[715] Pyramidalzahlen, die Glieder jeder mit 1 anfangenden arithmetischen Reihe 3. Ordnung, deren letzte Differenz eine absolute ganze Zahl ist. Die ersten Differenzen sind demnach Polygonalzahlen (s.d.), u. es werden in dieser Beziehung die verschiedenen Reihen der P. mit dem Namen der Trigonal- P., der Tetragonal-P. etc. belegt, je nachdem die ersten Differenzen Trigonal- od. Tetragonalzahlen etc. sind. Aus der allgemeinen Form für die n te Polygonalzahl von der Seite m
1/2 n2 (m – 2)_– 1/2 n (m – 4)
erhält man, nach u. nach 1, 2, 3, 4_... statt n setzend, wenn man successive die Summe der 1, 2, 3, 4 ersten, dadurch erhaltenen Glieder bildet, die verlangte arithmetische Reihe 3. Ordnung u. den allgemeinen Ausdruck für alle P.:
1/6 n (n + 1) (nm –2n_– m + 5)
wo m die Zahl der Seiten des Polygons, welche zugleich die der Seitenflächen der Pyramide ist, bezeichnet. Wird hier nach einander 3, 4, 5,_... statt m gesetzt, so erhält man das allgemeine Glied a) der Trigonal-P. = 1/6 n (n + 1) (n + 2); b) der Tetragonal-P. = 1/6 n (n + 1) (2n + 1); c) der Pentagonal-P. 1/2 n2 (n + 1) etc. Demnach sind die ersten
| Trigonal-P. | = | 1, | 4, | 10, | 20, | 35,_... |
| Tetragonal-P. | = | 1, | 5, | 14, | 30, | 55,_... |
| Pentagonal-P. | = | 1, | 6, | 18, | 40, | 75,_... |
Die P. verdanken ihren Namen der Eigenschaft, daß, wenn mehre gleichförmige Pyramiden von einerlei Seitenzahl die Gegenecke der Grundebene gemeinschaftlich haben u. auf die Kanten dieser Pyramiden 2, 3, 4,_... Punkte gestellt, die Grundflächen aber behandelt werden, wie unter dem Artikel Polygonalzahl gezeigt worden, die Anzahl sämmtlicher, in jeder Pyramide enthaltener Punkte eine 3-, 4-, 5-_... eckige P. gibt, je nachdem die Grundfläche der Pyramide ein reguläres 3-, 4-, 5-, ... eck ist. Die Anzahl der in den Zeughäusern in Form von Pyramiden mit regulären Grundflächen aufgestellten Kugel ist eine solche P.