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Metazentrum

[411] Metazentrum eines Schiffes ist der Schnittpunkt der Auftriebsrichtung bei einer kleinen Neigung des Schiffes mit der vertikalen Schwimmachse desselben bei aufrechter Lage; es bildet ein charakteristisches Merkmal bei Neigungen um die horizontale Längenachse des Schiffes zur Beurteilung der Stabilität des Schiffes und heißt dann Breiten- oder Lateralmetazentrum, oder bei Neigungen um die horizontale Querachse zur Beurteilung der Trimmlage des Schiffes und heißt dann Längen- oder Longitudinalmetazentrum [1], [3], [4].

Die Lage des Metazentrums bei den einzelnen Neigungen hängt von der Form des Schiffes ab. Denkt man sich dasselbe von der aufrechten Lage aus allmählich um die Längsachse mehr und mehr geneigt, so entspricht jeder einzelnen Neigung ein bestimmter Verdrängungs- oder Formschwerpunkt F₀ F₁ F₂ F₃ F₄ (Fig. 1), welche sich zu einer besonderen Kurve, der F-Kurve, vereinigen lassen. Die den einzelnen Neigungen entsprechenden Schwimmebenen oder Wasserlinienflachen hüllen eine zylindrische Kernfläche – W-Fläche – ein, während die[411] aufeinander folgenden Normalen zur F-Kurve, welche zu den entsprechenden Schwimmebenen senkrecht stehen, sich in den Punkten m₀ m₁ m₂ m₃ schneiden, welche die metazentrische Kurve oder die Evolute der F-Kurve bilden. Der Verlauf dieser Kurve, ob anzeigend oder abfallend, läßt erkennen, ob die Entfernung des Metazentrums von der F-Kurve bei Neigung des Schiffes größer oder kleiner wird. Die Schnittpunkte der Auftriebsrichtungen oder Normalen zur F-Kurve mit der vertikalen Schwimmachse bei der aufrechten Lage M₀ M₁ M₂ M₃ geben das jeweilige Metazentrum wieder. Für der Verlauf der F-Kurve sind die Schiffsformen innerhalb des Neigungsgürtels, d.h. zwischen Wind und Wasser, von Einfluß; ihre Gestalt schwankt zwischen einer Parabel, Hyperbel, Ellipse und einem Kreis. In letzterem Fall schneiden sich alle Auftriebsrichtungen in dessen Mittelpunkt und stellt derselbe für alle Neigungen das unveränderliche Metazentrum dar [4]–[7]. Es sei in Fig. 2 ADB der Querschnitt des Schiffes in aufrechter Lage, A₁DB₁ derselbe in der um den Winkel AOA₁ = φ geneigten Lage. Dadurch, daß in der geneigten Lage das Keilstück AOA₁ von dem Volumen v und mit dem Schwerpunkt γ nach BOB₁ mit dem Schwerpunkt γ₁ verlegt wird, findet auch eine Wanderung des Deplacementsschwerpunktes (Formschwerpunktes) C nach C₁ statt, und zwar ist

(s.d.). Ist nun G der Systemschwerpunkt des Schiffes, so kann das Gewicht desselben = P durch diesen Punkt senkrecht nach unten wirkend gedacht werden, während bei der Neigung der Auftrieb Q = P durch den Deplacementsschwerpunkt C₁ normal zur Schwimmebene nach oben wirkt. Der Punkt M, in welchem die Richtungslinie des Auftriebes die Symmetrieebene des Schiffes, d.h. die durch C senkrecht zur Konstruktionswasserlinie gerichtete Ebene D C O schneidet, heißt das Metazentrum.

Ist G N ⊥ C₁ M, so ergibt sich ein Kräftepaar

welches in dem vorliegenden Fall das Bestreben hat, das Schiff in die aufrechte Lage zurückzudrehen.

Die Strecke G M wird die metazentrische Höhe genannt. Dieselbe bestimmt sich aus der Entfernung der Punkte M und G vom Deplacementsschwerpunkt C des Schiffes bei aufrechter Lage und ist demnach G M = C M – C G = r – a. Das Stabilitätsmoment ist daher = P(r – a) sin φ. In dieser Formel lassen sich die Gleichgewichtslagen des Schiffes nach den relativen Werten von r und a wie folgt klarstellen: Für a < r ist r – a positiv. Der Systemschwerpunkt G liegt unter dem Metazentrum M, es ist stabiles Gleichgewicht vorhanden; für a > r ist r – a negativ, G liegt über M, das Gleichgewicht ist ein labiles; für a = r ist r – a = 0. G und M fallen zusammen, der Gleichgewichtszustand ist indifferent. Das Metazentrum ist daher der Grenzpunkt, bis zu welchem der Systemschwerpunkt aufsteigen kann, ohne das Schiff unstabil zu machen.

Das Stabilitätsmoment läßt sich nun als Differenz der Momente P r sin φ – P a sin φ darstellen, in welcher P r sin φ das Stabilitätsmoment der Form des Schiffes bildet (es hängt von der Form des eingetauchten Schiffsteiles ab) und P a sin φ das Stabilitätsmoment des Gewichtes ausdrückt (es hängt von der durch die Verteilung der Gewichte bedingten Lage des Systemschwerpunktes ab). Die Formstabilität ist meist positiv, die Gewichtsstabilität vermindert oder vermehrt die Formstabilität, je nachdem G über oder unter C liegt.

Die Formstabilität hängt von der Größe des Wertes C M ab. Für kleine Neigungen, bei welchen der in der Nähe der Schwimmebene befindliche Schiffsteil als Rotationskörper angesehen werden kann, ist

Da ferner

so ist

Mit

– y die halbe Schiffsbreite und x die Schiffslänge – und

findet man

und somit:

C M variiert daher in direktem Verhältnis mit dem Trägheitsmoment der Schwimmebene, bezogen auf die Längsachse und im umgekehrten Verhältnis mit dem Deplacement. Wird die Schwimmebene = 0, d.h. taucht der Schiffskörper ganz ein, so wird C M = 0, d.h. die Formstabilität ist verloren gegangen. Ist L die Schiffslänge, B die Schiffsbreite, T der mittlere Tiefgang, δ der Deplacementskoeffizient, d.h. Deplacement = L B T δ, und K ein Koeffizient für das Trägheitsmoment L B³, so ist:

K/δ schwankt für Schiffe mittlerer Schärfe zwischen 0,09 und 0,1, für volle Schiffe zwischen 0,08 und 0,09, und man kann hiernach C M für den Entwurf angenähert bestimmen.[412]

Die Gewichtsstabilität hängt von der Größe des Wertes C G ab, welche sich allein nach der Verteilung der Gewichte an Bord der Höhe nach regelt. Im allgemeinen kann man die Lage des Systemschwerpunkts G in der Konstruktionswasserlinie annehmen, so daß also G über C liegt. Nur für Segeljachten mit Bleikiel wird G unter C liegen, während für Unterseeboote, die im untergetauchten Zustand keine Formstabilität besitzen, G unter C liegen muß. Als Vergleichswert für die Stabilität bietet die Größe G M, welche die metazentrische Höhe für kleine Neigungen darstellt, einen guten Anhalt. Die Größe derselben hat für die Stabilität und die Seeeigenschaften der Schiffe großen Wert; zu geringes G M bringt Gefahren des Kenterns mit sich, zu großes G M macht das Schiff zu steif und erzeugt heftige Bewegungen. Es ergeben sich hieraus für die einzelnen Schiffsklassen nachstehende praktische Werte für G M:

Literatur: [1] Neudeck, Leitfaden für den Unterricht im Schiffbau, Berlin 1902. – [2] Lutschaunig, V., Theorie des Schiffes, Triest 1879. – [3] White, W.H., A manual of naval architecture, London 1900. – [4] Krieger, Johows Hilfsbuch für den Schiffbau, Berlin 1902. – [5] Pollard und Dudebout, Theorie du navire, Paris 1890–94. – [6] Doyère, Geometrie du navire, Paris 1894. – [7] Guyon, Theorie du navire, Paris 1894.

T. Schwarz.

Fig. 1.

Fig. 2.