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Zinsrechnung

[950] Zinsrechnung (Interessenrechnung; hierzu Textbeilage »Zinsberechnungstabellen«) und Rentenrechnung, die verschiedenen Rechnungsarten, die zur Auflösung aller der Aufgaben dienen, die bei der Anlegung zinstragender Kapitalien vorkommen. Bei der Z. kommen in Betracht: das zinsentragende oder reine (ursprüngliche) Kapital c, der Zinsfuß, die Zeit, die Zinsen z und das um die Zinsen vermehrte Kapital C. Der Zinsfuß wird fast immer in Prozenten ausgedrückt, d. h. man gibt die Zinsen p an, die das Kapital 100 in der Zeiteinheit trägt. Als solche dient bei Angabe des Zinsfußes gewöhnlich das Jahr, seltener der Monat. Übrigens drückt man die Zeit in Jahren, Monaten und Tagen aus, wobei das Jahr zu 12 Monaten und gewöhnlich der Monat zu 30 Tagen, also das Jahr zu 360 Tagen, gerechnet wird. Letzteres geschieht in Deutschland auch meist dann noch, wenn man jeden Monat zu so viel Tagen rechnet, als er hat. In Großbritannien und dessen Kolonien sowie in den Vereinigten Staaten wird aber das Jahr zu 365 Tagen gerechnet. Bei der Zählung der Tage wird der Verfalltag der Zinsen gewöhnlich nicht mitgerechnet, vom 1.–12. Aug. sind also 11 Tage; nur an einzelnen Handelsplätzen (Leipzig, Hamburg) wird dieser Tag mitgezählt bei Verzinsung von Wertpapieren, so daß vom 1.–12. Aug. 12 Tage sind. Die Zinsen sind entweder einfach, die nicht selbst wieder verzinst werden, oder zusammengesetzt, sogen. Zinseszinsen, die nach Ablauf einer bestimmten Zeit, gewöhnlich eines ganzen oder halben Jahres, zum Kapital geschlagen und dann mit diesem verzinst werden. 1. Die einfachen Zinsen des Kapitals c zu p Proz. (jährlich) betragen in n Jahren

(1) z = cpn/100

Ist die Zeit n nicht in Jahren, sondern in Monaten oder Tagen angegeben, so hat man noch mit 12, bez. 360 (oder 365) zu dividieren. Es geben also c = 1850 Mk. zu p = 5 Proz. in 2 Jahren 85 Tagen = 805 Tagen die Zinsen z = 1850. 5. 805: 100. 360 = 206,84 Mk. Das vermehrte Kapital ist nach n Jahren

(2) C = c+z = c.(100+pn/100).

Das reine Kapital findet man aus den n-jährigen Zinsen z oder aus dem vermehrten Kapital C so.

(3) c = 100.z/pn = c.(100.C/100+pn).

Aus C = 1950,9 Mk., p = 4¹/₂ Proz. und n = 3 Jahre 7 Monate = 3⁷/₁₂ Jahre folgt

100+pn = 100+4¹/₂. 3⁷/₁₂ = 929/8

und also c = 8. 100. 1950,9: 929 = 1680 Mk. Für den Zinsfuß p und die Zeit n, in Jahren ausgedrückt, hat man die Formeln

(4) p = 100.z/cn und: (5) n = 100.z/cp.

wobei z = C-c ist. Z. B. aus C = 2939,62 Mk., c = 2472 Mk., p = 5 Proz. folgt z = 467,62 und n = 100.467,62/2472.5 = 3⁴⁷/₆₀ Jahre = 3 Jahre 9 Monate 12 Tage.

II. Bei Berechnung von Zinseszinsen mit jährlichem Zinszuschlag setzt man 1+p/100 = q (Zinskoeffizient, Zinsfaktor) und erhält sodann für die Größe C, die das Kapital c in n Jahren erreicht, die Formel (6) C = cqⁿ.

Die Rechnung wird mit Logarithmen (s. d.) ausgeführt nach den Formeln

(7) log C = log c+n.logq.

(8) log c = log C-n.logq.[950]

(9) logq = logC-logc/n

(10) n = (logC-logc)/logq.

Ist z. B. c = 1850 Mk., p = 4¹/₂ Proz., n = 12 Jahre, so ist q = 1,046, logq = 0,01912, und man hat zufolge (6)

log 1850 = 3,26717

+12. log 1,045 = 0,22944

log C = 3,49661, mithin C = 3137,71 Mk.

Auf der rechten Seite von (9) und (10) ist der Zähler soviel wie log C/c. Fragt man z. B., in wieviel Fahren sich ein Kapital zu 5 Proz. verdoppelt, so ist C/c = 2, und (10) gibt dann n = log 2: log 1,05 = 0,30103: 0,02119 = 14,21 Jahre. Erfolgt der Zinszuschlag kmal im Jahr, so tritt an die Stelle der Formel (6) die folgende:

(11) C = c.(1+p/(k.100))^kn,

und wenn man k über alle Grenzen wachsen läßt, so daß der Zinszuschlag stetig erfolgt, so wird

(12) C = ce^np/100

wo e = 2,71828 die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet (log e = 0,4342945); bei 5 Proz. erhält man z. B. C = c. 1,051270. Über die Berechnung der Kontokorrentzinsen s. Kontokorrent.

Durch einmalige Zahlung eines mit p Proz. verzinslichen Kapitals c kann man sich für eine Reihe von Jahren eine am Ende jedes Jahres zahlbare Rente r sichern. Läuft diese Rente n Jahre lang, so ist nach Verlauf der n Jahre das ursprüngliche Kapital e auf c (1+q)ⁿ angewachsen, wo 100. q = p ist; die am Ende des ersten, zweiten, nten Jahres gezahlten Renten r stellen am Ende des nten Jahres der Reihe nach die folgenden Kapitalien dar.

r (1+q)^n-1, r(1+q)^n-2,..., r(1+q),

r und deren Summe muß gleich c(1+q)ⁿ sein, also:

c(1+q)ⁿ = r.((1+q)^n-1/q)

s. Reihe (geometrische Progression). Diese Gleichung ermöglicht es, eine unter den vier Größen r, n, c, p aus den übrigen drei zu berechnen. Das Kapital c liefert bei p Proz. auf n Jahre die Rente:

(13) r = cq(1+q)ⁿ/(1+q)ⁿ-1.

Um bei p Proz. n Jahre lang die Rente r zu beziehen, muß man ein Kapital

(14) c = r. (1+q)ⁿ-1/q(1+q)ⁿ

einzahlen. Das Kapital c sichert bei p Proz. die Rente r, die natürlich kleiner als c sein muß, auf

(15) n = (logr-log(r-cq))/log(1+q)

Jahre. In den bisher betrachteten Fällen soll die Rente so lange gezahlt werden, bis das ursprüngliche Kapital aufgebraucht ist. Bei Rentenbanken und ähnlichen Instituten zahlt man jedoch meistens ein Kapital ein, um sich bis zu seinem Tod eine jährliche Rente zu sichern. In diesem Falle muß die Größe der Rente oder die Größe des Kapitals, das eine bestimmte Rente sichert, nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (s. Wahrscheinlichkeit) berechnet werden. Ähnlich wird bei Versicherungsgesellschaften die Höhe der Prämie ermittelt, die ein Versicherter zahlen muß, um sich für den Todesfall ein bestimmtes Kapital zu sichern. Vgl. die Textbeilage und Fleischhauer, Theorie und Praxis der Rentenrechnung (Berl. 1875); Bärlocher, Handbuch der Zinseszins-, Renten-, Anleihen- und Obligationenrechnung (Zürich 1886); Kleyer, Lehrbuch der Zinseszins- und Rentenrechnung (Stuttg. 1885); Bleicher, Grundriß der Theorie der Z. (Berl. 1888); Schinkenberger, Handbuch der Berechnungen von Anleihen und Annuitäten (Frankf. a. M. 1888, Neudruck 1908); Spitzer, Anleitung zur Berechnung der Leibrenten etc. (2. Aufl., Wien 1881) und Tabellen für die Zinses-Zinsen- und Rentenrechnung (3. Aufl., das. 1886); Werker, Die zusammengesetzte Zinsen- und Zeitrenten- oder Annuitätenrechnung (Utrecht u. Berl. 1893, 2 Bde.); Ströhmfeld, Neuer Berechner für Zinseszinsen, Renten etc. (Ravensb. 1899); Schlimbach, Politische Arithmetik (Frankf. 1902); Nonne, Zinseszins- und Rentenberechnung (Berl. 1903); Zinstabellen von Niedermüller (Leipz. 1885), Kraft (6. Aufl., Stuttg. 1906), Vetter (9. Aufl., Freib. 1906), Stapf (3. Aufl., Leipz. 1905), Ernst (»Zins-Logarithmen«, Berl. 1902), Weise (Düsseld. 1904) u. a.