Pythagorēischer Lehrsatz

[487] Pythagorēischer Lehrsatz, einer der wichtigsten und folgenreichsten Lehrsätze der Geometrie, der nach seinem Entdecker Pythagoras benannt ist und wegen seiner Wichtigkeit früher häufig Magister matheseos (Haupt der Mathematik) genannt wurde. Er sagt aus, daß in jedem rechtwinkligen Dreieck CAB (s. Figur) das Quadrat BCKL über der Hypotenuse BC genau so groß ist, wie die Quadrate ACGH u. ABEF über den beiden Katheten AC und AB zusammengenommen.

Der Satz wird nach Eukleides so bewiesen: Man fällt von A aus auf die Hypotenuse BC das Lot AD und verlängert es bis J. Dann zerfällt das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke CDJK und DBLJ, die der Reihe nach den beiden Quadraten über den Katheten CA und AB gleich sind. Zieht man nämlich die Hilfslinien GB und AK, so haben die Dreiecke GCB und ACK gleichen Flächeninhalt, denn dreht man das Dreieck GCB um C herum, nach rechts, um einen Winkel von 90°, so fällt CB auf CK, CG auf CA und also GB auf AK, so daß die Dreiecke einander decken. Ferner ist das Dreieck GCB genau halb so groß wie das Quadrat GCAH, weil beide Figuren die Grundlinie GC und die Höhe AC (AC ist nämlich gleich dem senkrechten Abstande der Spitze B des Dreiecks GCB von der Grundlinie GC) gemein haben (nach dem Satz: jedes Dreieck ist halb so groß wie ein Parallelogramm, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat). Aus demselben[487] Grund ist das Dreieck ACK halb so groß wie das Rechteck CKJD, denn beide haben dieselbe Grundlinie CK und dieselbe Höhe CD. Demnach ist das Quadrat CAHG gleich dem Rechteck CKJD. Ebenso beweist man durch Ziehung der Hilfslinien CE und AL und durch Benutzung der Dreiecke EBC und ABL, daß das Quadrat ABEF gleich dem Rechteck BLJD ist. Die Summe der beiden Quadrate CAHG und ABEF ist daher gleich der Summe jener beiden Rechtecke, d. h. gleich dem Quadrat BCKL, was zu beweisen war. Mit dem pythagoreischen Lehrsatz steht in engstem Zusammenhang der Satz, daß das Quadrat über der Höhe AD eines rechtwinkligen Dreiecks CAB gleich dem Rechteck aus den Abschnitten CD und DB ist, welche die Höhe auf der Hypotenuse CB bestimmt. Da der Flächeninhalt dieses Rechtecks gleich dem Produkt aus CD und DB ist, so kann man das auch so ausdrücken: Die Höhe AD ist die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten CD und DB. Der pythagoreische Lehrsatz ist besonders deshalb so wichtig, weil er nahezu der einzige Lehrsatz der elementaren Geometrie ist, der bei der Begründung der höhern Mathematik, der Differential- und Integralrechnung benutzt wird.