Pythagoreischer Lehrsatz

[725] Pythagoreischer Lehrsatz (Magister matheseos).[725] Fällt man in einem rechtwinkligen Dreiecke A B C aus der Spitze A des rechten Winkels eine Senkrechte A D auf die Hypotenuse, so ist a) das Quadrat jeder Kathete gleich dem Rechteck aus der ganzen Hypotenuse u. dem (durch den Fußpunkt des Perpendikels bestimmten) anliegenden Hypotenusensegment AB² = BC. BD u. AC² = BC. DC. b) Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten BC² = AB² + AC². c) Das Quadrat des Höhenperpendikels ist gleich dem Rechtecke aus den von ihm gebildeten Hypotenusensegmenten AD² = BD. DC. d) Das Rechteck aus den Katheten ist gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse u. ihrem Perpendikel AB. AC = AD. BC. Gewöhnlich trägt der unter b angeführte Satz insbesondere den Namen des P-n L-s. Er ist einer der wichtigsten Lehrsätze der Geometrie überhaupt, namentlich deswegen, weil er vorzugsweise eine Anwendung der Rechnung auf geometrische Größen gestattet. Schon sein Erfinder erkannte seine hohe Bedeutung, denn man erzählt, daß er nach der glücklichen Auffindung des Beweises den Göttern eine Hekatombe opferte. Der Beweis des Satzes a u. somit des unmittelbar daraus sich ergebenden b, ebenso der Satz c läßt sich entweder so führen, daß man wirklich die Flächen der betreffenden Quadrate u. Rechtecke vergleicht u. unter Anwendung gewisser Hülfslinien zunächst die Congruenz einiger dadurch entstehender Dreieckspaare u. daraus die behauptete Flächengleichheit nachweist; od. man schließt daraus, daß das Perpendikel das ursprüngliche Dreieck in zwei dem ganzen Dreieck ähnliche Dreiecke theilt, die Proportionalität gewisser Linien u. folgert durch Rechnung daraus das übrige; so ist jede Kathete die mittlere Proportionale zwischen der ganzen Hypotenuse u. dem anliegenden Abschnitte derselben, mithin das Quadrat jeder Kathete (als zweite Potenz der die Linie messenden Zahl aufgefaßt) gleich dem Producte der ebengenannten Linien; nun ist aber das Product zweier, gewisse Linien ausdrückenden Zahlen ein Maß für den Flächeninhalt des aus beiden Linien gebildeten Rechtecks u. die zweite Potenz einer solchen Zahl ein Maß für das über der Linie construirte geometrische Quadrat u. somit resultirt obiger Lehrsatz a u. daraus b. So ist auch der Perpendikel die mittlere Proportionale zwischen beiden Abschnitten der Hypotenuse u. daraus geht der Lehrsatz c hervor.