[645] Flächenbestimmung, die Bestimmung des Inhalts begrenzter Flächenstücke, so bei der Berechnung der Größe von Grundstücken, Gütern, Ländern (Arealbestimmung), bei der Berechnung des Rauminhalts von Eisenbahndämmen und-Einschnitten, Kanälen und bei sonstigen Erdarbeitsberechnungen etc. 1) Ebene Flächenstücke. Für die einfachen ebenen Figuren lassen sich die Flächeninhalte durch Berechnung aus den gemessenen Hauptdimensionen bestimmen. Flächeninhalt des Quadrates = Quadrat der Seite; Parallelogramm = Grundlinie mal Höhe; Paralleltrapez = halbe Summe der Parallelseiten mal deren Entfernung; Dreieck = halbe Grundlinie mal Höhe; unregelmäßiges Viereck = Summe der beiden Dreiecke, in die das Viereck durch eine Diagonale zerlegt wird; Kreis = Quadrat des Radius mal 3,1415927 oder genähert mal 22/7; Ellipse = große Halbachse mal kleine Halbachse mal 3,1415927; Inhalt eines Kreissektors = Inhalt des ganzen Kreises mal dem Quotienten Zentriwinkel durch 360°; Kreissegment = Kreissektor, vermindert um das aus den Radien und der Sehne gebildete gleichschenkelige Dreieck; Parabelsegment (auch flaches Kreissegment) = halbe Sehne mal Pfeilhöhe. Geradlinig begrenzte Figuren (Polygone) zerlegt man in Dreiecke[645] und summiert deren Inhalt. Beliebig begrenzte Figuren zerlegt man in Parallelstreifen von gleicher Breite, die angenähert als Trapeze berechnet werden können. Der Gesamtinhalt ist dann gleich der Summe aller parallelen Trennungsstreifen mal der einfachen Streifenbreite. Man verwendet hierbei durchsichtige Flächen (Glas, Horn, Zelluloid, Gelatine) mit eingeritzten gleichabständigen Parallellinien, Rahmen mit in gleichen Abständen darüber gespannten Parallelfäden (Fadenplanimeter, Harfen), sowie solche mit eingeritztem Quadratnetz oder sich rechtwinklig kreuzenden Parallelfäden; der Inhalt ergibt sich dann durch Abzählen der von der Figur eingeschlossenen kleinen Quadrate. Eine andre Methode besteht darin, daß man die auszumessende Fläche auf möglichst gleichmäßiges Kartonpapier zeichnet, ausschneidet und wiegt und dieses Gewicht durch das Gewicht der Flächeneinheit, etwa eines Quadratzentimeters, dividiert. Für genauere Bestimmungen werden die Planimeter (s.d.) benutzt. 2) Krumme Flächen. Zur Bestimmung des Inhalts von Stücken gekrümmter Flächen (Komplanation) bedarf man im allgemeinen der Integralrechnung, doch lassen sich auch einzelne Flächen und einfach begrenzte Teile derselben mit Hilfe der Elementargeometrie berechnen. Der Inhalt eines von Parallelebenen begrenzten Kreiszylindermantels = Kreisumfang mal Zylinderhöhe, der Inhalt eines ebenso begrenzten Zylinders von unregelmäßiger Grundfigur = dem, durch Ausmessung mittels eines Fadens zu ermittelnden Umfang der Grundfigur mal Zylinderhöhe; der Inhalt eines Kreiskegelmantels = Umfang des Grundkreises mal halber Kegelseite; die Oberfläche einer Kugel = 12,5664 mal Quadrat des Radius; die Oberfläche eines Kugelsegments = 6,2832 mal Kugelradius mal Pfeilhöhe des Segments; die Oberfläche einer Kugelzone = 6,2832 mal Kugelradius mal Zonenhöhe. Auf abwickelbaren Flächen (Kegel, Zylinder) lassen sich beliebig begrenzte Flächenstücke in ähnlicher Weise wie ebene Flächenstücke durch Zerlegung in Parallelstreifen oder in kleine Quadrate messen, wobei man sich biegsamer Auflegeflächen mit entsprechender Teilung bedienen kann. Doch wird bei den abwickelbaren wie bei andern gekrümmten Flächen die Ermittelung von begrenzten Stücken in der Regel in der Weise vorgenommen, daß man den Umriß des Flächenstückes auf eine Ebene überträgt und die erhaltenen ebenen Abbildungen nach einer der oben angegebenen Methoden ausmißt. Vorausgesetzt ist dabei, daß die Übertragung nach einer Methode ausgeführt ist, die flächentreue Abbildungen in der Ebene ergibt, andernfalls müssen die durch nicht flächentreue Abbildung hervorgerufenen Verzerrungen besonders berücksichtigt werden. Zur Flächenausmessung auf der Kugel kann man unmittelbar das Polarplanimeter (s.d.) benutzen.