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Koordinaten [2]

[620] Koordinaten, Koordinatensysteme, geodätische, Koordinatenumwandlung. Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage von Punkten auf der mathematischen Erdoberfläche (s. Geodäsie) dienen zunächst die Polarkoordinaten. Diese sind der kürzeste Erdbogen s zwischen zwei Punkten und der Richtungswinkel n, den dieser Bogen mit einer bestimmten, als Ausgang dienenden Richtung einschließt. Auf der Kugel ist s ein Großkreisbögen. Ist die Anfangsrichtung ein Meridian, so wird der Richtungswinkel zum Azimut α. In trigonometrischen Netzen werden die Polarkoordinaten s und n nur als Ausdruck für die gegenseitige Lage benachbarter Punkte verwendet, nicht aber zur Lagebestimmung beliebiger Punkte gegen einen einzigen Ausgangspunkt. Wenn zahlreiche Punktbestimmungen durch Triangulierung (s.d.) auf großen Gebieten vorgenommen werden, so werden die Punktorte in geographischen Koordinaten, der Breite oder Polhöhe φ und der Länge λ, ausgedrückt, ebenso wie bei den astronomisch ausgeführten absoluten Ortsbestimmungen (s. Geographische Ortsbestimmung und Geographische Koordinaten). Die geodätischen Koordinaten φ und λ werden aus der Triangulation unter Zugrundelegung der ellipsoidischen Erdfigur nach den Polarkoordinaten berechnet. Sie werden bezogen auf einen astronomisch orientierten Ausgangspunkt, der in der Regel in der Mitte des zu vermessenden Gebietes liegt (s. Geodätische Uebertragung und Triangulierung). Die Koordinaten φ und λ können nun wohl für die Darstellung der trigonometrischen Ergebnisse einer umfangreichen Landesvermessung gebraucht und auch unmittelbar in die als Gradabteilungskarten (s.d.) behandelten topographischen Karten (s. Topographie) eingetragen werden. Sie eignen sich aber nicht für die Zwecke der Spezialvermessungen. Diese erfordern einfachere Beziehungen zwischen den Messungen und Punktbestimmungen und auch einfachere Rechnungsverfahren, als mit den geographischen Koordinaten verbunden sind. Die Punkte werden bestimmt durch rechtwinklige Koordinaten in Koordinatensystemen. Das Koordinatensystem wird gewonnen durch zwei auf der mathematischen Erdoberfläche sich rechtwinklig schneidende Richtungen, die Abszissenachse und die Ordinatenachse. Beide bilden das Achsenkreuz, welches das System in vier Quadranten zerlegt. Der Schnittpunkt der Achsen heißt Koordinatenursprung oder Nullpunkt. Die Ordinate y eines Punktes ist der rechtwinklige Abstand desselben von der Abszissenachse, und die Abszisse x ist der auf ihrer Achse gemessene Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Nullpunkte. Beide Achsen haben einen positiven und einen negativen Zweig. In der Regel zählen die Quadranten und Richtungen von dem positiven Zweige der Abszissenachse aus in rechtsläufigem Sinne. Dementsprechend wird der rechts von der Abszissenachse liegende Zweig der Ordinatenachse positiv genommen. Die Vorzeichen der Koordinaten in den einzelnen Quadranten richten sich nach den Vorzeichen der Achsenzweige. Unter der Voraussetzung einer ebenen Vermessungsfläche[620] entsprechen die Koordinaten unmittelbar den rechtwinklig-ebenen Koordinaten der analytischen Geometrie. Bei Rücksichtnahme auf die Krümmung der Erdoberfläche hat man auf der Kugel rechtwinklig-sphärische und auf dem Ellipsoid rechtwinklig-sphäroidische Koordinaten.

1. Rechtwinklig-ebene Koordinaten. Durch Fig. 1 und die Formeln 1 werden die Beziehungen zwischen den Punktkoordinaten y₁ x₁, y₂ x₂ und den Polarkoordinaten s und n₁ oder n₂ ausgedrückt.

y₂ – y₁ = s sin n₁; x₂ – x₁ = s cos n₁;

Die an sich willkürliche Lage der Hauptricht- oder Abszissenachse wird bei Kleinmessungen in passender Weise angeordnet. Als Abszissenachse kann z.B. eine Hauptmessungslinie gewählt werden, die so verläuft, daß alle Punkte im ersten Quadranten liegen, daß also alle Koordinaten positiv sind. Zur Vermeidung von Subtraktionen werden die negativen Koordinaten und Koordinatenunterschiede vielfach als dekadische Ergänzungen geschrieben [3], [4] und [16]. Bei trigonometrischen und polygonometrischen Punktbestimmungen auf eng begrenzten Gebieten kann in gleicher Weise wie bei der Linienmessung eine beliebige Linie, welche mit einer Dreiecks- oder Polygonseite zusammenfällt oder mit ihr einen bestimmten Winkel einschließt, angenommen werden.

2. Rechtwinklig-sphärische und sphäroidische Koordinaten. Wenn es sich um ausgedehnte Vermessungen handelt, wie z.B. bei den Katastervermessungen, so tritt einerseits die Notwendigkeit hervor, Rücksicht auf die Krümmung der mathematischen Erdoberfläche zu nehmen, den Zusammenhang zwischen den der Natur der Sache nach getrennt und unabhängig voneinander vorzunehmenden Spezialvermessungen zu wahren und jedem Messungspunkte auf der mathematischen Erdoberfläche die ihm in Vergleich zu andern Punkten zukommende Lage zu geben. Anderseits ist es nötig, das Rechnungsverfahren bequem und einfach zu gestalten. Dazu ist neben einer einheitlichen, das ganze Staatsgebiet überziehenden Triangulation die Anordnung von Koordinatensystemen erforderlich, deren Lage auf der mathematischen Erdoberfläche bestimmt definiert ist. Die Koordinatensysteme müssen eine gewisse örtliche Begrenzung haben, da eine ebene zeichnerische Darstellung der Koordinaten in Frage kommt (s. unten) und eine Berücksichtigung der Erdkrümmung bei den Rechnungsverfahren der Kleinmessung in der Regel nicht nötig sein soll. Diese Anforderungen erfüllen die rechtwinklig-sphärischen und sphäroidischen Koordinaten. Das Prinzip derselben ergibt sich aus Fig. 2. Der Koordinatennullpunkt 0 kann auf der mathematischen Erdoberfläche beliebig angenommen werden oder z.B. mit einem Messungspunkte identisch sein. A P ist die Hauptrichtachse des Systems. Sie fällt mit dem Meridian des Nullpunktes zusammen. Durch diese Bestimmung ist das System auf der mathematischen Erdoberfläche orientiert und ist eine einfache Beziehung zu den geographischen Koordinaten φ und λ gegeben. Die Abszissen der Punkte 1 und 2 sind die Meridianbögen x₁ und x₂, gerechnet vom Nullpunkte bis zu den Fußpunkten der Ordinaten y₁ und y₂, welche durch die rechtwinklig zu A P stehenden Querschnittbögen gebildet werden, s ist der Erdbogen zwischen 1 und 2; 1p₁ und 2p₂ sind Parallelen zum Meridian A P; n₁ und n₂ sind die Richtungswinkel, welche der Erdbogen s mit den positiven Zweigen dieser Parallelen einschließt. Die Richtungswinkel werden bei der preußischen Katasterverwaltung Neigungen [3] genannt. Die Formeln 2 für die Kugel entsprechen den Formeln 1 für die Ebene. Sie sind für Rechnungen in allen Gebieten, die praktisch in Frage kommen, genügend genau. R ist der mittlere Erdkrümmungsradius und Q ist die Reduktionskonstante von Grad- auf Bogenmaß

Die beiden Zusatzglieder der letzten Formel bezeichnen die Größe der Ordinatenkonvergenz. Diese ist der Unterschied der Richtungen der beiden Ordinatenbögen in den Punkten 1 und 2. Die Vergleichung der Formeln 2 und 1 läßt die sphärischen Zusatzglieder erkennen, welche durch die Berücksichtigung der Erdkrümmung erforderlich werden. Sie zeigt ferner, daß die sphärische Rechnung einfach durch die ebene Rechnung ersetzt werden kann, wenn die Zusatzglieder praktisch nicht in Betracht kommen. Die Zusatzglieder sind im allgemeinen unabhängig von der Abszisse x, dagegen abhängig von y, n und s. Die Entscheidung über die Vernachlässigung hängt ab von der Genauigkeit, mit welcher die wahren Punktabstände und Richtungswinkel durch die Rechnung zum Ausdruck gebracht werden sollen. Schemata und Tabellen, die sich für die Ausführung der Rechnungen eignen, sind in [1] und [3]–[5] enthalten. Wegen[621] des Rechnens auf der Rechenmaschine, hauptsächlich mit ebenen Koordinaten, s. [16]. Im Sinne der Kartenprojektion (s.d.) kann man die ebene Abbildung sphärischer Koordinaten als eine Zeichnung auf einem Zylindermantel auffallen, welcher der gekrümmten Erdoberfläche längs des Nullpunktmeridians als Kartenmittellinie umschrieben ist, und auf den die Ordinaten von dieser Kartenmittellinie aus in ihren wahren Längen aufgetragen sind. Die mittabstandstreue Abbildung der Ordinaten nennt Jordan kongruente Abbildung [1]. Da die Ordinaten auf der gekrümmten Erdoberfläche zum Querschnittspole Q konvergieren, findet eine Verzerrung der Abszissenunterschiede zwischen den parallelen ebenen Ordinaten statt. Dadurch entsteht auch eine Verzerrung der Verbindungslinien der Punkte. Diese Verzerrung ist v = (1 + y²cos² n)/2R², wenn y₁ und y₂ näherungsweise gleich gesetzt und mit y bezeichnet werden. Die Ausdehnung eines Koordinatensystems östlich und westlich vom Meridian des Nullpunktes ist nun von der Genauigkeit abhängig, die eine Kartenprojektion haben soll. Bei der preußischen Katasterverwaltung ist festgesetzt, daß die Verzerrung den Wert von 1 : 20000 nicht übersteigt. Danach ist die Ausdehnung der Koordinatensysteme nach beiden Seiten des Nullpunktmeridians auf höchstens 60000 m bemessen. Die Beziehungen zwischen den in den trigonometrischen Hauptnetzen gegebenen geographischen Koordinaten φ und λ und den rechtwinkligen Koordinaten y und x eines Punktes sind übersichtlich ausgedrückt durch die Formeln 3.

Darin bedeuten φ₀, λ₀ die geographischen Koordinaten des Nullpunktes, φ_f die Polhöhe des Ordinatenfußpunktes, R_m den Krümmungsradius des Meridians in der Mittelbreite der Abszisse, R_n den Krümmungsradius des Querschnittbogens, M Modul der gemeinen Logarithmen, Δ α die Meridiankonvergenz, d.i. den Winkel zwischen dem Meridian und der Richtung der Abszissenachse in dem Punkte, für den die Koordinaten gelten, oder das wahre Azimut dieser Richtung. Die Logarithmen der Werte, in denen R_m und R_n vorkommen, sind bequem aus [13]–[15] zu entnehmen. Hierin sind bezeichnet ρ/R_m mit (1), ρ/R_n mit (2) und R_n/(R_m2ρ) mit (3). In [13] sind Tafeln enthalten für die Polhöhen 47–57°, in [14] für 17–29° und in [15] für 0–13°. Alle Formeln sind für die praktisch in Betracht kommenden Umformungen hinreichend genau. Weiteres hierüber s. [1]–[7]. Die Methode der Punktbestimmung durch rechtwinklige Koordinaten auf der gekrümmten Erdoberfläche ist durch französische Geodäten nach Deutschland gebracht und hier zuerst in heutigem Sinne rationell entwickelt und angewendet worden durch Soldner im Anfang des 19. Jahrhunderts bei der bayrischen Landesvermessung. Die sphärischen Koordinaten werden daher auch Soldnersche Koordinaten genannt. Die Formeln sind weiterentwickelt durch Bohnenberger [6] und in neuerer Zeit besonders durch Jordan [1]. Nach dem Vorgange Bayerns sind rechtwinklig-sphärische Koordinaten fast allgemein bei den Katastervermessungen eingeführt worden. Eine Uebersicht über die verschiedenen Koordinatensysteme in Deutschland gibt [1], in Preußen [3].

3. Konforme rechtwinklige Koordinaten. Bei der hannoverschen Landesvermessung hat C.F. Gauß das Prinzip der konformen Abbildung zuerst auf die geodätische Punktbestimmung übertragen. Dieses Prinzip, das vorher schon Mercator und Lambert bei Kartenprojektionen (s.d.) angewendet hatten, wurde von Gauß in [8] allgemein entwickelt. Es führt die Bedingung der Aehnlichkeit zwischen den Figuren auf der gekrümmten Erdoberfläche und ihren ebenen Projektionen ein. Wenn bei der Abbildung eines Kugelflächenstückes auf der Ebene wieder der Meridian des Nullpunktes als Abszissenachse oder als Kartenmittellinie eines umhüllenden Zylindermantels angenommen wird, so erscheinen die Abszissen x ebenso wie in dem Soldnerschen System; die ebenen Ordinaten y werden dagegen im Vergleich zu den natürlichen, sphärischen Ordinaten um Beträge abgeändert, die von der Größe der Ordinate und von der Erdkrümmung abhängen. Die Erdbögen s bilden sich zwischen den projizierten Punkten als schwachgekrümmte Linien ab, deren Richtungswinkel den sphärischen Richtungswinkeln n gleich sind und von den Richtungswinkeln n der geraden Verbindungslinie s nur um geringe Beträge abweichen. Mit den konformen Koordinaten x y wird gerechnet nach den Formeln 1. wie mit ebenen Koordinaten. Den Uebergang von der Kugel auf die Ebene vermittelst die Formeln 4.:[622]

Die Vergleichung des Zusatzgliedes für die Strecke mit demjenigen der Soldnerschen Rechnung zeigt, daß bei den Gaußschen Koordinaten der Faktor cos² n in der Streckenformel nicht vorhanden ist. Nach dem Prinzip der konformen Abbildung ist die Streckenverzerrung nach allen Richtungen dieselbe und gleich dem Höchstbetrage der Verzerrung bei den Soldnerschen Koordinaten für n = 0. Wird das Zusatzglied nicht berücksichtigt, so ist die mittlere Streckenverzerrung bei den Gaußschen Koordinaten größer. Soll das Glied aber berücksichtigt werden, so ist dies wegen der Unabhängigkeit vom Richtungswinkel einfacher als bei den Soldnerschen Koordinaten. Wenn die Strecken oder die Koordinatenunterschiede klein sind, so ist das Zusatzglied örtlich konstant. Eine Vergleichung der Zusatzglieder für die Richtungswinkel ergibt, daß das erste Glied bei beiden Arten von Koordinaten gleich ist und daß das zweite bei den sphärischen Koordinaten von y² abhängige Glied bei den konformen nicht vorkommt. Das erste Glied ist nun überhaupt nur gering, weshalb eine Vernachlässigung der Richtungsreduktion bei den konformen Koordinaten verhältnismäßig belanglos ist. Für die Beziehungen zwischen den geographischen und konformen Koordinaten gelten Ausdrücke, die den Formeln 3. ähnlich sind. Weiteres hierzu s. [1], [2] und [9]–[15]. Die Theorie der Gaußschen Koordinaten ist zuerst von Schreiber dargestellt [9] und später in die Berechnungen der preußischen Landesaufnahme eingeführt worden [10]–[12]. Die preußische Landesaufnahme bedient sich einer konformen Doppelprojektion, durch welche die trigonometrischen Punkte zunächst vom Ellipsoid auf eine diesem sich anschmiegende Kugel, die Gaußsche Kugel mit mittlerem Krümmungshalbmesser, und danach von der Kugel auf die Ebene übertragen werden. Durch diese zweimalige Projektion wird der Vorteil erzielt, daß die Methode unter Benutzung einfacher Formeln auf das ganze Staatsgebiet ausgedehnt werden kann und daß ihre erste Stufe nur für Haupttriangulationen angewendet zu werden braucht, da die Unterschiede zwischen den Entfernungen und Richtungen auf dem Ellipsoid und der Kugel nur klein sind. Für Triangulationen zweiter und dritter Ordnung ist in der Regel nur eine Projektion von der Kugel auf die Ebene erforderlich. Auf der ebenen Projektionsfläche werden die Punkte durch konforme rechtwinklige Koordinaten dargestellt. Diese werden aber nur für die Berechnungen, nicht auch für die Zwecke der Spezialvermessung benutzt. Bei der erheblichen Ausdehnung des Staatsgebietes können die wahren Punktentfernungen wegen der Verzerrung im allgemeinen nicht unmittelbar aus diesen konformen rechtwinkligen Koordinaten nach den ebenen Berechnungsformeln hergeleitet werden. Es sind bei der Herleitung die besonderen Beziehungen der wahren Entfernungen zu den Punktabständen der Projektion zu berücksichtigen; s. den Ausdruck für log s in den Formeln 4, der allerdings hier nur für Ordinaten bis zu einer Länge von etwa 200 km scharfe Werte gibt. Weiteres s. [1], [2] und [9]–[15]. Die Vorzüge der konformen Koordinaten sind von Jordan besonders hervorgehoben worden. Es wurde von ihm auch die Einführung dieser Koordinaten in die Spezialvermessungen empfohlen. Zurzeit ist das Prinzip der Gaußschen konformen Koordinaten nur bei der Spezialvermessung von Mecklenburg in Gebrauch. Dieses Prinzip ist mit Rücksicht auf die geographische Lage des Landes angewendet auf einen Kegelmantel (s. Kartenprojektion), der den Mittelparallel des Landes berührt. Die Projektion ist von Paschen eingeführt und von Jordan für die Spezialvermessung unter Weiterentwicklung der Formeln bearbeitet worden; s. [1] und [17]. Wenn die Hauptausdehnung kleiner Staaten, bei denen die Anordnung einer einzigen ebenen Berechnungsfläche für die Spezialvermessung technisch noch möglich ist, nicht in der Meridianrichtung, sondern quer hierzu liegt, so kann in gleicher Weise wie bei der Kartenprojektion als Hauptrichtachse des Koordinatensystems der Querschnitt in Frage kommen. Dann wird ein Berührungszylinder der gekrümmten Erdoberfläche im Querschnittsbogen umschrieben. Im Sinne der Kartenprojektion entsteht dadurch eine schiefachsige Zylinderabbildung mit einem querachsigen Koordinatensystem. In [18] ist die Einführung eines solchen Systems in die schweizerische Landesvermessung vorgeschlagen. Weiteres s. in [1] und [19]. Schiefachsige Koordinatensysteme, deren Hauptrichtachsen erheblich von der Meridian- oder der Querrichtung abweichen, sind wegen der verwickelten Beziehungen zu den geographischen Koordinaten für den geodätischen Gebrauch nicht geeignet.

4. Koordinatenumwandlung. Sowohl bei den Kleinmessungen, deren Richtachsen irgendwelche Messungslinien sind, als auch in geodätischen Koordinatensystemen, hier besonders an ihren Grenzen, tritt häufig die Aufgabe der Umwandlung von rechtwinklig-ebenen Koordinaten aus einem System in ein andres auf. Wenn mit x y die Koordinaten des Systems A, mit y x diejenigen von B, mit y₀x₀ die des Nullpunktes von A in B, mit δ der Richtungswinkel der x-Achse des Systems A in B bezeichnet wird, so hat man die allgemeinen Umwandlungsformel:

y = y₀ + y cos δ + x sin δ; x = x₀ + x cos δ – y sin δ.

5.

Hat der Richtungswinkel δ nur einen kleinen Wert wie bei benachbarten geodätischen Systemen, so ergibt sich für die zugweise Umwandlung von Koordinatenunterschieden Δ y, Δ x und Δ y, Δ x benachbarter Punkte zwischen den Koordinaten der Endpunkte p und q des Rechnungszuges:

[623] Weiteres s. [1], [3], [4] und [16]. Die Umwandlungsformeln zwischen geographischen und rechtwinklig-sphärischen sowie zwischen sphärischen und ebenen konformen Koordinaten sind oben angegeben.

Literatur: [1] Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart, Bd. 2: Feld- und Landmessung, 6. Aufl., 1904; Bd. 3: Landesvermessung und Grundaufgaben der Erdmessung, 5. Aufl. 1907, beide Bände bearbeitet von Reinhertz. Dieses Werk gibt die ausführlichste Auskunft über den Stoff und auch Literaturnachweise. – [2] Jordan und Steppes, Das deutsche Vermessungswesen; Bd. 1: Jordan, Höhere Geodäsie und Topographie des Deutschen Reichs, Stuttgart 1882. – [3] IX. Anweisung vom 25. Oktober 1881 für die trigonometrischen und polygonometrischen Arbeiten, 3. Aufl., Berlin 1903. – [4] Gauß, F.G., Die trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen, 3. Aufl., Berlin 1906. – [5] Börsch, Anleitung zur Berechnung der rechtwinkligen sphärischen Koordinaten der Dreieckspunkte, 2. Aufl., Kassel 1885. – [6] Bohnenberger, Die Berechnung der trigonometrischen Vermessungen u.s.w., 1826, deutsch von Hammer, Stuttgart 1885. – [7] Hegemann, Lehrb. der Landesvermessung, Berlin 1906. – [8] Gauß, C.F., Allgemeine Lösung der Aufgabe, die Teile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird; Astron. Nachr., Altona 1825, bequem zugänglich in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 55. – [9] Schreiber, Theorie der Projektionsmethode der hannoverschen Landesvermessung, Hannover 1866. – [10] Ders., Die konforme Doppelprojektion der trigon. Abteilung der Kgl. preußischen Landesaufnahme, Berlin 1897. – [11] Ders., Zur konformen Doppelprojektion der Kgl. preußischen Landesaufnahme, Zeitschr. für Vermessungswesen, Stuttgart 1899, S. 491; 1900, S. 257. – [12] v. Schmidt, Die Projektionsmethode der trigonometrischen Abteilung der Kgl. preußischen Landesaufnahme, ebend. 1894, S. 385. – [13] Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme erster, zweiter und dritter Ordnung, Berlin 1878. – [14] Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Aufnahme der Reichsschutzgebiete zwischen 17° und 29° Südbreite, Berlin 1897. – [15] Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Aufnahme der Reichsschutzgebiete, Berlin 1891. – [16] Koll, Geodätische Rechnungen mittels der Rechenmaschine, Halle a. S. 1903. – [17] Großherzoglich mecklenburgische Landesvermessung, 5. Teil, Schwerin 1895. – [18] Rosenmund, Die Aenderung des Projektionssystems der schweizerischen Landesvermessung, Bern 1903. – [19] Zahlreiche Artikel in Zeitschr. f. Vermessungsw., übersichtlich zusammengestellt im Inhaltsverzeichnis, Jahrg. 1872–1904, S. 116 ff.

(† Reinhertz) Hillmer.

Fig. 1.

Fig. 2.