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Graphisches Rechnen [1]

[611] Graphisches Rechnen, der Inbegriff aller Methoden zur Lösung von Aufgaben der Analysis durch mit Lineal, Zirkel, Maßstab und andern Zeichenwerkzeugen auszuführende Konstruktionen. Man stellt hierbei die reellen Zahlgrößen in der Regel durch Strecken dar, die nach einem gewöhnlichen (gleichmäßig geteilten) oder auch z.B. einem logarithmischen Maßstab (s. unten) aufgetragen sein können.

Vielfach wird das graphische Rechnen zusammen mit der graphischen Statik (s.d.) in denselben Lehrbüchern behandelt, und es wird darin oft auch auf graphische Tafeln (s.d.), auf Rechenapparate und auf die Verwandlung der Flächen und Körper eingegangen. – Abgesehen davon, daß manche analytische Aufgaben sich bis jetzt überhaupt nur graphisch direkt lösen lassen, bestehen die Vorzüge der graphischen Methoden hauptsächlich darin, daß sie anschaulich und bequem ausführbar sind; anderseits ist ihre Genauigkeit eine beschränkte. Zeichnung und Rechnung ergänzen einander, und man wird oft gut tun, beide anzuwenden. Die genannten Vorzüge kommen bei den gewöhnlichen arithmetischen Operationen weniger zur Geltung als bei der Berechnung der Werte von Funktionen und der Auflösung von Gleichungen.

Von den zahlreichen Methoden zur graphischen Berechnung des Wertes, den eine gegebene rationale ganze Funktion

z = f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1 x + a_n

für einen gegebenen Wert von x annimmt, ist, falls ein gewöhnlicher Maßstab benutzt wird, wohl die einfachste (und zugleich eine der alterten) diejenige von A. v. Segner [1]. Man trägt zur Vorbereitung (s. Fig. 1) in einer senkrechten Geraden, der z-Achse, die Strecken o o₁ = a₀, o₁ o₂ = a₁, o₂ o₃ = a₂, ... o_n o_{n + 1} = a_n auf, und zwar jede abwärts oder aufwärts, je nachdem sie zu einem positiven oder negativen Koeffizienten gehört, zieht durch den letzten Punkt o_{n + 1} eine Wagerechte, welche die x-Achse gibt, ferner im Abstand + 1 von der z-Achse eine Parallele P zu dieser, welche die Wagerechte durch o in p schneiden möge, und noch die Gerade p o1. Ist dann ein bestimmter Wert von x gegeben, so zieht man im Abstand x die Parallele Q mit der z-Achse, durch ihren Schnittpunkt q₁ mit o₁ p die Wagerechte q₁ p₁, von deren Schnittpunkt p₁ mit P eine Gerade nach o₂, durch deren Schnittpunkt q₂ mit Q eine Wagerechte q₂ p₁ bis P u.s.w. Der gesuchte Wert von f(x) ist dann gleich der Höhe (z-Koordinate) des Punktes q_n. Wird die Gerade Q parallel mit der z-Achse stetig verschoben, so beschreibt der Punkt q_n die Kurve zur Gleichung z = f(x). Die Abszissen der Schnittpunkte derselben mit der x-Achse sind die Wurzeln der Gleichung f(x) = o.

Noch vorteilhafter, namentlich bei der Auflösung von Gleichungen höheren Grades, ist die logarithmographische Methode [2]. Nachdem die linke Seite der gegebenen Gleichung f(x) = o auf irgend eine Weise in eine Differenz f₁ (x) – f₂ (x) zweier Funktionen zerlegt worden ist, setzt man jede gleich z, wodurch die beiden Gleichungen

z = f₁ (x), z = f₂ (x)

entstehen. Indem man log x und log z zu Koordinaten eines veränderlichen Punktes nimmt, erhält man zu jeder dieser Gleichungen eine Kurve; dann sind die Abszissen der Schnittpunkte beider Kurven die Logarithmen der reellen positiven Wurzeln der Gleichung f(x) = o. Die negativen Wurzeln ergeben sich durch die Bestimmung der positiven Wurzeln der Gleichung f(–x) = o. Bei einer algebraischen Gleichung gewöhnlicher Form geschieht jene Zerlegung von f(x) am einfachsten durch Trennung der positiven und negativen Glieder; oft ist es zweckmäßig, die ganze Gleichung überdies mit einer Potenz von x zu dividieren. Die Logarithmentafel wird entbehrlich gemacht durch Benutzung eines logarithmischen Maßstabes – auch logarithmische Skala oder Teilung genannt, s. Fig. 2, links –, wie sie auf den logarithmischen Rechenschiebern (s. Rechenmaschinen) vorkommen und dadurch erhalten werden, daß man im Maßstab der Zeichnung die Logarithmen der Zahlen in einer Geraden von einem Punkt aus abträgt und an die Endpunkte der abgetragenen Strecken die betreffenden Zahlen schreibt.

Zur Konstruktion der fraglichen Kurven ist folgendes zu bemerken. Besteht die Funktion z aus einem einzigen Gliede z = a xⁿ, so gehört dazu (wegen log z = n log x + log a) eine Gerade, die durch den Punkt log a der z-Achse geht und deren Neigung gegen die x-Achse n : 1 beträgt; es darf n auch negativ, gebrochen und irrational sein. Besteht z aus mehreren Gliedern, etwa

z = a xⁿ ± a₁xⁿ¹ ± a₂xⁿ² ± ...,

so zeichnet man zuerst die den einzelnen Gliedern entsprechenden Geraden. Schneidet dann (s. das Beispiel

in Fig. 3) eine beliebige Parallele zur z-Achse die x-Achse[611] in o, jene Geraden in p, p₁ ..., so könnte man die Strecken o p, o p₁ ... mit dem logarithmischen Maßstab messen und die algebraische Summe der gefundenen Zahlenwerte mit demselben Maßstab in der Senkrechten auftragen, wodurch sich ein Punkt der verlangten Kurve ergeben würde.

Schneller gelingt aber die logarithmische Addition bezw. Subtraktion zweier Strecken, wie o p und o p₁ mittels einer besonderen Additions- bezw. Subtraktionskurve (Fig. 4) – man sucht (s. Fig. 5 bezw. Fig. 6) zu p p₁ als Abszisse die zugehörige Ordinate der Additions- bezw. Subtraktionskurve und macht (unter Beachtung des Vorzeichens) p₁ r gleich dieser Ordinate, dann ist o r = log (num o p + num o p₁) bezw. = log(num o p₁ – num o p) – und am schnellsten durch Anwendung des von E.A. Brauer in Karlsruhe konstruierten logarithmischen Zirkels (s. [3] und Fig. 7): man braucht beispielsweise im Falle der Addition nur die ersten beiden Spitzen auf die Punkte p und p₁ zu bringen (Fig. 5), so gibt die dritte Spitze von selbst die Lage des Punktes r an.

Unter Benutzung der Methoden der darstellenden Geometrie lassen sich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten f (x, y) = 0, g(x y) = 0 logarithmographisch auf folgende Art lösen [4]. Man zerlegt f und g auf irgend eine Weise in die Differenz zweier Funktionen f₁ (x, y) und f₂ (x, y) bezw. g₁ (x, y) und g₂ (x, y) und setzt jede gleich z, wodurch sich die beiden Systeme

z = f₁ (x, y), z = f₂ (x, y) und z = g₁ (x, y), z = g₂ (x, y)

ergeben. Betrachtet man log x, log y, log z als Koordinaten eines veränderlichen Punktes, so stellt jede der vorhergehenden Gleichungen eine verhältnismäßig leicht zu konstruierende Fläche, jedes der beiden Gleichungssysteme eine Raumkurve, nämlich die Schnittkurve der zugehörigen Flächen dar, und die Koordinaten der Schnittpunkte, welche die x y-Projektionen jener beiden Raumkurven liefern, sind die Logarithmen der positiven reellen Wertepaare x, y, welche den gegebenen Gleichungen genügen. Ausdehnung der Methode auf Systeme von mehr als zwei Gleichungen in [4a].

Zur graphischen Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten sind verschiedene Methoden vorgeschlagen worden, unter denen eine von van den Berg (s. [5], woselbst viele Literaturangaben) und diejenige von Klingatsch [7] erwähnt werden mögen. Die erstere, von Mehmke vereinfacht [6], besteht in einer graphischen Ausführung der bekannten Eliminationsmethode (s. Gleichungen, S. 565); bei der letzteren werden die Unbekannten als Hebelarme von parallelen Kräften betrachtet, deren Intensitäten gleich den Koeffizienten der Unbekannten in den gegebenen Gleichungen sind; die zu den Koeffizienten einer und derselben Gleichung gehörigen Kräfte werden zu einem System zusammengefaßt und es gelingt durch Konstruktion der den einzelnen Kräftesystemen entsprechenden Kräfte- und Seilpolygone, die Lage der Wirkungslinien der Kräfte und damit die Unbekannten zu bestimmen.

Literatur: [1] Segner, A. v., Novi Commentarii Acad. Petrop., 1761, S. 111. – [2] Mehmke, R., Neue Methode, beliebige numerische Gleichungen mit einer Unbekannten graphisch aufzulösen, Civilingenieur, Bd. 35, S. 617, 1889. – [3] Katalog mathematischer ... Modelle, Apparate und Instrumente, im Auftrage der Deutschen Mathematikervereinigung herausgegeben von W. Dyck, Nachtrag, Nr. 97, S. 40, München 1893. – [4] Mehmke, R., Neues Verfahren zur Bestimmung der reellen Wurzeln zweier numerischer algebraischer Gleichungen mit zwei Unbekannten, Zeitschr. f. Mathem. u. Physik, Bd. 35, 1890, S. 174. – [4a] Ders., Ueber die darstellende Geometrie der Räume von vier und mehr Dimensionen, mit Anwendungen auf die graphische Mechanik, die graphische Lösung von Systemen numerischer Gleichungen und auf Chemie, Mathem.-naturw. Mitteil. (2), 6, 1904, S. 44. – [5] Van den Berg, F.J., Over de graphische oplossing van een stelsel linéaire verglijkingen, Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Natuurkunde, 3. Reeks, Deel IV, 1887. – [6] Mehmke, R., Mathem. Sammlung der Moskauer Mathem. Gesellsch., Bd. 16, 1892, S. 342; s.a.: Des Ingenieurs Taschenbuch, herausg. von der »Hütte«, z.B. 16. Aufl., Berlin 1896, Abt. 1, S. 51. – [7] Klingatsch, A., Wiener Monatshefte für Mathem. u. Physik, 3. Jahrg., 1892, S. 169. Eine gedrängte Uebersicht über das graphische Rechnen, mit zahlreichen Literaturangaben, ist gegeben in der Enzyklop. der mathemat. Wissensch., Leipzig 1902, Bd. 1, 2. Teil, S. 1006. – Unter den folgenden Lehrbüchern ist das von Favaro-Terrier das ausführlichste und durch reiche Literaturangaben ausgezeichnet. Consinery, B.-E., Le calcul par le trait, Paris 1839; Cremona, L., Elemente des graphischen Calcul, aus dem Italienischen übersetzt von M. Curtze, Leipzig 1875; Culmann, C., Die graphische Statik, 2. Aufl., Zürich 1875, Bd. 1; Ott, K. v., Das graphische Rechnen und die graphische Statik, 4. Aufl., 1. Teil, Prag 1879; Favaro, A., Terrier, P., Leçons de statique graphique, 2e partie, Calcul graphique, Paris 1885. – Unter zahlreichen Schriften über graphische Integration verdienen als bahnbrechend hervorgehoben zu werden: Massau, J., Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications (Extrait de la Revue universelle des mines, Bd. XVI, S. 243, 1884), Paris u. Liège 1885; Massau, J., Appendice an Mémoire sur l'integration graphique et ses applications, Paris 1890.

Mehmke.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5., Fig. 6., Fig. 7.