Dimension [1]

[13] Dimension (lat.), Ausdehnung, ein Grundbegriff der Geometrie. An jedem Körper unterscheidet man drei Dimensionen: Länge, Breite oder Dicke und Höhe. Läßt man eine dieser Dimensionen, etwa die Höhe, immer kleiner und kleiner werden und schließlich auf Null zusammenschrumpfen, so gelangt man zu einer Fläche, der nur noch zwei Dimensionen zukommen: Länge und Breite; läßt man hier wieder die Breite gleich Null werden, so erhält man eine Linie, die nur noch eine D. besitzt, die Länge. Wird auch die Länge der Linie gleich Null, so entsteht ein Punkt, der ganz ausdehnungslos ist, oder gar keine D. mehr hat. Umgekehrt kann man sich jede Linie aus einer zusammenhängenden Reihe von unendlich vielen Punkten zusammengesetzt denken, jede Fläche aus einer derartigen Reihe von Kurven, jeden Körper aus einer solchen Reihe von Flächen. Man drückt das so aus: jede Kurve enthält einfach unendlich viele Punkte, jede Fläche kann als die Zusammenfassung von einfach unendlich vielen Kurven betrachtet werden und enthält daher zweifach unendlich viele Punkte, jeder Körper kann als die Zusammenfassung von einfach unendlich vielen Flächen betrachtet werden und enthält daher dreifach unendlich viele Punkte. Die Zahl der Dimensionen eines geometrischen Gebildes (Linie, Fläche, Körper) gibt daher an, eine wievielfache Unendlichkeit von Punkten das Gebilde enthält. Dem ganzen Raum, als dem Inbegriff aller in ihm enthaltenen Körper schreibt man ebenfalls drei Dimensionen zu oder sagt: er ist dreifach ausgedehnt, dreidimensional. Die Dimensionenzahlen treten besonders deutlich hervor, wenn man die geometrischen Gebilde mit Hilfe der Rechnung (Analysis) untersuchen will, was durch die Methode der Koordinaten (s. d.) ermöglicht wird. Um die einzelnen Punkte auf einer Linie bestimmen zu können, muß man jedem Punkte der Linie eine Zahl zuordnen, bei den Punkten einer Fläche sind zwei solche Zahlen oder Koordinaten erforderlich, bei den Punkten des Raumes drei. Nennt man daher die Zusammenstellung dreier beliebiger Zahlen x, y, z ein Wertsystem, so kann der Inbegriff aller Punkte des Raumes analytisch dargestellt werden durch den Inbegriff aller Wertsysteme x, y, z, die man erhält, wenn man jeder einzelnen der Zahlen x, y, z nach und nach alle möglichen Werte erteilt. Unsre Anschauung ist auf den Raum von drei Dimensionen beschränkt, aber die Analysis ist nicht an die Betrachtung der Wertsysteme von bloß drei Zahlen gebunden. Sie kann, wenn n eine beliebige positive ganze Zahl ist, Wertsysteme von n Zahlen: x₁, x₂, x₃, x₄, ..., x_n betrachten, und der Inbegriff aller Wertsysteme, die man erhält, wenn jede dieser n Zahlen nach und nach alle möglichen Werte durchläuft, ist ein sich ganz von selbst darbietender Begriff. Indem man nun jedes solche Wertsystem kurz als einen Punkt in einem Raume von n Dimensionen (n-fach ausgedehnten Raume) bezeichnet, hat man den Vorteil, die Ausdrücke der Geometrie anwenden, von geraden Linien, von Dreiecken etc. reden zu können, was die Sprache ungemein erleichtert, während man, wollte man sich diese Redeweise nicht erlauben, entweder lauter ganz neue Ausdrücke erfinden oder sich mit höchst schwerfälligen Umschreibungen helfen müßte. Der mathematische Begriff des Raumes von beliebig vielen Dimensionen hat daher mit spiritistischen Albernheiten nichts zu tun, sondern ist nur eine Verallgemeinerung des der Erfahrung entnommenen Raumbegriffs, zu der die Analysis mit Notwendigkeit geführt hat (vgl. Mannigfaltigkeit). Ohne Zweifel ist dieser Begriff schon recht alt, z. B. muß Gauß ihn bereits sehr früh besessen haben, da einer seiner Schüler, Wachter, in einem 1816 an Gauß gerichteten Briefe von Räumen von beliebig vielen Dimensionen als etwas ganz Selbstverständlichem spricht. Trotzdem ist der Begriff erst in den letzten Jahrzehnten Allgemeingut der Mathematiker geworden, hauptsächlich durch Riemann, der in seiner 1854 gehaltenen, aber erst nach seinem Tod erschienen Probevorlesung »Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen«, n-fach ausgedehnte Größen und Mannigfaltigkeiten betrachtet, während allerdings schon vorher H. Graßmann in seiner »Ausdehnungslehre« von 1844 denselben Begriff systematisch entwickelt hatte, ohne in weitern Kreisen Beachtung zu finden. Besonders hat dann Helmholtz dazu beigetragen, daß man sich mit dem Begriff auch in nicht mathematischen, namentlich in philosophischen Kreisen beschäftigt hat. In seinem Vortrag »Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome« (1870) zeigte er an dem von Fechner stammenden Beispiele der Flächenwesen, wie wenig man aus unsrer Unfähigkeit zur Anschauung von vier Dimensionen auf deren Unmöglichkeit an sich schließen kann. Ein solches Wesen, dessen Anschauung nur zwei Dimensionen hat, würde niemals im stande sein, die beiden Hälften eines gleichschenkeligen Dreiecks zur Deckung zu bringen, es würde diese beiden Hälften für ebenso voneinander verschieden ansehen, wie uns linke und rechte Hand verschieden erscheinen. Der Unterschied zwischen Kongruenz (s. d.) und Symmetrie (s. d.) würde also für ein solches Wesen schon auf der Fläche hervortreten, während umgekehrt ein vierdimensionales Wesen den Unterschied, den wir zwischen unsrer linken und rechten Hand machen, nicht machen müßte und erst bei vierdimensionalen Gebilden auf die Verschiedenheit zwischen Kongruenz und Symmetrie stoßen würde. Bei allen diesen Spekulationen darf man aber nicht vergessen, daß wir uns einen Raum von vier Dimensionen, in dem unser Raum ebenso als Teil enthalten wäre, wie die Ebene in unserm dreidimensionalen Raum als Teil enthalten ist, niemals wirklich vorstellen können, und daß unsre Berechtigung, uns einen derartigen Raum als vorhanden zu denken, einzig und allein aus der Analysis stammt, die zu einer solchen Verallgemeinerung des Raumbegriffs geradezu herausfordert.