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Kegelfläche [2]

[408] Kegelfläche. Darstellung durch Projektion. Der senkrechte Kreiskegel wird in der Regel mit seinem Grundkreis in der Grundrißebene liegend dargestellt. Sein Aufriß ist ein gleichschenkliges Dreieck (s. Fig. 1). Der ebene Schnitt mit einem solchen Kegel ist ein Kegelschnitt, und zwar eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem die Ebene alle Mantellinien des Kegels in Endlichen trifft oder aber zu einer oder zu zweien derselben parallel läuft (Fig. 1–3). Enthält die Schnittebene die Kegelspitze, so zerfällt der Kegelschnitt in zwei Mantellinien, steht die Ebene zur Kegelachse senkrecht, so ist die Schnittlinie eine Kreislinie, z.B. K (s. Fig. 1).

Man ermittelt die Schnittfigur entweder mittels Mantellinien, die auf der Kegelfläche angenommen werden, oder mit Zuhilfenahme der ebengenannten Kreise K. So liefert z.B. die Mantellinie durch Punkt 5 (s. Fig. 1) im Aufriß den Punkt V, der in den Grundriß auf die Mantellinie durch 5, also nach V zu projizieren ist, oder die Horizontale K₂ durch IV im Aufriß (s. Fig. 1) stellt den Aufriß eines Kreises K dar, dessen Grundriß K₁ ist, und auf diesem liegt der Grundriß IV. Die wahre Gestalt der Ellipse B ist in B₃ durch Umlegung der Ebene B₂ in die Aufrißebene dargestellt. Eine Kugel K, welche die Ebene B₂ und den Kegel berührt, liefert in ihrem Berührungspunkt mit B₂ einen Brennpunkt f₂ der Ellipse B, dieser ist nach f₃ in die Umlegung übertragen. Im Grundriß stellt die Kegelspitze s₁ einen Brennpunkt für den Grundriß B₁ dar. Hierdurch ist auch die kleine Achse von B₁ gegeben. Letztere bestimmt sich auch mittels der durch m₂ gelegten Horizontalebene, diese enthält den Kegelkreis C, dessen Grundriß C₁ die Endpunkte der kleinen Achse von B₁ auf der Projizierenden durch m₂ ausschneidet.

In Fig. 2 ist der Parabel-, in Fig. 3 der Hyperbelschnitt dargestellt. Die Abwicklung des Kegelmantels ist ein Kreisausschnitt (s. Fig. 4) mit einem Halbmesser gleich der Seitenlänge des Kegels und einer Bogenlänge gleich dem Umfang des Kegelgrundkreises. Bezeichnet l diese Seitenlänge, r den Halbmesser, u den Umfang und α den Centriwinkel des Kreisausschnittes, so ist α = r : l · 360°. Im vorliegenden Falle ist r : l = ¹/₃. daher α = 120°. Ist der Grundkreis eingeteilt, so erfährt die gleiche Teilung der Bogen 1'' 1'' (s. Fig. 4). Die Schnittlinie B bestimmt sich in der Abwicklung durch Abtragen der wahren Abstände ihrer Punkte von der Kegelspitze auf den entsprechenden Mantellinien der Abwicklung, so ist z.B. der wahre Abstand des Punktes V[408] von der Kegelspitze aus dem Aufriß (Fig. 1) gleich

zu entnehmen und in die Abwicklung (Fig. 4) nach

zu übertragen.

Der Berührungspunkt einer auf der Schnittebene B senkrechten Berührungsebene an den Kegel mit der Schnittlinie B gibt einen Wendepunkt der Linie B''. In der Fig. 1 ist die eine Spur S₁ einer solchen Berührungsebene ermittelt und damit der Punkt b, der nach der Abwicklung des Kegelmantels (Fig. 4) sich in einen Wendepunkt b'' verwandelt, benimmt. Es ist S'' Tangente an A'' in a''

Der zweite Wendepunkt l₀ ist in Fig. 4 ebenfalls eingetragen.

Beim schiefen Kreiskegel ist in der Regel der Grundkreis und ein außerhalb der Kreisfläche liegender Punkt als Kegelspitze zur Darstellung gegeben (s. Fig. 5). Die Abwicklung des Kegelmantels geschieht hier durch Annahme einer hinlänglichen Anzahl von Mantellinien und der Ermittlung der wahren Gestalten der von aufeinander folgenden Mantellinien und den dazwischen liegenden Grundkreisstücken eingeschlossenen Dreiecke und deren Aneinanderreihung in der Ebene. In der Fig. 5 sind eine Anzahl von Mantellinien angenommen und in wahrer Länge ermittelt; so ist

die wahre Länge der Mantellinie durch den Punkt 5 von A u.s.w. Aus dem beliebig angenommenen Punkt s'' (Fig. 6) wurden mit diesen wahren Längen Kreisbögen beschrieben und von einem auf dem größten Kreise angenommenen Punkte 1'' die Strecke

[409] u.s.w., gleich den entsprechenden Strecken

von A₁, (Fig. 5) so abgetragen daß die Punkte 2'', 3'', 4'' u.s.w., auf den mit den Halbmesser

u.s.w. beschriebenen Kreisen liegen. Hierdurch ergibt sich in s'' 7'' 7'' A'' (s. Fig. 6) der abgewickelte Kegelmantel, auf welchen die Schnittlinie B der Ebene B₂ mit dem Kegel nach B'' übertragen ist. Es ist z.B. s'' VI'' (Fig. 6) = s₂ VI' (Fig. 5) u.s.w. Die Wendepunkte b'' und b₁'' sind eingetragen.

Kegeldurchdringung. Zwei Kreiskegel durchdringen sich nach einer Raumkurve C von der 4. Ordnung, von welcher Fig. 7 eine Ansicht in Grund- und Aufriß zeigt; ihre Punkte bestimmen sich mittels Hilfsebenen, welche die beiden Kegelspitzen enthalten und beide Kegel nach Mantellinien schneiden, die sich ihrerseits in Punkten von C begegnen. In der Fig. 7 ist die Konstruktion einzelner Punkte angedeutet. Die Hilfsebenen enthalten die Schnittpunkte u und v der Verbindungslinie s t der Kegelspitzen mit den Ebenen der Grundflächen A und B. So ist z.B. die Tangente D₃ durch v₃ an B₃ die dritte Spur einer solchen Hilfsebene; ihre erste Spur geht durch a₁ und u₁. Hierdurch sind die Mantellinien durch 1–2 auf beiden Kegeln bestimmt, welche die Schnittpunkte I und II von C ergeben. In der Fig. 7 sind noch einige weitere Punkte, insbesondere je auf den scheinbaren Umrissen der Kegel liegende Punkte angedeutet. Im Punkte V ist eine Tangente von C, als Schnittlinie der beiden Berührungsebenen in V an die beiden Kegel bestimmt worden. Dem Punkte V entspricht der Punkt 5 auf A und B. Die Horizontalspuren J₁ und H₁ der Berührungsebenen längs der Mantellinien s 5 und t 5 an die beiden Kegel schneiden sich in einem Punkte g₁ der Tangente J₁ an den Grundriß C₁ der Kurve C. Der Ansicht J₂ ist die Verbindungslinie r g₂; in der Figur nicht gezeichnet.

Vonderlinn.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.