schwingungen ein in Betracht kommender Wärmeaustausch während einzelner Schwingungen nicht stattfindet, so entsprechen die Beziehungen 2. adiabatischen Zustandsänderungen (s.d.). Führt man als Bezeichnungen ein:

so gehen die Grundgleichungen 3., 4. über in die folgenden [9], S 262:

Die Anwendung der vorstehenden allgemeinen Beziehungen ergibt, daß homogene isotrope Körper von sogenannten einfachen Schwingungen, wie sie zur Erklärung von Schall und Licht in unbegrenzten Medien herangezogen wurden (geradlinige Schwingungen, für welche die rücktreibende Kraft proportional der Entfernung von der Gleichgewichtslage ist [9], S. 229), nur Längsschwingungen und Querschwingungen gestatten ([9], S. 262), die sich getrennt voneinander mit Geschwindigkeiten c, C, bestimmt durch 5., fortpflanzen und also auch getrennt voneinander untersucht werden können. Für die Untersuchung einfacher Längsschwingungen wie überhaupt elastischer Schwingungen der Eigenschaft

(Pontentialschwingungen) hat man nach 6., 7.:

und für die Untersuchung einfacher Querschwingungen wie überhaupt elastischer Schwingungen der Dilatation ω = 0 nach 6., 1.:

Da für vollkommene gasförmige und tropfbare Flüssigkeiten G = 0 ist, so gelten für deren elastische Schwingungen nach 5., 6. stets die Gleichungen 8., 9., und es pflanzen diese Körper von einfachen Schwingungen nur Längsschwingungen fort. Das gleiche ergibt sich übrigens für reibende Flüssigkeiten [10], S. 311. Für sonstige isotrope Körper wäre annähernd c/C = √3, Näheres sowie Spezialisierungen und Zahlenwerte von c, C für Gase, Dämpfe, tropfbare Flüssigkeiten und andre isotrope Körper s. [9], §§ 93–100, [10], S. 303 ff. In anisotropen Körpern werden unter Voraussetzung stetiger Verschiebungen (s. Elastizitätslehre, allgemeine) im allgemeinen dreierlei einfache Schwingungen verschiedener zueinander senkrechter Richtungen und verschiedener Fortpflanzungsgeschwindigkeiten übertragen [9], §§ 101, 102.

Die Untersuchung elastischer Schwingungen auf Grund vorstehender Gleichungen würde in vielen Fällen umständlicher als notwendig ausfallen. Ost kann man speziellere Formeln verwenden, wie bei Längsschwingungen und Torsionsschwingungen von Stäben [10], S. 277, 282, 320, 326, oder von Näherungsformeln ausgehen, wie beim Problem der schwingenden Saiten [10], S. 312, und bei Querschwingungen von Stäben und belasteten oder plötzlich entlasteten Balken [10], S. 280, 329, 341, 343 (vgl. den Artikel Torsionsschwingungen). Auch eine möglichst genaue Untersuchung der dynamischen Einwirkungen (s. Verkehrslast) bewegter Lasten auf eiserne Brücken hat auf Grund solcher Näherungsformeln zu erfolgen [15], [16], [18].

Literatur: [1] Weber, E.H. und W., Wellenlehre auf Experimente gegründet, Leipzig 1825. – [2] Lamé, Cours de physique de l'école polytechnique, II. Akoustique, Théorie physique de la lumière, Paris 1840. – [3] Clebsch, Theorie der Elastizität fester Körper, Leipzig 1862, S. 242 ff. (französische Ausgabe mit Noten von Saint-Venant, Paris 1883, S. 468 ff.). – [4] Lamé, Leçons sur la théorie mathematique de l'élasticité des corps solides, Paris 1866, p. 93 etc. – [5] Wand, Ueber die Elastizität der festen Körper und die optischen Erscheinungen, München 1868, S. 42. – [6] Beer, Einleitung in die mathematische Theorie der Elastizität und Kapillarität, Leipzig 1869, S. 68. – [7] Klein, Theorie der Elastizität, Akustik und Optik, Leipzig 1877, S. 133. – [8] Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. 1, Mechanik, Leipzig 1883; Bd. 2, Optik, Leipzig 1891. – [9] Weyrauch, Theorie elastischer Körper, Leipzig 1884, S. 248 ff. – [10] Ders., Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 276 ff. – [11] Neumann, Vorlesungen über die Theorie der Elastizität der festen Körper und des Lichtäthers, Leipzig 1885, S. 203. – [12] Mathieu, Théorie de l'élasticité des corps solides, Paris 1890, I, p. 171; II, p. 1, 63, 104. – [13] Winkelmann, Handbuch der Physik, Bd. 1, Mechanik und Akustik, Leipzig 1891, S. 685 ff. – [14] Wüllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 1, Allgemeine Physik und Akustik, Leipzig 1895, S. 682 ff.[381] – [15] Zimmermann, Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last, Zentralbl. der Bauverwaltung 1896, S. 249, 257, 264 (auch als Buch, Berlin 1896). – [16] Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Bd. 2, 2. Abt., Leipzig 1901, S. 39. – [17] Chwolson, Lehrbuch der Physik, I, Braunschweig 1902, S. 131. – [18] Reißner, Schwingungsaufgaben aus der Theorie des Fachwerks, Zeitschr. f. Bauwesen 1903, S. 135 (s. auch 1899, S. 477).

Weyrauch.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3., Fig. 4.