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Dualismus der Bewegung

[147] Dualismus der Bewegung. Ein ebenes Gebilde Σ₁, oder auch, allgemeiner aufgefaßt, eine Ebene Σ₁ mit allen Punkten, Geraden, Kurven, Winkeln u.s.w., die sie enthält, bewege sich in einer andern Ebene Σ₂. Ihre Bewegung besteht darin, daß die Punkte A₁ B₁ C₁ ... von 2 nach und nach mit immer andern [147] Punkten A₂, B₂, C₂ ...; A₂', B₂', C₂' ...; A₂'', B₂'', C₂'' ... u.s.w. von Σ₁, in kontinuierlicher Folge zusammentreffen. Aber während dieses Vorgangs treffen auch die Punkte von Σ₂ mit immer andern Punkten von Σ₁ zusammen, d.h. während sich Σ₁ in Σ₂, bewegt, bewegt sich auch Σ₂ zugleich in Σ₁. Beide Bewegungen bestimmen einander gegenseitig so, daß mit der einen zugleich die andre gegeben ist. Sie sind aber im allgemeinen voneinander sehr wesentlich verschieden. Man sieht hieraus, daß der Begriff der Bewegung überhaupt ein relativer Begriff ist und daß von Bewegung eines Systems nur in bezug auf ein andres geredet werden kann, dann aber zugleich auch die Bewegung des zweiten in bezug auf das erste selbstverständlich ist. Indem wir die Systeme in ihrer ganzen Erstreckung auffassen, ist es gestattet, zu sagen, beide Systeme bewegen sich jedes in dem andern. Ganz dasselbe gilt auch von räumlichen Systemen oder Gebilden, und nur der Einfachheit wegen haben wir den speziellen Fall zweier ebener Systeme hervorgehoben. Bleiben wir zunächst bei der Bewegung ebener Systeme stehen. Die Bewegung von Σ₁ in Σ₂ ist durch zwei Bedingungen bestimmt, z.B. dadurch, daß zwei Punkte von 2, auf zwei gegebenen Linien von Σ₁ bleiben müssen. Durch diese zwei Bedingungen sind auch für die Bewegung von Σ₂ in Σ₁ die zwei bestimmenden Bedingungen gegeben. Sie bestehen darin, daß jene beiden Linien fortwährend durch die genannten zwei Punkte hindurchgehen müssen. Diese Bedingungen kehren sich daher in ihrer Bedeutung für die Bewegung des einen oder andern Systems in gewissem Sinne um. Dies veranlaßt, daß man die beiden Bewegungen überhaupt Umkehrungen voneinander, d.h. jede die Umkehrung der andern nennt. Diese doppelte Bedeutung der Bewegung zweier Systeme gegeneinander nennt man daher auch nicht unpassend den Dualismus der Bewegung.

Es ist gut, sich beide Bewegungen zugleich vorzustellen. Als ein bequemes Hilfsmittel für die Ableitung der einen aus der andern kann folgendes dienen. Die Bewegungen der Systeme Σ₁ und Σ₂ werden nicht geändert, wenn man beiden zusammen wie einem System eine gemeinsame Bewegung in einer Ebene Σ₃ erteilt. Wählt man nun zu dieser hinzugefügten gemeinsamen Bewegung jeden Moment die entgegen gesetzte von Σ₁, so kommt Σ₁ zur Ruhe und nimmt Σ₂ diese entgegengesetzte Bewegung an. Man erkennt hieraus, daß alle Punkte von Σ₂ genau die entgegengesetzten Bogenelemente mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen beschreiben wie die mit ihnen oben zusammenfallenden Punkte von Σ₁; ähnlich für räumliche Systeme. Die Bewegung von Σ₁ in Σ₂ ist äquivalent dem Rollen einer gewissen Kurve C₁ von Σ₁ auf einer Kurve C₂ von Σ₂; die Bewegung von Σ₂ in Σ₁ oder die Umkehrung der Bewegung von Σ₁ in Σ₂ ist daher äquivalent dem Rollen von C₂ auf C₁. – Geeignete Beispiele zur Erläuterung des Dualismus der Bewegung sind: die Cardanosche elliptische Hypocykloidenbewegung und ihre Umkehrung, die Ovalbewegung von Leonardo da Vinci; die Konchoidenbewegung des Nikomedes; die Cissoidenbewegung des Diokles (zwei kongruente Parabeln rollen symmetrisch aufeinander); die Bewegung der Erde um die Sonne. Bei der Cardanoschen Bewegung beschreiben die Punkte von Σ₁ in Σ₂ Ellipsen mit gemeinsamem Mittelpunkt und die von Σ₂ in Σ₁ Pascalsche Linien; bringt man Σ₁ zur Ruhe, so kann der Mechanismus der Drehbank dazu dienen, die Umkehrung der Bewegung, nämlich die Ovalbewegung, hervorzurufen, und es beschreibt jeder Punkt von Σ₁ auf der rotierenden Ebene von Σ₂ eine Ellipse.

Literatur: [1] Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géometrie, Paris 1875, S. 408. – [2] Aronhold, Kinematische Geometrie, Verh. d. Vereins zur Bes.d. Gewerbefl., Bd. 51 (1872), S. 134. – [3] Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, Leipzig 1879, Bd. 1, S. 224 Und 225.

(Schell) Finsterwalder.