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Mathematik

[431] Mathematik (auch Mathesis, v. griech. mathema, »Wissenschaft«), zunächst, als sogen. reine M., die Wissenschaft von den Eigenschaften, die den Größen zukommen, wenn man diese eben nur als Größen betrachtet; solche Eigenschaften sind: die Zählbarkeit, Teilbarkeit und Meßbarkeit der Größen, ferner die Möglichkeit, mehrere Größen miteinander zu verknüpfen und so neue Größen zu bilden (durch Rechenoperationen, geometrische Konstruktionen etc.). Dieser reinen M. gegenüber steht die angewandte, in deren Gebiet alles gehört, was zählbar und meßbar ist, also namentlich alle Naturerscheinungen, soweit sich aus ihnen durch Zählen und Messen Beziehungen zwischen Größen ableiten lassen. Die reine[431] M. zerfällt in die Analysis oder Arithmetik im weitesten Sinne des Wortes, die sich mit den Zahlgrößen, und in die Geometrie, die sich mit den Raumgrößen beschäftigt. Da aber die Eigenschaften der Raumgrößen jedenfalls bis zu einem gewissen Grade der Anschauung oder Erfahrung entnommen werden müssen, so wollen viele die Geometrie gar nicht als reine M. gelten lassen und die M. ganz »arithmetisieren«, doch sind die Beziehungen zwischen Analysis und Geometrie viel zu mannigfaltig, und die Förderung, die jede der beiden von der andern erfahren und noch zu erwarten hat, ist viel zu wertvoll, als daß diese einseitige Auffassung jemals die allein herrschende werden könnte. Die Analysis umfaßt die gewöhnliche Arithmetik (Rechenkunst, Buchstabenrechnung), die höhere Arithmetik (Algebra, Zahlentheorie) und die Differential- und Integralrechnung mit allen den vielen Gebieten, zu denen die Weiterbildung der Differentialrechnung allmählich geführt hat (Funktionentheorie, Theorie der Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Transformationsgruppen etc.). Bei der Geometrie unterscheidet man reine und analytische Geometrie, zu jener rechnet man die elementare Geometrie, wie sie von Euklid überliefert ist, die neuere (projektive) Geometrie, die darstellende Geometrie und endlich die reine Bewegungslehre (Kinematik), bei der von den Ursachen der Bewegung (den Kräften) und von der Zeit abgesehen und nur der Bewegungsvorgang betrachtet wird. Die analytische Geometrie ist nichts andres als Anwendung der Analysis auf Geometrie und zerfällt in einen elementaren Teil, der nur die Elemente der Analysis benutzt (die gewöhnlich so genannte analytische Geometrie), und in einen höhern Teil, der von allen Hilfsmitteln der Analysis Gebrauch macht (Theorie der Kurven und Flächen, Infinitesimalgeometrie). Übrigens können auch viele Gebiete der Analysis nicht oder nur schwer ohne Zuhilfenahme geometrischer Vorstellungen auskommen, während anderseits die reine Geometrie, wenn sie zu verwickeltern Gebilden fortschreitet, für ihre Leistungsfähigkeit ziemlich bald eine Grenze findet, die nur einzelne mit besonders hervorragendem Vorstellungsvermögen begabte Geister, wie J. Steiner, weiter hinausschieben können, die aber nur mit Hilfe der Analysis wirklich überwunden werden kann. Zur angewandten M. endlich gehören die (analytische) Mechanik, die Astronomie und die mathematische Physik, während die mathematische Chemie und Physiologie noch in den Anfängen stecken, ferner die praktische (kaufmännische, juristische, politische) Arithmetik, die praktische Geometrie oder Feldmeßkunst (Geodäsie) sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung, Versicherungswesen und Statistik. Angewandte M. sind endlich zu einem nicht geringen Teile viele Gebiete der Technik, z. B. Maschinenlehre, Hochbaukunst, Wege-, Wasser- und Bergbaukunst, Nautik etc. Zu beachten ist, daß die Entwickelung der M. gerade durch die Aufgaben, welche die Anwendungen auf Naturlehre und Technik gestellt haben, außerordentlich gefördert worden ist, und daß eigentlich erst das 19. Jahrh. Mathematiker hervorgebracht hat, welche die M. rein um ihrer selbst willen, ohne Rücksicht auf die Anwendungen, betreiben.

Die reine M. hat das Eigentümliche, daß sie aus gewissen einfachen Begriffen und Voraussetzungen ihre Ergebnisse durch rein logische Schlüsse ableitet, deren Richtigkeit jedes Wesen, das mit menschlicher Vernunft begabt ist, zugeben muß. Erforderlich ist dabei nur, daß jene Begriffe und Voraussetzungen so gewählt sind, daß man niemals auf einen Widerspruch stößt, denn ein solcher würde sofort das ganze Gebäude umstoßen. Deshalb entnimmt die M. ihre ersten Begriffe und Voraussetzungen der Anschauung. So entnimmt die Analysis den Begriff der ganzen Zahl und die Erzeugung der ganzen Zahlen aus der Einheit der innern Anschauung und entwickelt daraus alles Weitere; die Geometrie entnimmt die Begriffe der geraden Linie etc. der äußern Anschauung. In beiden Fällen aber werden von den Merkmalen der Begriffe, die man in der Anschauung vorfindet, nur gerade so viele beibehalten, als erforderlich sind, um daraus Schlüsse ziehen zu können. Wenn nun jemand jene ersten Begriffe und Voraussetzungen zugibt, was bei zweckmäßig getroffener Auswahl jeder wird tun müssen, so kann er nicht umhin, auch alles, was daraus gefolgert wird, als richtig anzuerkennen. In diesem Sinne haben die mathematischen Sätze eine solche Sicherheit, daß man sprichwörtlich von mathematischer Gewißheit, Strenge und Wahrheit spricht, und eine Beweisführung mathematisch nennt, um sie als völlig einwandfrei zu bezeichnen. In diesem Sinne nennt man auch die M. vorzugsweise eine exakte Wissenschaft.

[Geschichte.] Aus den handwerksmäßigen Kenntnissen ägyptischer und babylonischer Baumeister und Feldmesser erwuchs im 5. Jahrh. v. Chr. die M. bei den Griechen in der Schule des Pythagoras durch Verbindung von Anschauung und Logik zur Wissenschaft. Über die Kenntnisse der Ägypter etwa um 2000 v. Chr. belehrt uns das Buch des Ahmes, der sogen. »Papyrus Rhind« (übersetzt von Eisenlohr); der jüngst zu Achmîm gefundene wichtige Papyrus in griechischer Sprache (Baillet in den »Mémoires publiés par les membres de la Mission archéologique française«, Bd. 9; M. Cantor in der »Zeitschrift für M. und Physik«, 1893) zeigt, daß sich ihre Bruchrechnung in 3000 Jahren nicht merklich änderte. Die Griechen entwickelten besonders die Geometrie. Die Sage schreibt dem Pythagoras den großen, nach ihm benannten Satz zu, die Entdeckung der regulären Körper, der Primzahlen, des Begriffs des Irrationalen etc. Die eigentliche Geschichte beginnt mit Platon: Irrationalzahl, analytische Methode, Delisches Problem (vgl. Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides, Leipz. 1870). Die griechische M. hat ihre Blüte im 3. Jahrh. v. Chr. unter Eukleides, dem Verfasser der weltberühmten Elemente (stoicheia), Archimedes, der Kegel, Kugel, Zylinder maß, die Hebelgesetze und das nach ihm genannte Prinzip der Hydrodynamik entdeckte, Apollonius von Pergä (Kegelschnitte). Aus der nächstfolgenden Zeit: Eratosthenes (Sieb der Primzahlen, Gradmessung), Heron von Alexandria (Dreiecksinhalt berechnet aus den drei Seiten, Feldmeßkunst, praktische Mechanik), später die großen Astronomen Hipparch und Ptolemäus, die Begründer der Trigonometrie, besonders aber Proclus (Kommentator des Eukleides) und Pappus (Kollektaneen), welchen beiden man wichtige historische Notizen verdankt. Als Arithmetiker: Eukleides, bez. Eudoxus, von dem das fünfte Buch der Elemente, die Proportionslehre, herrühren soll, Nikomachus von Gerasa, als Algebraiker Diophant, der vielleicht schon von den Indern beeinflußt ist (vgl. Nesselmann, Die Algebra der Griechen, Berl. 1842). Gering war das Interesse der Römer für reine M., größer für angewandte, wie Baukunst (Vitruv) und Feldmessung (Frontinus; vgl. M. Cantor, Die römischen Agrimensoren, Leipz. 1876). Die Griechen, speziell die [432] Züge Alexanders, beeinflußten die Inder, die Erfinder der Algebra, der Null, der negativen Zahlen, unsers Zahlensystems, der Funktion sinus etc. Hervorzuheben sind: Aryabhatta (geb. 476 n. Chr.), Brahmagupta (geb. 598, der bedeutendste), Bhâskara Acârya (geb. 1114). Griechische und indische M. übernahmen die Araber, von deren äußerst zahlreichen Gelehrten nur genannt werden mögen: Alchwarizmi (Algebra), Albattâni (Trigonometrie), Abul Wasa (Geometrie), Albiruni (geometrische Reihe, Trigonometrie). Selbständig förderten die Araber besonders die Anwendung der Algebra auf die Geometrie. Im 12. Jahrh. verbreitete sich, auch durch Vermittelung jüdischer Gelehrten, wie Abraham Ibn Esra, Elia Mizrachi, Maimonides, das Wissen der Araber in Europa, wo die Klostergelehrten (Alcuin, Beda, Gerbert) bis dahin aus dürftigen römischen Quellen geschöpft hatten. Um 1200 schrieb Leonardo Pisano (Fibonacci) »Liber Abaci«, wodurch das indische (sogen. arabische) Zahlensystem sich unter den italienischen Kaufleuten verbreitete; 1222 gab Jordanus Nemorarius, Großmeister der Kapuziner, ein Deutscher, die Anfänge der Buchstabenrechnung, 1350 der Franzose Oresme die Potenzen mit gebrochenen Exponenten, Anfänge der Koordinatengeometrie. Aus der eigentlichen Renaissance sind zu nennen: die Deutschen Regiomontan (Trigonometrie), Michael Stifel (Algebra), Albrecht Dürer (Perspektive); von den Franzosen: Chuquet (Algebra), Ramus (Geschichte, Philosophie), Vieta (Buchstabenrechnung); die Italiener Paciuolo, Leonardo da Vinci sowie Tartaglia, Cardano, Scipione Ferro, Ferrari, welche die Gleichungen 3. und 4. Grades auflösten. Das 17. Jahrh. brachte die Erfindung der Logarithmen durch Jost Bürgi, Napier und Briggs; Galilei, Kepler, Cavalieri, Roberval, Fermat legten den Grund zur Mechanik und zur Infinitesimalrechnung, Fermat den zur Zahlentheorie, Fermat und besonders Descartes (»La géométrie«, 1637) schufen die analytische Geometrie, Pascal und Desargues die Anfänge der neuern (projektiven) Geometrie, Huygens die Undulationstheorie, Newton die Mechanik des Himmels. Schließlich brachten Newton und Leibniz die bisherigen vereinzelten Infinitesimalmethoden in ein System durch Erfindung der Differential- und Integralrechnung. Das 18. Jahrh. war vorzugsweise dem Gebrauch dieses neuen Hilfsmittels gewidmet, mit dem die Bernoullis, Euler, Maclaurin, Taylor, Moivre, d'Alembert, Lambert, Lagrange, Legendre auf allen Gebieten der Analysis und deren Anwendungen die glänzendsten Entdeckungen machten. Lambert und Monge begründeten die darstellende Geometrie, und von Monge ging ein gewaltiger Aufschwung der lange in den Hintergrund gedrängten Geometrie aus; während des 19. Jahrh. entwickelten Poncelet, Moebius, Steiner, Plücker, Chasles und v. Staudt die projektive Geometrie und brachten die analytische Geometrie auf eine ungeahnte Höhe. Sonst ist das 19. Jahrh. durch das Streben ausgezeichnet, die Ergebnisse des 18. kritisch zu prüfen, zu sichern und Methoden zu entwickeln, die zugleich allgemein und streng sind. Von Anfang bis in die Mitte des Jahrhunderts wirkte Gauß, von dem alle Zweige der M. Vertiefung und neue Gedanken bekommen haben. Abel und Jacobi schufen die Theorie der elliptischen Funktionen, Cauchy, Riemann und Weierstraß die allgemeine Funktionentheorie, Abel und Galois die Theorie der algebraischen Gleichungen, die besonders Kronecker weiter ausbildete. Durch Dirichlet und Kummer machte die Zahlentheorie, die Gauß zum Rang einer Wissenschaft erhoben hatte, gewaltige Fortschritte. Die von Boole, Cayley, Aronhold und besonders Clebsch geschaffene Invariantentheorie verwirklichte das Ideal der analytischen Behandlung geometrischer Probleme, das schon Leibniz vorgeschwebt hatte und das H. Graßmann in seiner Ausdehnungslehre wenigstens bis zu einem gewissen Grad erreicht hatte. Lobatschewsky und J. Bolyai schufen eine neue Geometrie, die auf das Parallelenaxiom verzichtet, die sich aber, wie Staudt, Cayley und F. Klein zeigten, der projektiven Geometrie unterordnet. H. Graßmann und Riemann entwickelten den Begriff eines Raumes von n Dimensionen, dessen außerordentliche Fruchtbarkeit für die Theorie der Differentialgleichungen besonders Lie, der Schöpfer einer allgemeinen Gruppen- und Invariantentheorie, ins hellste Licht setzte. Die Geschichte der M. hatte in Chasles, R. Wolf, H. Hankel, M. Cantor, Zeuthen, Tannery, Loria etc. ihre Vertreter.

[Literatur.] D'Alembert, Condorcet, Lalande, Dictionnaire des sciences mathématiques et astronomiques (Par. 1784–92, noch immer sehr wichtig); Klügel (Mollweide, Grunert), Mathematisches Wörterbuch (1803–36, 7 Bde.; Fortsetzung von G. Jahn, als »Wörterbuch der angewandten M.«, Leipz. 1845–46, 2 Bde.); Hoffmann und Natani, Mathematisches Wörterbuch (Berl. 1861 bis 1867, 7 Bde.); Hagen, Synopsis der höhern M. (bis jetzt 2 Bde., das. 1891–94); E. Pascal, Repertorium der höhern M. (deutsch von Schepp, Leipz. 1900–01, 2 Bde.). Seit 1898 erscheint mit Unterstützung der Akademien zu Göttingen, München und Wien eine auf 7 Bände berechnete »Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften«, die eine Übersicht über alles bisher Geleistete zu geben bestimmt ist. Bibliographie: Sohncke, Bibliotheca mathematica (Leipz. 1854); Erlecke, Bibliotheca mathematica (Lond. 1872); Wölffing, Mathematischer Bücherschatz (Bd. 1, Leipz. 1903); »Jahrbuch über die Fortschritte der M.« (Bd. 1–34, Berl. 1871–1905; jetzt hrsg. von Lampe), unentbehrlich für die neueste Literatur. Geschichte: Montucla, Histoire des mathématiques (Par. 1797–1802, 4 Bde.); Christian Wolff, Mathematisches Lexikon (Leipz. 1716); Suter, Geschichte der mathematischen Wissenschaften (Zürich 1873–75, 2 Bde.); Hankel, Zur Geschichte der M. im Altertum und Mittelalter (Leipz. 1874); Gerhardt, Geschichte der M. in Deutschland (Münch. 1877); Günther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften (Leipz. 1876); R. Wolf, Geschichte der Astronomie (Münch. 1877) und Handbuch der Astronomie (Zürich 1890–1893, 2 Bde.); Tannery, Pour l'histoire de la science hellène (Par. 1887); Felix Müller, Zeittafeln zur Geschichte der M. etc. bis zum Jahre 1500 (Leipz. 1892); Cajori, A history of mathematics (New York 1894); Zeuthen, Vorlesungen über die Geschichte der M. im Altertum und Mittelalter (deutsch von Fischer-Benzon, Kopenh. 1895) und Geschichte der M. im 16. und 17. Jahrhundert (deutsch von R. Meyer, Leipz. 1903); Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik (das. 1903, 2 Bde.). Das Hauptwerk ist zurzeit: M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der M. (Leipz. 1880–98, 3 Bde.; Bd. 1 u. 2 in 2. Aufl. 1894 u. 1900).

Zeitschriften: »Journal für die reine und angewandte M.« (1826 von Crelle begründet, jetzt von Hensel redigiert, Berl.); »Archiv für M. und Physik« (begründet von Grunert, Greifsw. 1841 ff.; fortgesetzt bis 1900 von Hoppe, jetzt Leipz.); »Zeitschrift für M.[433] und Physik« (begründet 1856 von Schlömilch, Leipz.); »Mathematische Annalen« (begründet von Clebsch und C. Neumann, das. 1869; jetzt hrsg. von F. Klein, Hilbert, Dyck); »Jahresbericht der deutschen Mathemathiker-Vereinigung« (Berl., seit 1892, jetzt Leipz.) u. a.; »Acta mathematica« (seit 1883 hrsg. von Mittag-Leffler, Stockholm); »Journal de Mathématiques pures et appliquées« (begründet 1837 von Liouville, jetzt Jordan); »Journal de l'Ecole polytechnique« (Par., seit 1794); »Bulletin des seien ces mathématiques« (das., seit 1870); »American Journal of M.« (Baltimore, seit 1876); »Annali di Matematica pura ed applicata« (Mail., seit 1867 hrsg. von Brioschi und Cremona); »Bibliotheca mathematica«, Zeitschrift für Geschichte der M. (herausgegeben von Eneström, Stockh. 1884 ff.; erscheint seit 1900 in erweitertem Umfange in Leipzig).