[67] Irrational (v. lat., fr. Irraisonabel), 1) vernunftwidrig; 2) unüberlegt; 3) (Math.), ein Verhältnißbegriff für Größen, deren eine nicht aus Theilen der anderen zusammengesetzt werden kann, z.B. die Diagonale eines Quadrats od. Cubus in Beziehung auf deren Seiten. Bei Zahlen bezieht sich der Begriff auf die Einheit; so sind die Quadratwurzeln aller solcher ganzen Zahlen, die nicht Quadratzahlen sind, Irrationalzahlen, d.i. sie lassen sich, auch mit Hülfe von Brüchen, nicht durch Zahlen angeben; z.B. die Quadratwurzel aus 13 ist eine Irrationalzahl, denn 3 ist zu klein, da das Quadrat von 3 gleich 9 ist, 4 ist zu groß, denn 42 = 16, ein Bruch zwischen 3 u. 4 kann aber diese Quadratwurzel auch nicht sein, da das Quadrat eines Bruches immer wieder ein Bruch ist. Man kann sich aber solchen Irrationalzahlen durch Decimalbrüche immer beliebig nähern, z.B. man kann eine Zahl angeben, deren Quadrat von 13 so wenig als man will, abweicht. Ein Irrationales Verhältniß findet also immer zwischen Größen statt, die kein gemeinschaftliches Maß haben; vgl. Incommensurabel. Irrationalfunction, eine Function, in welcher Potenzen der veränderlichen Größe mit gebrochenem Exponenten vorkommen. Die Irrationalrechnung hat zum Gegenstand, die Vergleichung der verschiedenen Gattungen dieser Größen u. der aus solchen u. rationalen zusammengesetzten. Die sogenannten arithmetischen Species lassen sich auf sie anwenden. Euklides hat die Begriffe von J. u. Incommensurabel zuerst in die Mathematik eingeführt, das ganze 10. Buch seiner Elemente handelt davon, in Bezug auf räumliche Größen u. zwar bes. auf Irrationale Linien.