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Festigkeitsbedingung

[716] Festigkeitsbedingung, soll ermöglichen, das Eintreten des Bruches oder unerlaubter Formänderungen fester Körper und damit deren zulässige Beanspruchung auch für solche Fälle ruhender Belastung zu beurteilen, für welche dies nicht auf Grund besonderer Versuche geschehen kann. Die ausgedehntesten Versuche liegen vor für prismatische Stäbe, die lediglich durch möglichst gleichmäßig auf den Querschnitt verteilte Kräfte in ihrer Längsrichtung gezogen oder gedrückt sind. Es wäre deshalb erwünscht, aus den Resultaten für diesen einfachsten Fall auch auf die Fertigkeit und zulässige Beanspruchung unter andern Verhältnissen schließen, die Spannungen durch beliebige äußere Kräfte auf äquivalente Spannungen durch Zug oder Druck allein reduzieren zu können. Aus diesem Grund wohl hat die im folgenden zuerst vorzuführende Festigkeitsbedingung bis jetzt am meisten Anklang gefunden, obschon gegen sie wie gegen die andern mancherlei Einwände erhoben werden können.

Die Formänderungen fester Körper pflegen von einem spannungslosen Zustande aus gerechnet zu werden, für den die Entfernung zweier aufeinander wirkender Körperpunkte m und n durch m n bezeichnet sein mag. Finden nun infolge äußerer Kräfte und der dadurch bedingten Spannungen irgend welche Deformationen statt, so wird aus der Entfernung m n eine andre Entfernung m n₁ = m n (1 + e_n). (s. die Figur), wobei e_n die Dehnung (s.d., Bd. 2, S. 692) von m n heißt. Zur Gewinnung von Anhaltspunkten für die zulässigen Beanspruchungen bei beliebigen äußeren Kräften wurde nun bisher meist von der zuerst von Mariotte [1] ausgesprochenen Ansicht ausgegangen, daß die Trennung der Punkte m n eintritt, wenn 1 + e_n nach oben oder unten gewisse Grenzen überschreitet, wonach die Festigkeitsbedingung lautet:

Weil aber der Bruch nicht eintreten soll, so darf man mit _en nicht bis zu den Grenzen u – 1 und o – 1 gehen, sondern nur bis zu irgend welchen erfahrungsgemäß festzustellenden Werten – u und o, so daß für die zulässigen Dehnungen die Bedingung besteht:

Da nun in der Elastizitäts- und Festigkeitslehre die Dehnung e_n stets gleich der Normalverschiebung n_n, d.h. gleich der Komponente der Totalverschiebung [716] nn₁ = r_n (s. die Figur) in der anfänglichen Richtung des Punktes n von m aus (in der Figur mit n bezeichnet) gesetzt wird (vgl. [7], §§ 4, 5, 6, 30, 32), so tritt an Stelle von 2.:

Bei diesem Vorgehen gilt es als ganz gleichgültig, durch welche Spannungen die Dehnungen entstanden sind. Denken wir uns dieselben nun lediglich durch Normalspannungen auf Flächenelemente der anfänglichen Normalenrichtung m n (Richtung n in Figur), d.h. auch durch Zug oder Druck allein auf die Endflächen eines parallelepipedischen Körperelements der Längsrichtung m n hervorgebracht, so erfordert die Dehnung e_n = n_n als Längenänderung pro Längeneinheit Normalspannungen En_n, unter E den Elastizitätsmodul für die Richtung m n verstanden (s. Dehnung, Bd. 2, S. 693, Elastizitätsmodul, Bd. 3, S. 392, und [7], § 47), und es besagt nun die Bedingung 3., daß auch bei jeder andern Erzeugungsart n_n der Wert E n_n zwischen den bei jener Erzeugungsart maßgebenden Grenzen – Eu = d, und Eo = z bleiben soll, wir erhalten:

worin z, d die zulässige Zug- und Druckbeanspruchung pro Flächeneinheit Querschnitt für prismatische Stäbe, die allein durch gleichmäßig auf den Querschnitt verteilte Kräfte in der Längsrichtung m n beansprucht sind. Wären die Elastizitätsmoduln E_z, E_d. für Zug und Druck nicht gleich, so würden – d < E_dn_n und E_z n_n < z an Stelle von 4. treten.

Für isotrope Körper müssen die vorstehenden Grenzbedingungen mit bestimmten Werten von u. o oder d, z für alle einem Körperpunkte m benachbarten Körperpunkte n gelten. Die Maxima oder Minima der Normalverschiebungen n_n treten im Falle stetiger Verschiebungen für Punkte n in drei zueinander senkrechten Richtungen ein und sind unter den Voraussetzungen der allgemeinen Elastizitätslehre (s.d.) als Hauptverschiebungen a, b, c wie folgt bestimmt:

worin ε der Elastizitätsquotient (s.d.), A, B, C die drei Hauptspannungen beim Punkte m, d.h. die Maxima und Minima der Normalspannungen N_n daselbst (s. Elastizitätslehre, S. 389, Spannungen). Sie wirken auf diejenigen Flächenelemente bei m, deren Normalenrichtungen in die Richtungen von a, b, c fallen, und sind die ganzen Beanspruchungen derselben (Schubspannungen fehlen [7], §§ 14, 15). Da sich nun die algebraischen Grenzwerte von n_n unter den positiven oder negativen Werten a, b, c und die algebraischen Grenzwerte von E n_n unter den positiven oder negativen Werten U = Ea, B = Eb, S = Ec befinden müssen, so hat man nach 3.:

während die in praktischen Fällen meist bequemere Bedingung 4. ausgedrückt werden kann:

U, B, S sind die auf reinen Zug oder Druck reduzierten Hauptspannungen; sie ergeben sich aus 5., sobald man die wirklichen Hauptspannungen A, B, C kennt. Diese reduzierten Hauptspannungen hätten also nach der obigen Anschauung unter den zulässigen Beanspruchungen für reinen Zug bezw. für reinen Druck zu bleiben. Die Werte der Hauptspannungen A, B, C sind von den äußeren Kräften abhängig (s. Hauptspannungen) und oft unmittelbar aus den Bedingungen des einzelnen Falles zu entnehmen. So hat man beispielsweise unter den Voraussetzungen der technischen Biegungstheorie (s. Biegung, Hauptspannungen)

und damit nach 5. die reduzierten Hauptspannungen:

also speziell für ε = 4 (vgl. Elastizitätsquotient):

Zu beachten ist, daß für die Anwendung der obigen Beziehungen die Richtungen der durch die Hauptspannungen ergriffenen Flächenelemente gleichgültig sind, so daß die unter Hauptspannungen für h = A, B, C gegebenen Gleichungen genügen. Behufs Anwendung von 6., worin u = d : E, o = z : E, siehe Hauptverschiebungen, vgl. Dehnung, Bd. 2, S. 692.

Die oben eingeführte Voraussetzung, daß die Trennung eintritt, wenn 1 + e_n gewisse Grenzen nach oben oder unten überschreitet, ist nur insoweit anwendbar, als die Dehnungen von Spannungen allein herrühren, da durch Temperaturänderungen ohne Spannungen zwar Dehnungen erfolgen (Volumenänderungen), aber kein Bruch eintritt und ein Aufheben der Kohäsion erst beim Schmelzen u.s.w. Finden nun vom anfänglichen spannungslosen Zustande aus neben der Einwirkung äußerer Kräfte auch Temperaturänderungen statt, um τ° bei m, während n_n die ganze Normalverschiebung und α den linearen Ausdehnungskoeffizienten (s.d.) für die Richtung m n bezeichnen, dann treten an Stelle von 3. und 4.:

wonach auch in 5., 6. a – α τ, b – α τ, c – α τ für a, b, c zu setzen sind, während die wichtige Beziehung 7. mit den reduzierten Hauptspannungen

bestehen bleibt. Hierin können nun jedoch die Hauptspannungen A, B, C selbst von der Temperaturänderung abhängen (s. Elastizitätslehre, allgemeine, und Hauptspannungen).

Die vorgeführte Ermittlung der zulässigen Beanspruchung, die von Poncelet eingeführt [2] und besonders auch von Saint-Venant vertreten worden ist [3], hat vielfach Widerspruch erfahren. Mohr [6] hielt es für unberechtigt, daß nur die Verschiebungen n_n, nicht die sonstigen [717] Deformationen beim Körperpunkte m berücksichtigt werden, und suchte durch eine neue Darstellung des Spannungs- und Deformationszustandes und durch Berücksichtigung von Versuchsresultaten eine bessere Erkenntnis der für die Zerstörung maßgebenden Bedingungen anzubahnen. Nach den Erscheinungen beim Bruche durch Druck und beim Fließen plastischer Körper wird angenommen, daß die Körperteilchen sich in denjenigen Flächen gegeneinander verschieben, welche die größten Schubspannungen aufzunehmen haben (s. Hauptschubspannungen). Da nun das Gleiten und Brechen zunächst von den Spannungen derjenigen Flächen abhängig erscheint, in denen diese Bewegungen wirklich stattfinden, so stellte Mohr die neue Hypothese auf [16], [24]: »Die Elastizitätsgrenze und die Bruchgrenze eines Materials werden bestimmt durch die Spannungen der Gleit- und Bruchflächen«, mit der Ergänzung: »Die Schubspannung der Gleitfläche erreicht an der Grenze einen von der Normalspannung und von der Materialbeschaffenheit abhängigen Größtwert.« Bezüglich der weiteren Ausführung dieses Gedankens und dessen mehrfacher Bestätigung sei auf die Quelle verwiesen. Mohr fügt bei: »Vielleicht wäre es vorzuziehen, anstatt der wirklichen die reduzierten Spannungen der Gleitflächen als die maßgebenden Größen in Betracht zu ziehen. Bei dem gegenwärtigen Stande unsrer Erfahrungen, besonders über die Zustände in der Nähe der Bruchgrenze, ist dies jedoch untunlich, und wahrscheinlich würden sich auch die Ergebnisse nicht erheblich ändern.« – Wehage [9] erschien es unzulässig, daß von den drei Hauptverschiebungen isotroper Körper bei einem Punkte m nur eine ohne Rücksicht auf die Werte der andern als maßgebend angesehen wird. Nach dieser Anschauung müsse z.B. bei einer Platte, die in einer Richtung gezogen werde, die Inanspruchnahme eine Verminderung erfahren, wenn sie außerdem in der dazu senkrechten Richtung einem (etwas geringeren) Zuge ausgesetzt werde, und eine Vermehrung, wenn sie in letzterer Richtung einem Drucke unterworfen werde; denn im ersteren Falle würde die vorhandene Dehnung vermindert, im letzten Falle würde sie vermehrt werden. Das Verfahren des Drahtziehens zeige aber, daß ein stabförmiger Körper eine viel größere Dehnung ohne Verminderung seiner Fertigkeit aushalten könne, wenn er gleichzeitig in den Querrichtungen einen Druck (im Zieheisen) erhalte, als wenn letzteres nicht der Fall ist. Aus eignen Versuchen mit zwei Platten schloß Wehage, daß bei Beanspruchung nach zwei zueinander senkrechten Richtungen die Dehnung an der Elastizitätsgrenze wesentlich geringer als bei einfachem Zug war und auch der Bruch schon bei weit geringeren Dehnungen als bei einfachem Zuge erreicht wurde. »Wenn dem Streben dei inneren Kräfte, bei einer Dehnung in der Längsrichtung die Teilchen in der Querrichtung enger aneinander zu drängen, durch Querkräfte entgegengewirkt wird, also die Zusammenziehung in der Querrichtung teilweise oder ganz verhindert oder gar noch eine Dehnung in der Querrichtung hervorgerufen wird, so kann hierdurch die Anstrengung des Materials nicht vermindert, sie muß vielmehr vergrößert werden, denn das Material wird dabei mehr gelockert als sonst« [22]. Eine allgemeine Lösung der Aufgabe hält Wehage auf Grund der bis jetzt vorliegenden Versuchsergebnisse nicht für möglich, er suchte deshalb vorläufig geeignete Bedingungen für den häufigst vorkommenden Fall aufzustellen, daß eine der drei Hauptspannungen A, B, C gleich Null ist oder doch außer Betracht bleiben kann und die größte der zwei verbleibenden Hauptspannungen Zug bedeutet. – Da allerdings nicht ohne weiteres als begründet gelten kann, daß die Trennung zweier Punkte m, n nur von der Aenderung ihrer Entfernung, nicht auch von der Gruppierungsänderung der übrigen auf sie wirkenden Punkte abhängt, und selbst die Annahme en = un nicht unbeschränkt zulässig ist, so wären umfassendere Versuche zur Klärung der Frage sehr erwünscht.

Literatur: [1] Oeuvres de Mariotte, La Haye 1740, Bd. 2, S. 461, 464 (Aufsatz von 1686). – [2] Poncelet, Lehrbuch der Anwendung der Mechanik auf Maschinen, deutsch von Schnuse, II, Darmstadt 1848, S. 175. – [3] Navier, Resumé des lecons sur l'application de la Mecanique, 3. Aufl., avec des notes et des appendices par Saint-Venant, I, Paris 1864, § XLIV und S. 8. – [4] Winkler, Die Lehre von der Elastizität und Fertigkeit, Prag 1867, S. 31. – [5] Grashof, Theorie der Elastizität und Fertigkeit, Berlin 1878, S. 34. – [6] Mohr, Ueber die Darstellung des Spannungs- und Deformationszustandes eines Körperelementes und über die Anwendung derselben in der Festigkeitslehre, Civilingenieur 1882, S. 113. – [7] Weyrauch, Theorie elastischer Körper, Leipzig 1884. – [8] Ders., Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 160. – [9] Wehage, Ueber die maßgebenden Dehnungen bei Körpern, welche nach mehreren Richtungen zugleich beansprucht werden, Mitteil. aus den K. technischen Versuchsanstalten zu Berlin 1888, S. 89. – [10] Ders., Zerreißversuche mit Papier und Zinnblättern bei einer Inanspruchnahme nach zwei zueinander senkrechten Richtungen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingenieure 1890, S. 312, 331. – [11] Voigt, Beobachtungen über die Fertigkeit bei homogener Deformation, Wied. Annalen 1894, LIII, S. 43; 1899, LXVII, S. 452. – [12] Foeppl, Ueber die Abhängigkeit der Bruchgefahr von der Art des Spannungszustandes, Zentralbl. d. Bauverw. 1899, S. 527, 541, 590, 603; 1900, S. 147,287, 403. – [13] Ders., Abhängigkeit der Bruchgefahr von der Art des Spannungszustandes, Mitteil. aus d. mech.-techn. Laborat. d. Techn. Hochschule München, 27. Heft, 1900, S. 1. – [14] Ders., Vorlesungen über technische Mechanik, III, Fertigkeitslehre, Leipzig 1900, S. 67, 72. – [15] Guest, Strength of ductile materials under combined stress, Philosophical Magazine 1900, Bd. 49, S. 69 (s. auch 1902). – [16] Mohr, Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenze und den Bruch des Materials, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingenieure 1900, S. 1524, 1572. – [17] Voigt, Zur Festigkeitslehre, Wied. Annalen 1901, IV, S. 567. – [18] Mohr, Zur Fertigkeitslehre, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingenieure 1901, S. 740 (Antwort an Voigt, Replik von Voigt S. 1033, Duplik von Mohr S. 1035). – [19] Szily, Zugversuche mit auf inneren Druck beanspruchten Röhren, Kongreß des internationalen Verbandes für die Materialprüfungen der Technik, Budapest 1901. Auszug: Baumaterialienkunde 1902, S. 332. – [20] Roth, Die Fertigkeitstheorien und die von ihnen abhängigen Formeln des Maschinenbaues, Zeitschr. f. Math. u. Physik 1903, S. 285 (darin auch eine Anwendung der Mohrschen Hypothese). – [21] Mehrtens, Vorlesungen über die Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre, 1, Leipzig 1903, S. 379. – [22] Wehage, Die zulässige[718] Anstrengung eines Materials bei Belastung nach mehreren Richtungen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingenieure 1905, S. 1077. – [23] Bach, Elastizität und Fettigkeit, Berlin 1905, S. 424. – [24] Mohr, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, Berlin 1906. – Die meisten Lehrbücher der Festigkeitslehre enthalten wie [4], [5], [8], [14], [21], [23] irgend eine Darstellung des obigen Ponceletschen Verfahrens.

Weyrauch.