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Determinanten

[875] Determinanten, bei der Auflösung linearer Gleichungen zwischen mehreren Unbekannten stößt man auf gewisse Functionen der Coefficienten, welche früher von Kramer u. Bezout Resultanten genannt wurden, jetzt aber nach Gauß D. heißen. Bei zwei Gleichungen a₁, x + b₁ y = k₁ u. a₂ x + b₂y = k₂, ist der gemeinschaftliche Nenner von

die D. aus a₁, a₂, b₁ u. b₂ 2; die Zähler sind gleichfalls D. u. entstehen dadurch, daß man a₁ u. a₂, u. das andere Mal b₁ u. b₂, durch k₁ u. k₂ ersetzt. In gleicher Weise geschieht die Auflösung der 3 Gleichungen a₁x + b₁ y + c₁ z = k₁; a₂ + b₂y + c₂z = k₂; a₃x + b₃y + c₃z = k₃; man bildet die D. dritter Ordnung f (a, b, c) = a₁b₂c₃ – a₁b₃c₂ + a₂b₃c₁ - a₂b₁c₃ + a₃b₁c₂ - a₃b₂c₁ u. hat nachher

Das Bildungsgesetz der D. u. ihre daraus folgenden Eigenschaften waren schon Laplace u. Vandermonde bekannt. Gauß u. Cauchy haben sich ferner mit ihnen beschäftigt. Den Grund zu einer eigentlichen Theorie der D. legte Jacobi in seiner Abhandlung De formatione et proprietatibus determinantium in Crelle's Journal, Bd. 22. Später ist sie von ihm u. anderen Mathematikern weiter ausgeführt worden.