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Aequivalenz der Kräfte

[86] Aequivalenz der Kräfte. Zwei Kräftesysteme heißen äquivalent, d.h. durch einander ersetzbar, wenn sie auf dasselbe Punktsystem die gleiche Wirkung ausüben. Die Wirkung eines Kräftesystems besteht darin, daß es dem Punktsystem einen Geschwindigkeitszustand oder einen Beschleunigungszustand erteilt, je nachdem es ein System von Momentankräften oder ein System von dauernd wirkenden Kräften ist. Diese Wirkung ist von der Natur des Punktsystems abhängig und eine andre, wenn dieses starr oder veränderlich (biegsam, elastisch, flüssig u.s.w.) ist; sie ist verschieden, je nachdem es frei oder Bedingungen seiner Beweglichkeit unterworfen ist. Wir betrachten hier die Aequivalenz der Kräfte am starren freien Punktsystem, insoweit dessen Beschleunigungszustand in Betracht kommt. Die Wirkung des Kräftesystems kann äquivalent Null sein, d.h. es können sich alle Kraftwirkungen am Punktsystem gegenseitig tilgen, so daß das Kraftsystem keinen Bewegungszustand gibt oder einen vorhandenen Bewegungszustand nicht zu ändern vermag. Dann sind die Kräfte im Gleichgewicht.

Für die an einem starren Punktsystem angreifenden Kräfte gilt die Voraussetzung, daß zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte an demselben Punkte oder an zwei unveränderlich miteinander verbundenen Punkten in der Verbindungslinie angreifend im Gleichgewicht sind und daß mithin zwei solche Kräfte jedem Kräftesystem zugefügt oder an ihm getilgt werden können, ohne dessen Wirkung zu ändern. Hieraus ergibt sich, daß jede Kraft P (Fig. 1) äquivalent ist derselben Kraft P, an irgendeinem andern Punkte O angreifend in Verbindung mit einem Kräftepaare (P, –P), gebildet aus der ursprünglichen Kraft P und der ihr geometrisch entgegengesetzt gleichen Kraft –P an O. Der Arm des Paares ist das von O auf die ursprüngliche Kraft P gefällte Perpendikel p und das Moment des Paares das Produkt Pp, das die Fläche des aus P und –P gebildeten Parallelogramms darstellt (s. Achsenmoment eines Paares). Ein System von Kräften, deren Richtungslinien sich in einem Punkte schneiden, ist äquivalent einer einzigen Kraft, der Resultanten des Systems, die durch jenen Punkt hindurchgeht und durch die Diagonale[86] des Parallelogramms oder Parallelepipeds oder die Schlußlinie des Polygons gefunden wird, das man mit den Kräften des Systems in beliebiger Ordnung von jenem Punkte aus konstruieren kann. Das Parallelogramm liefert die Resultante bei 2, das Parallelepiped bei 3, das Polygon bei mehr Kräften. Ein System von Kräftepaaren ist einem einzigen Paare, dem resultierenden Paare, äquivalent. Mit Hilfe des Begriffs des Achsenmomentes des Paares kann die Auffindung desselben in ähnlicher Weise geleistet werden wie die Bildung der Resultanten von Kräften, die sich in einem Punkte schneiden. Für ein Kräftepaar ist nur das Moment derselben und sein Sinn von wesentlicher Bedeutung, seine Kräfte und sein Arm spielen für sich keine Rolle. Es wird leicht gezeigt, daß zwei Paare in einer Ebene oder in parallelen Ebenen von gleichem Momente und demselben Sinne, d.h. von derselben mit der Bewegung der Uhrzeiger übereinstimmenden oder entgegengesetzten Stellung der Pfeilspitzen der Kräfte äquivalent sind, wie sie auch im übrigen liegen mögen. Errichtet man daher auf der Ebene eines Paares irgendwo eine Normale, und zwar nach der Seite der Ebene gewandt, von wo der Anblick des Paares mit dem Uhrzeigersinne übereinstimmt, und trägt auf dieser Normalen den Zahlenwert des Momentes als Länge auf mit einer Pfeilspitze, die den Sinn des Paares andeutet, so genügt eine solche Strecke vollständig zur Darstellung des Paares und es darf dieselbe parallel mit sich verlegt werden, wohin man will. Man nennt sie das Achsenmoment des Paares, weil die mit dem Sinnpfeile versehene Normale die Achse des Paares heißt. Für ein System von Kräftepaaren findet man das resultierende Paar, indem man sie durch ihre Achsenmomente darstellt und mit ihrer Hilfe irgendwo im Räume in beliebiger Ordnungsfolge ein Polygon konstruiert; die Schlußlinie desselben ist das Achsenmoment des resultierenden Paares des Systems, und es kann dasselbe sofort wieder durch ein Paar dargestellt werden, indem man seinen Zahlenwert irgendwie in zwei Faktoren zerlegt und den einen Faktor zur Seitenkraft, den andern zum Arm des Paares nimmt. Auf diese Betrachtungen gründet sich die sogenannte Reduktion der Kräftesysteme, die der allgemeine Ausdruck der Aequivalenz ist. Es sei irgendein System von Kräften P₁, P₂, .... P_i, ... P_n gegeben. Man wähle irgendeinen Punkt Q des Raumes, ziehe durch ihn mit allen Richtungslinien der Kräfte P_i Parallele und bringe längs ihnen entgegengesetzt gleiche Kräfte P_i und –P_i an, ähnlich wie in Fig. 1. Die sämtlichen dort auftretenden Kräfte P_i sind äquivalent einer Resultante R von bestimmter Größe, Richtung und Sinn, der Redukionsresultante. Die sämtlichen sich aus den ursprünglichen Kräften P_i des Systems und dem zugefügten, –P_i bildenden Paare Helle man durch ihre Achsenmomente (welche die Momente P_i p_i als Strecken in O geben) dar und bestimme deren resultierendes Achsenmoment G. Die beiden Strecken R und G, von denen die erste die Schlußlinie des Polygons der Kräfte P_i (deren geometrische Summe, wie man diese nennt), die zweite die Schlußlinie des Polygons der Achsenmomente P_i p_i darstellt, sind zusammen dem ganzen Kraftsystem äquivalent und heißen die Elemente der Kräftereduktion (R, G) für den Reduktionspunkt O.

Zum Reduktionspunkt O kann jeder Punkt des Raumes gewählt werden; doch sind nicht für alle Punkte die Reduktionen des Kraftsystems (R, G) verschieden. Zunächst ist nämlich klar, daß zwar für alle Punkte O die Reduktionsresultante R dieselbe bleibt nach Größe, Richtung und Sinn, nicht aber das resultierende Achsenmoment G. Dieses ändert sich nicht, wenn der Punkt O auf der Richtungslinie μ von R wechselt, wohl aber beim Uebergang von einer solchen Richtungslinie zu einer andern μ' (ihr parallelen). Durch ein Kräftesystem ist ein Paralielstrahlenbüschel im Räume bestimmt, von dessen Strahlen μ jeder als Richtungslinie der Reduktionsresultanten R gewählt werden kann; zu jedem gehört ein Achsenmoment G, das von Strahl zu Strahl nach Größe, Richtung und Sinn wechselt. Für alle Punkte längs desselben Strahles als Reduktionspunkte bleibt die Kräftereduktion (R, G) dieselbe, sie wechselt aber von Strahl zu Strahl. Mit Hilfe einer Reduktion kann man alle finden, indem man die Reduktion von einem Strahle auf einen andern übertragen kann. Ist die Reduktion (R, G) für den Strahl μ gegeben und soll (R, G') für den Strahl μ' gefunden werden (Fig. 2), so genügt es, längs μ' die beiden entgegengesetzt gleichen Kräfte R und –R hinzuzufügen und das sich hierdurch ergebende Paar (R, –R), dessen Kräfte das R längs μ' und das zugefügte –R längs μ' sind, durch sein Achsenmoment Rr darzustellen und mit G zu dem Achsenmomente G' nach dem Parallelogramm der Achsenmomente zu verbinden, um die gesuchte Reduktion (R, G) für den Strahl μ' zu erhalten.

Unter den Strahlen μ des Parallelbüschels der Resultanten R gibt es einen ausgezeichneten Strahl μ_o (Zentralachse des Kräftesystems genannt), für den das Achsenmoment G_o der Resultanten parallel wird. Um die Zentralachse zu finden, lege man durch den Strahl μ irgendeiner Reduktion (R, G) (Fig. 3) eine Ebene senkrecht zur Ebene, welche die Strecken R und G bestimmen. Dieselbe wird durch μ in zwei Felder zerlegt, die sich für ein Auge, das von der Pfeilspitze des Achsenmomentes G nach jener der Resultanten R blickt, als rechtes und linkes Feld unterscheiden lassen. Für die Strahlen μ des linken Feldes wird das Achsenmoment Rr des Paares (R, –R), das zu G hinzutreten muß, um das Achsenmoment für den Strahl μ zu bilden, von entgegengesetztem Sinne mit dem, das für Strahlen des rechten Feldes hinzutritt. Zerlegt man daher das Achsenmoment G der gegebenen Reduktion in zwei Komponenten, von denen die eine, G₀ = G cos ψ in die Richtung von R fällt, während die andre G sin ψ senkrecht zur Feldebene ist, so findet sich im linken Felde in einem gewissen Abstande r ein Strahl μ₀, so daß Rr–G sin ψ = o und mithin die Reduktion für μ₀ gleich (R, G_o) wird, d.h. daß das Achsenmoment derselben parallel mit R ausfällt. Der Abstand der Zentralachse μ₀[87] von dem Strahle μ der gegebenen Reduktion ist mithin r = G/R–sin ψ. Die Zentralachse μ₀ führt ihren Namen daher, daß von ihr aus die Reduktion aller übrigen Strahlen μ sich auf Zylindern, die sie zur gemeinsamen Achse haben, gleichförmig ändert. Für alle Strahlen μ im Abstande r von ihr erhält man nämlich von ihrer Reduktion (R, G_o) ausgehend:

Es ist G_o das kleinste aller Achsenmomente und es wächst ψ mit dem Abstande r von o bis ¹/₂π, während dieser von o bis ∞ zunimmt. Das Achsenmoment G_a der Zentralachse ist die Projektion des Achsenmomentes G irgendeiner Reduktion auf die Richtung der Resultanten R. Es verschwindet, wenn G senkrecht zu R ist. In diesem Falle ist das Kräftesystem einer Einzelkraft R längs der Zentralachse wirkend, äquivalent. Wenn die Resultante R verschwindet, so ist das Kräftesystem einem Kräftepaar äquivalent.

Für ein ebenes Kräftesystem wird G senkrecht zu R und es reduziert sich ein solches System entweder auf eine Einzelkraft R, wenn R nicht verschwindet, oder auf ein Paar, oder das System ist äquivalent Null (im Gleichgewicht). Ein Parallelkräftesystem liefert bei irgendeiner Reduktion gleichfalls ein zu R senkrechtes Achsenmoment G; es ist daher ebenfalls, wenn R nicht verschwindet, einer Einzelresultante äquivalent. Soll ein Kräftesystem an einem starren Körper im Gleichgewicht sein, so muß für jede Reduktion (R, G) R und G jedes für sich verschwinden, da ein Paar und eine Einzelkraft sich nicht tilgen können.

Um die Reduktion eines Kräftesystems für einen Punkt O (Fig. 4) als Reduktionspunkt analytisch auszuführen, nehme man diesen zum Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems, bezeichne mit x, y, z die Koordinaten des Angriffspunktes M einer Kraft P und deren Komponenten parallel den Koordinatenachsen mit X, Y, Z. Statt P selbst verlege man diese Komponenten in ihrem und im entgegengesetzten Sinne an 0, wodurch man an O in den Richtungen der Achsen zunächst die drei Summen A = ∑X,B = ∑Y,C = ∑Z erhält, mit deren Hilfe sich die Reduktionsresultante R und ihre Richtungscosinusse cos a, cos b, cos c ergeben durch die Formeln:

Weiter können aber die drei sich ergebenden Kräftepaare (X, –X), (Y, –Y), (Z –Z), deren Achsenmomente senkrecht zu ihren Ebenen in O konstruiert werden, die aber nicht die Richtung der Koordinatenachsen haben werden, jedes in zwei Achsenmomente gespalten werden, die den Koordinatenachsen parallel sind. So ist z.B. das Paar (X, –X) ersichtlich äquivalent zweien andern, die man sofort erhält, indem man am Fußpunkte der z-Koordinate des Angriffspunktes der Kraft P die beiden sich tilgenden Kräfte X und –X zufügt. Diese beiden Paare haben die Achsenmomente zX und –yX parallel den Achsen der y und z. Indem man ebenso mit den beiden andern Paaren verfährt und die Achsenmomente vereinigt, die derselben Achse parallel sind, erhält man die drei Größen:

aus denen als Komponenten das resultierende Achsenmoment G und dessen Richtungscosinus sich durch die Formeln ergeben

Die einzelnen Glieder in L, M, Ν entspringen aus der Matrix . Für den Neigungswinkel ψ von G gegen R erhält man cos ψ = A/R ∙ L/G + B/R ∙ M/G + C/R ∙ N/G und hiermit für das geometrische (skalare) Produkt der Strahlen R und G, nämlich

RG cos ψ = AL + BM + CΝ.

Da G cos ψ als Projektion von G auf die Richtung der Resultanten das Achsenmoment G_o der Zentralachse des Kräftesystems ist, so folgt

RG_o = AL + BM + CN.

Hinsichtlich der Reduktion des Kräftesystems für irgendeinen andern Punkt O', der nicht der Koordinatenursprung ist, vielmehr in bezug auf diesen die Koordinaten x₁, y₁, z₁ hat, bedenke man, daß man ihn als Koordinatenursprung wählen und das eben Entwickelte unmittelbar auf ihn übertragen könnte, indem man nur an die Stelle der Koordinaten x, y, z der Angriffspunkte die auf ihn bezüglichen Koordinaten x–x₁, y–y₁, z–z₁ zu setzen hat, um sofort die Reduktion für O' zu bilden. Die Bildung von R liefert ganz dieselben Formeln wie vorher, die Komponenten des Achsenmoments G₁, für ihn werden daher

die aber in die Form

übergeführt werden können, indem man die Determinanten spaltet und die Bedeutung von A = ∑X, B = ∑Y, C = ΣZ berücksichtigt. Für die Zentralachse bestehen die Bedingungen L₀/A = M₀/B = N₀/B, wenn L₀, M₀ N₀ die Komponenten des Achsenmoments der Zentralachse bedeuten. Sie drücken aus,[88] daß G₀ die Richtung von R hat. Sind X₁Y₁Z₁ Koordinaten irgendeines Punktes dieser Achse, so ist

und es liefert die Entwicklung der Bedingungen leicht

von welchen Gleichungen zwei zur Darstellung der Zentralachse genügen. Man bringt dieselben leicht auf die Form

wo ξ, η, ζ die Koordinaten des Punktes bedeuten, in dem die Zentralachse die zur Richtung von R senkrechte Ebene Ax + By + Cz = 0 des Ursprungs schneidet. Denn ξ, η, ζ genügen den Gleichungen

woraus ξ, η, ζ erhalten werden durch

Die Bedingungen des Gleichgewichts des Kräftesystems ergeben sich am einfachsten aus der Reduktion für den Ursprung, nämlich R = 0, G = 0, die sich aber, da R = A² + B² + C² und G² = L² + M² + N² sind, in die sechs folgenden spalten:

Sie drücken aus, daß die Summen aller Kraftkomponenten parallel den Koordinatenachsen und der Komponenten der Achsenmomente aller sich bei der Reduktion für den Ursprung ergebenden Paare parallel denselben Achsen verschwinden müssen. Die Bedingung, daß das Kräftesystem einer Einzelresultante äquivalent sei, besteht in der Rechtwinkligkeit von R und G und ist, da RG cos ψ = AL + BM + CN ist, cos ψ = 0, d.h.

AL + BM + CN=0

Ist sie erfüllt, so folgt sofort, daß für jede andre Reduktion AL₁ + BM₁ + CN₁ = 0 sei, weil

Die Aequivalenz der Kräfte im Sinne dieses Artikels bezieht sich nur auf ihre Ersetzbarkeit, soweit das Gleichgewicht selbst bezw. der Beschleunigungszustand in Frage kommt. Die Art des Gleichgewichtes, ob stabil oder labil, bleibt dagegen beim Ersatz des einen Kräftesystems durch das andre im allgemeinen nicht erhalten (vgl. Astatik).

Vgl. über die Aequivalenz und Reduktion der Kräfte: Schell, Theorie d. Bewegung u. d. Kräfte, 2. Aufl., Bd. 1, S. 43 ff., und Bd. 2, S. 16 ff., Leipzig 1879–80.

(Schell.) Finsterwalder

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.