Clairauts Satz

[468] Clairauts Satz über die geodätischen (kürzesten) Linien auf Rotationsflächen. Die charakteristische Eigenschaft der geodätischen Linien auf krummen Flächen ist die, daß ihre Hauptnormale in die Flächennormale fällt und mithin die Schmiegungsebene durch die Flächennormale hindurchgeht. Für die Rotationsflächen, deren Normale in die Ebene des Meridians fällt, ergibt sich hieraus die folgende von Clairaut in den Mémoires de l'Académie des sciences 1733 zuerst publizierte Beziehung zwischen dem Radius r des Parallelkreises eines Punktes einer kürzesten Linie einer solchen Fläche und dem Azimut i (Winkel der Tangente der geodätischen Linie mit der Tangente des Meridians):

Für jede geodätische Linie einer Rotationsfläche ist das Produkt aus dem Radius r des Parallelkreises und dem Sinus des Azimutes i eine Konstante α, d.h. r sin i = α (s. die Figur).

Unter einer geodätischen Linie versteht man eine solche auf der Fläche verlaufende Kurve, deren Schmiegungsebene in jedem Punkt die Flächennormale enthält, also senkrecht auf der Tangentialebene steht. Es seien P und P₁ zwei benachbarte Punkte der Rotationsfläche, P S[468] und P₁ S ihre Meridiane, P N und P₁ N₁ ihre Normalen, endlich P Q und P₁ Q₁ die Radien der Parallelkreise. Legt man durch P₁ P und N₁. eine Ebene, so kann dieselbe als Schmiegungsebene für den Punkt P₁ aufgefaßt werden und ihr Schnitt mit der Fläche bestimmt das dem Element P P₁ auf der geodätischen Linie benachbarte Element P₁ P₂. Im Dreikant, das aus den beiden Meridianebenen und der Schmiegungsebene gebildet wird, gilt der Sinussatz:

sin i : sin i₁ = sin S N₁ P₁ : sin S N₁ P.

Nun in: sin S N₁ P₁ = r₁ : N₁ P₁ und sin S N₁ P = r : N₁ P, ferner ist bis auf Größen zweiter Ordnung N₁ P = N₁ P₁, da der Winkel N₁ P₁ P ein rechter ist. Hieraus folgt: sin i : sin i₁ = r₁ : r oder: r sin i = r₁ sin i₁. Es ändert sich demnach das Produkt r sin i beim Uebergang von einem Punkt P zum Punkt P₁ nicht (genauer nur um Größen zweiter Ordnung) und ist daher konstant.

Die geodätische Linie kann auch als Form eines über die glatte Fläche gespannten Fadens oder als Bahn eines auf der glatten Fläche unter dem Einflusse der Trägheit mit Ausschluß äußerer Kräfte sich bewegenden Punktes aufgefaßt werden. Im letzteren Falle ist der Clairautsche Satz eine Folge des Flächenprinzipes: r² dφ = r₁² dφ₁, wobei dφ und dφ₁ die Winkel bedeuten, um die sich r bezw. r₁ in gleicher Zeit dreht. Nun ist r dφ = ds sin i; r₁ dφ₁ = ds₁ sin i₁, also r sin i ds = r₁ sin i₁ ds₁ Für die Bewegung mit Ausschluß von Kräften muß aber gleichförmige Geschwindigkeit herrschen, also in gleichen Zeiten ds = ds₁ sein, womit der Satz bewiesen ist.