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Querprofile der Flüsse und Kanäle

[326] Querprofile der Flüsse und Kanäle. Das Querprofil ist entweder gegeben oder gesucht. Im ersteren Falle kann es sich nur darum handeln, bei verschiedenen Wasserständen die mittlere Geschwindigkeit u und die Wassermenge Q oder, wenn diese ebenfalls gegeben sind, das relative Spiegelgefälle α (in der Strömungsrichtung) zu berechnen. Im zweiten Falle sind die Dimensionen des Querprofils F zu ermitteln, die sich nach der verlangten oder gegebenen mittleren Geschwindigkeit, der Wassermenge und dem relativen Gefälle richten. Allgemein wird bei den Berechnungen für die betreffende Strecke eine gleichförmig permanente Bewegung angenommen.[326]

1. Gegebenes Querprofil. Nach Bd. 5, S. 152 und 153, gelten für ein Querprofil, das geschlossenen Wasserablauf ermöglicht, bei dem also eine stetige Erhebung oder Senkung des Wasserspiegels eine stetige Zunahme oder Abnahme des Wasserquerschnittes F und des benetzten Umfangs p hervorruft, die Beziehungen:

1. Q = F u; 2. u = k √(r α); 3. α = u² : k² r = Q² p : k² F³.

Die Werte von k sind aus den a.a.O.S. 152 angegebenen Werten von c und der Beziehung k = 1 : c abzuleiten; p ist der benetzte Umfang des Querprofils (Fig. 1), r der sogenannte mittlere Profilradius – F : p. Für relative Gefälle α > 1 : 2000 gilt für c Formel 13., für α < 1 : 2000 Formel 14. in Bd. 5, S. 152. Die Wassermengen Q sind in den Flüssen stets, in den Kanälen in der Regel wechselnd, also auch die Spiegellagen in beiden. Damit ändert sich auch der Wert des Koeffizienten k infolge seiner Abhängigkeit von r. In der Regel ändert sich auch die mittlere Geschwindigkeit u im Querprofile. Nur in einem Falle bleibt u konstant: wenn das Querprofil (vgl. Fig. 2) in seinen Böschungen nach einer Kettenlinie von der Gleichung:

begrenzt wird, in der

ist. Die Gleichung 4. entspricht der Beziehung F : p = konst oder d F = konst · d p und ergibt sich durch Integration mit d F = 2y · d x,

und mit den zusammengehörigen Werten x = 0, y = B [1], S. 747.

Bei Querprofilen, die sehr unregelmäßig begrenzt sind, insbesondere einen geschlossenen Ablauf nicht ermöglichen, sondern das Wasser gewissermaßen in mehreren besonderen Rinnen ableiten, ist die Berechnung der Wassermengen getrennt durchzuführen [1], S. 738. So wäre z.B. in dem in Fig. 3 gezeichneten Querprofil zunächst zu bestimmen: u₁ = k₁ √(r₁ α), u₂ = k₂√(r₂ α), u₃ = k₃√(r₃ α) wobei r₁ = F₁ : p₁ zu setzen, p₁ aber nur bis zur vertikalen Trennungslinie I, I zu messen ist, p₂ von der Trennungslinie I, I bis zu jener II, II u.s.w. Es wird dann

5. Q = u₁ F₁ + u₂F₂ +u₃ F₃.

Das Resultat ist selbstverständlich nur eine rohe Annäherung.

2. Gesuchtes Querprofil bei Flüssen. Hier handelt es sich meistens um trapezoidale oder sonst geradlinig begrenzte Profilflächen. Gegeben ist in der Regel der Böschungswinkel f und außerdem die Wassermenge Q und das relative Gefälle α. Mit den Bezeichnungen der Fig. 4 ist sodann

woraus

Ist die Geschwindigkeit u zum vornherein gegeben, so erhält man F = Q : u als Zahlenwert, und da aus 2. r = u² : k² α folgt, gibt Gleichung 9. mit einem versuchsweise angenommenen Wert von k (man setzt in der Regel hierbei erstmals k = 50) einen ersten Näherungswert von h. Mit diesem bestimmt man ein neues k und verwendet unter Einsetzung des damit gewonnenen r nochmals Gleichung 9. für Ausrechnung eines weiteren Wertes von h u.s.w., bis die erforderliche oder gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Die Gleichungen 6. und 7. liefern dann B und b und damit die Lösung des Problems.

Ist das Profil so zu gestalten, daß es der Flößerei oder einer bestimmten Art von Schiffahrt genügt, so muß der Wasserstand h im ersten Falle > 0,5 m, im andern >1,2 m sein, also bei der Wasserführung Q einen ganz bestimmten Wert annehmen. Das gleiche trifft zu, wenn bei Hochwasser die Wasserhöhe jene Grenze nicht übersteigen darf, bei der gefährliche Geschiebetransporte erzeugt werden (s. Schleppkraft und [2], S. 11). In diesen Fällen erhält man aus Gleichung 3. die Beziehung

Hieraus bestimmt sich wieder mit versuchsweiser Annahme von k = 50 ein Näherungswert von B; sodann mit 6. ein Wert von F und mit 9. ein solcher von r, der wieder ein genaueres k liefert, mit dem weiter probiert wird u.s.w. Die Wurzel auf der rechten Seite von 10. wird imaginär, wenn 2B < h cotg φ ist, worauf zu achten.

Ist man weder an die Annahme eines bestimmten u noch an jene eines bestimmten h gebunden, so kann man das sogenannte vorteilhafteste Querprofil F ermitteln, bei dem mit gegebenem Q und α die Maximalgeschwindigkeit erreicht wird. Letztere tritt ein für das Maximum von r; den betreffenden Wert erhält man aus Gleichung 9., wenn man ∂r/∂h bildet und das Ergebnis = 0 setzt. Es folgt

[327] Es kann also jedes trapezförmige vorteilhaftere Querprofil mit der in Fig. 5 gezeichneten Konstruktion ermittelt werden; aus dem Mittelpunkte des Wasserspiegels wird mit dem Halbmesser h ein Kreisbogen beschrieben, den die Sohle horizontal, die Böschungen unter dem Winkel φ berühren. Aus der Konstruktion folgt auch ohne weiteres b = h tg (φ/2) [3].

Bei den vorkommenden Rechnungen für übliche Böschungsverhältnisse gewährt nachstehende Tabelle Erleichterung; auch sei im gleichen Betreff auf [4] und [5] verwiesen.

Doppelprofile, wie sie in der Regel bei Flußkorrektionen angewendet werden, erhalten die in Fig. 6 dargestellte Form. Bei Berechnung derselben für Hochwasser ist (vgl. unter 1) die im Flußschlauch strömende Wassermenge abzuscheiden von jener, welche über die Vorländer fließt; im übrigen sind besondere Bedingungen zu erfüllen, die wir am besten durch ein Beispiel erläutern. – Auf einer zu korrigierenden Flußstrecke sei α = 0,0016; es soll ein Flußschlauch mit 1¹/₂ füßigen gepflasterten Böschungen gewählt werden, über dessen Sohle bei Hochwasser die Wasserhöhe 3 m nicht überschreiten darf. Die Höhe der Kante zwischen der Böschung und dem Vorland wird auf 1 m bestimmt und die Vorländer dürfen erst überschwemmt werden, wenn die Wassermenge 30 cbm/sec überschreitet. Die Hochwassermenge beträgt 500 cbm. Die Vorländer fallen 1,5% Gefälle gegen die Kante des Flußschlauchs erhalten; sie sind von einem Hochwasserdamm mit den Innenböschungen 1 : 2 zu begrenzen; für k soll (vgl. Bd. 5, S. 152) der Wert:

gewählt werden. Die Grenzgeschwindigkeit bei Hochwasser sei auf 3,5 m/sec festgesetzt.

Es ist zunächst die Mittelwasserrinne für Q₀ = 30 cbm zu bestimmen. Man erhält mit den angenommenen Maßen:

also nach Einsetzung obiger Werte:

woraus s₀ = 21. Damit wird:

F₀ = 22,5; p₀ = 24,6; r₀ = 0,91; k₀ = 34,5; u₀ = 1,31; Q₀ = rund 30 cbm.

Der Anteil an Hochwasser, welcher durch den Flußschlauch bei 3 m Wasserhöhe abgeführt werden kann, berechnet sich jetzt wie folgt:

F₁ = 3 (21 + 3) – 1,5 = 70,5 qm; p₁ = 24,6; r₁ = 70,5 : 24,6 = 2,87; k₁ = 48,4; u = 3,28;

Q = 70,5 · 3,28 = 231,24 cbm.

Die Geschwindigkeit u bleibt kleiner als 3,5 m/sec; man kann also die Hochwasserhöhe von 3 m über Sohle beibehalten. Ueber jedes der beiden Vorländer ist dann an Hochwasser abzuleiten:

Q₂ = 0,5 (500 – 231,24) = 184,38 cbm.

Entsprechend Gleichung 3. erhält man mit einem Annäherungswert von k = 40:

F₂³/p₂ = Q₂²/k² α = 184,38²/(40² · 0,0016) = 13280.

Wählt man jetzt s₂ = 60, so ist mit h₁ = 2, h₂ = 2 – 0,015 ∙ 60 = 1,1 und man findet F₂ = 0,5 ∙ 60 ∙ 3,1 + 1,1² = 94,21; p₂ = 60 + 1,1 ∙ √5 = 62,46; also F₂³/p₂ = 13377 als zufriedenstellende Annäherung. Rechnet man mit diesen Werten, so folgt:

r₂ = 94,21 : 62,46 = 1,51; k₂ = 40,6; u₂ = 1,99; Q₂ = 187,48 cbm.

Gegenüber dem Soll von 184,38 cbm spielt die Differenz (die von der Wahl einer ganzen Zahl für s₂ herrührt) keine Rolle.

Bei Flüssen, die weder schiffbar noch flößbar sind, aber zeitweise größere Hochwasser führen, die im einfachen trapezoidalen Profil abgeleitet werden müssen, handelt es sich häufig[328] darum, die Böschungen so zu verflachen, daß bei Hochwasser eine gewisse Wasserstandshöhe h und eine bestimmte Geschwindigkeit u nicht überschritten wird. Ist in diesem Falle das spezifische Gefälle α > 1 : 2000, Q die Hochwassermenge, h die zulässige Wasserstandshöhe, s die Sohlenbreite, u die Geschwindigkeit, so hat man aus

die Beziehung für r :

und, da (vgl. Fig. 7) p = s + 2h : sin φ, die Gleichung:

woraus:

Damit ist die Böschungsneigung bekannt. Bedingung für einen reellen Wert von r aus Gleichung 13. ist im übrigen, daß u² + 200 · m u √α > 40000 · m² u² α. Die Rechnungen sind besonders wichtig für den Fall, wenn teure Uferbefestigungen vermieden bezw. die Ufer nur mit Rasen abgedeckt werden wollen.

3. Gesuchtes Querprofil bei Kanälen. Soweit es sich bei diesen um offene, rechteckige oder trapezoidale Profile handelt, gelten die unter 2. angeführten Bestimmungsregeln. Häufig werden nach oben offene Profile an der Sohle kreisförmig abgerundet und tangential an den Sohlenkreis geradlinige Böschungen angeschlossen, wie in Fig. 8 dargestellt. Ist R der Radius des Sohlenkreises, φ der Böschungswinkel und b die halbe Wasserbreite, so wird:

Soll das Verhältnis von R zu b so gestaltet werden, daß bei bestimmter Profilfläche die Anordnung dem Maximum der Geschwindigkeit bezw. der Wassermenge entspricht, so muß R = b · sin φ sein, d.h. der Mittelpunkt des die Böschungen tangierenden Sohlenkreises muß in der Wasserspiegelmitte liegen (s. Fig. 9). Hiermit erhält man:

Nach oben geschlossene, an den Begrenzungsflächen abgerundete Profile kommen besonders bei der Kanalisation der Städte (s. Bd. 5, S. 339–341) in den verschiedensten Anordnungen zur Verwendung. Am häufigsten trifft man kreisförmige und eiförmige Profile (normaler Anordnung) an; im folgenden fallen nur diese behandelt werden. Hinsichtlich der übrigen häufiger angewendeten Profile verweisen wir auf [7], S. 412 ff.

Bezeichnet beim kreisförmigen Profile w den Zentriwinkel, welcher der Füllungssehne entspricht, R den Radius des Kreises, so ist (vgl. Fig. 10):

und ferner:

Das Maximum der Geschwindigkeit der Wasserströmung tritt ein, wenn tg w = w, also für w = 257¹/₂°; das Maximum der Wassermenge läuft durch das Profil, wenn w (3 · cos w – 2) = sin w, d.h. wenn w = 308°.

Für die verschiedenen Werte von w erhält man folgende Tabelle:

[329] Beim normalen Eiprofil ist die lichte Breite in Kämpferhöhe gleich zwei Dritteln der lichten Profilhöhe selbst (s. Fig. 11). Für eine beliebige Füllung des Profils in der Distanz x unterhalb der Kämpferlinie hat man bis x = 1,5 · R den entsprechenden Wasserquerschnitt F_x:

Das Maximum der Geschwindigkeit im Profile tritt ein, wenn der Wasserstand oberhalb der Kämpferlinie einem Zentriwinkel w = 248¹/2° entspricht; dem Maximum der Wassermenge entspricht w = 297¹/₂°. In der nachfolgenden Tabelle sind die Werte von Wasserquerschnitt, benetztem Umfang, mittlerem Profilradius, Geschwindigkeit und Wassermenge für Wasserstände von der Kämpferlinie aufwärts zusammengestellt:

Die Dimensionierung bei gegebener Wassermenge Q, gegebenem Gefälle α und bestimmtem Füllungsgrade erfolgt durch Ermittlung von R, indem vorher der entsprechende Wert von k bestimmt, als Funktion von R in die Formel für Q eingesetzt und sodann R durch Probieren gefunden wird.

Für Flußquerprofile ist vielfach die Trapezform bezw. das Doppelprofil, wie es Fig. 6 zeigt, als unzweckmäßig erachtet worden; indessen dürfte dies schwerlich dazu führen, diese bewährte Gestalt für neu herzustellende Profile aufzugeben [2], § 8, S. 17. Bei den Kanalprofilen hat das Bestreben, Neues zu schaffen, gar oft recht sonderbare und ihrer Kostspieligkeit wegen unpraktische Profilformen erzeugt [7]; es muß dies zur Warnung vor blinder Nachahmung erwähnt werden. Wegen der Versicherung der Sohlen, Böschungen u.s.w. von Querprofilen s. Flußregulierung, Gebirgsflußregulierung, Kanalisation der Städte, Schiffahrtskanäle, Uferdeckwerke. Vgl. a. Schleppkraft.

Literatur: [1] Grashof, F., Hydraulik, Leipzig 1875. – [2] Handbuch der Ingenieurwissenschaften, dritter Teil (Wasserbau), Bd. 6, Leipzig 1907. – [3] Lueger, O., Die Wasserversorgung der Städte, Darmstadt 1895. – [4] Kresnik, Hydrologische Tafel, Wien 1892. – [5] Lhota, Graphische Bestimmung der Profildimensionen, Zeitschr. d. Oesterr. Ing. u. Arch.-Ver. 1884, S. 66. – [6] Frank, Berechnung der Kanäle und Rohrleitungen, München 1886. – [7] Büsing, F.W., Die Städtereinigung, Stuttgart 1897.

Lueger.

Fig. 1.

Fig. 2., Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8., Fig. 9., Fig. 10., Fig. 11.