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Schattenkonstruktionen [2]

[657] Schattenkonstruktionen umfassen alle Konstruktionen, welche dazu dienen, die Selbst- bezw. Schlagschattengrenze für gesetzmäßig gestaltete Oberflächen zu ermitteln, unter Voraussetzung einer gegebenen Lichtquelle und Lichtrichtung.

Für technische Zwecke nimmt man in der Regel die Lichtquelle in unendlicher Ferne liegend an, denkt sich also den Körper durch parallele Lichtstrahlen beleuchtet und versteht nun unter der Selbstschattengrenze die Verbindungslinie der Berührungspunkte der parallel zur Lichtrichtung an die beleuchtete Oberfläche geführten Berührungsebenen. Die letzteren bilden einen Lichtzylinder bezw. ein Lichtprisma, der bezw. das mit der beleuchteten Oberfläche die Selbstschattengrenze gemeinsam hat. Findet außerdem zwischen Lichtzylinder bezw. Lichtprisma und der beleuchteten Oberfläche noch eine weitere Durchdringung statt, so heißt diese Durchdringungslinie der Schlagschatten der Oberfläche auf sich selbst. Trifft dagegen der Lichtzylinder bezw. das Lichtprisma die Oberfläche eines zweiten Körpers nach einer bestimmten Linie, so bildet letztere die Schlagschattengrenze des ersten Körpers auf den zweiten.

Bei abwickelbaren Flächen besteht die Selbstschattengrenze aus geraden, bei nicht abwickelbaren Flächen aus krummen Linien. Für die Kugel ist die Selbstschattengrenze der größte zur Lichtrichtung senkrechte Kugelkreis, für die Oberflächen zweiten Grades ein Kegelschnitt, für die Umdrehungsflächen eine zum Lichtmeridiane symmetrisch liegende Kurve. – Als Lichtrichtung gilt für technische Zwecke die Richtung der Diagonale a₁ b₁ s. Fig. 1, eines Würfels, der mit seinen Seiten zu den Projektionsebenen parallel läuft. Die Projektionen L₁ und L₂ der Lichtrichtung L bilden mit der Projektionsachse X den Winkel von 45°. In Fig. 1 ist auch die wahre Neigung φ der Lichtrichtung zur Grundrißebene dargestellt. Die gleiche Neigung besitzt sie auch zu den übrigen Projektionsebenen.

In Fig. 2 ist die Schattenkonstruktion für die Kugel zur Darstellung gebracht. Die kreisförmige Selbstschattengrenze projiziert sich im Grund und Aufriß als eine Ellipse K₁ bezw. K₂, deren große Achse senkrecht steht zu L₁ bezw. L₂. Die kleine Achse hat die Länge

r = Kugelhalbmesser; die Schlagschattenellipsen K₁' und K₂' besitzen die Achsen 2r und 2r sec φ. Es ist in Fig. 2

Für einen beliebigen horizontalen Parallelkreis B sind die Punkte 9 und 10 der Schattengrenze konstruiert, die Senkrechte durch m₂ zu L₂ trifft B₂ und g₂, dessen Grundriß g₁ ist, die Senkrechte durch g₁ zu L₁ liefert auf B₁ die Punkte 9 und 10, die auf B₂ zu projizieren sind. Für den senkrechten Kreiskegel, s. Fig. 3, ergibt sich die Selbstschattengrenze mit Zuhilfenahme einer den Kegel nach seinem Grundkreise K berührenden Kugel mit dem Mittelpunkte c, die Senkrechte durch c₂ zu L₂ liefert den Punkt d₂ mit dem Grundriß d₁, die[657] Senkrechte zu L₁ durch d₁ liefert auf K₁ zwei Punkte 1 und 2 der Selbstschattengrenze. In gleicher Weise erhält man auch die Punkte 3 und 4 auf N₁ Für den Zylinder, s. Fig. 4, erhält man zwei Punkte, 1 und 2, der Selbstschattengrenze auf der Senkrechten zu L₁ durch m₁, wodurch auch der Aufriß bestimmt ist. Bei einem Umdrehungskörper, s. Fig. 5, ergibt sich die Selbstschattengrenze in gleicher Weise mit Zuhilfenahme von Kugeln, welche die Oberfläche des Umdrehungskörpers nach einzelnen Parallelkreisen berühren. Für diese Kugeln ist die Selbstschattengrenze leicht festzustellen, und ihr Schnitt mit dem zugehörigen Parallelkreise liefert auf diesem Punkte die Selbstschattengrenze. Außerdem bestimmt man noch durch Tangenten parallel zu L₂ die auf dem Aufrißmeridiane liegenden Punkte und schließlich noch die auf dem Lichtmeridian liegenden Punkte.

In Fig. 5 sind die Berührungspunkte der zu L₂ parallelen Tangenten an die Meridiankurve mit 1 bis 6 bezeichnet; ihnen entsprechen die in gleicher Höhe auf dem zur Aufrißebene senkrechten Meridian liegenden Punkte 7 bis 12. Zeichnet man noch parallel zu L₂' an den Meridian die möglichen Tangenten, legt durch die Berührungspunkte 13' bis 17' Parallelkreise, so werden diese von dem Lichtmeridian in den Punkten 13 bis 17 getroffen. Die Punkte 18 bis 23 liegen auf jenen Parallelkreisen, für welche die berührenden Kegel in Zylinder übergehen, bestimmen sich also durch Tangenten parallel zu L₁, an die Grundrisse der betreffenden Parallelkreise. – Die auf der Oberfläche entstehenden Schlagschatten ermittelt man mittels ebenen Schnitten parallel zu L₁ oder L₂ mit der Körperoberfläche; so ergibt sich der Schatten n des Punktes a mittels des Schnittes A parallel zu L₁, der Schatten β von b mittels des Schnittes B parallel zu L₂.

Für einen beliebigen Parallelkreis K, Aufriß K₂ ergeben sich die beiden Punkte 24 und 25 der Selbstschattengrenze mittels der längs des Parallelkreises berührenden Kugel. In Fig. 6 ist der Schlagschatten des Dachfensters auf die Dachfläche A bezw. die lotrechte Wandfläche B dargestellt.

Vonderlinn.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.