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Projektionslehre

[257] Projektionslehre, derjenige Teil der angewandten Geometrie, welcher lehrt, die Projektion eines im Räume befindlichen Gebildes auf eine bestimmte Ebene (die Projektionsebene, Pr.-Eb.) zu bestimmen (s.a. Abbildung, Geometrie, darstellende).

Technisch wichtig sind die folgenden Projektionsarten:

1. Man verbindet die sämtlichen Punkte eines Gegenstandes mit einem im Räume beliebig gewählten Punkte und ermittelt die Durchschnittspunkte aller Verbindungslinien mit der Projektionsebene. Man erhält eine Zentralprojektion des Gegenstandes auf die Projektionsebene. Der Punkt, durch den alle die vorhin genannten Verbindungslinien hindurchgehen, heißt das Projektionszentrum, die Verbindungslinien sind die Projektionsstrahlen oder die Projizierenden.

2. Man zieht durch alle Punkte des Gegenstandes parallele Projektionsstrahlen zu einer vorgegebenen Richtung und bestimmt die Schnittpunkte dieser Linien mit der Projektionsebene. Man erhält eine Parallelprojektion des Gegenstandes, und zwar eine rechtwinklige oder orthogonale, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Projektionsebene stehen, und eine schiefwinklige oder klinogonale, wenn dies nicht der Fall ist.

Rechtwinklige Parallelprojektion. Zur Bestimmung der Projektion eines Gegenstandes genügt eine Projektionsebene; denn in diesem Falle hat man nur nötig, von allen Punkten des Gegenstandes Senkrechte zur Projektionsebene zu fällen und deren Fußpunkte in derselben Reihenfolge zu verbinden, wie die Punkte im Räume verbunden sind; man erhält hierdurch eine rechtwinklige Projektion des Gegenstandes auf die Projektionsebene. Umgekehrt ist aber durch eine einzige Projektion eines Gegenstandes dessen Lage im Räume noch nicht bestimmt; hierzu ist vielmehr noch nötig, entweder den Abstand einer Anzahl seiner Punkte von der Projektionsebene oder aber noch eine zweite rechtwinklige Projektion desselben Gegenstandes auf eine zweite Projektionsebene zu kennen. Beide Arten des Projektionsverfahrens finden in der Tat Verwendung. Bei dem erstgenannten Verfahren gibt man sich jeden Punkt im Räume durch seine rechtwinklige Projektion auf eine Projektionsebene und außerdem seinen Abstand von der letzteren, wobei für diesen Abstand noch zu bemerken ist, nach welcher Seite der Projektionsebene er abgetragen werden muß. Diese Projektionsmethode findet praktische Verwendung bei Terraindarstellungen, z.B. in topographischen Karten, indem man sich den darzustellenden Gegenstand durch gleichweit voneinander abgehende, zur Projektionsebene parallele Ebenen durchschnitten denkt und die Projektionen dieser Schnittlinien herstellt. Man erhält dann in der Projektionsebene eine Reihe von Linien, mittels welcher sich auf die Gestalt des Gegenstandes schließen läßt. Den Abstand eines Punktes von der Projektionsebene drückt man entweder durch eine Strecke oder aber durch eine Maßzahl aus, und man nennt diese die Kote des Punktes. In Fig. 1 ist durch eine Anzahl von horizontalen Schnitten ein Terrainabschnitt dargestellt. Diese Schnitte heißen Niveaulinien, und zwar, weil die Entfernungen ihrer Ebenen untereinander gleich sind, äquidistante Niveaulinien. Die ihnen beigefügten Zahlen bezeichnen die Abstände der Ebenen der Niveaulinien von der Projektionsebene. Mittels einer vertikalen Schnittebene ist ein Profil durch den Terrainabschnitt dargestellt.

Hat man zwei Projektionsebenen, so erhält man von einem Gegenstand auf jeder Projektionsebene eine rechtwinklige Projektion, und es läßt sich hieraus auf die Lage des räumlichen Gegenstandes zu den Projektionsebenen schließen. Ist z.B. ein Punkt a (Fig. 2) im Raume gegeben und sind a₁ und a₂ seine Projektionen auf die Projektionsebenen E₁ und E₂, so denkt man sich die beiden Projektionsebenen in eine einzige Ebene, die Zeichnungsebene, gelegt (Fig. 3); dann erscheint die Schnittlinie der beiden Projektionsebenen als die Projektionsachse X, und die beiden Projektionen a₁ und a₂ eines Punktes a im Räume liegen auf einer Senkrechten zur X-Achse. Dabei bezeichnen die Entfernungen der Projektionen a₁ und a₂ von der X-Achse die Entfernungen des Punktes a von den Projektionsebenen E₂ und E₁, und zwar gibt die Strecke den Abstand des Punktes a von der zweiten, die Strecke den Abstand von a von der ersten Projektionsebene an. Hierbei ist es üblich, die erste Projektionsebene E₁ als horizontal, die zweite Projektionsebene E₂ als vertikal vorauszusetzen. Man bezeichnet die Projektion eines Gegenstandes auf die Projektionsebene E₁ als seine Horizontalprojektion oder seinen Grundriß, die Projektion auf E₂ aber als die Vertikalprojektion oder den Aufriß. Manchmal benutzt man zur näheren Darstellung eines Gegenstandes noch eine dritte Projektionsebene E₃, welche auf den beiden Projektionsebenen senkrecht steht und dann Seitenebene oder Kreuzrißebene heißt; die Projektion auf sie ist ein Seitenriß oder ein Kreuzriß des Gegenstandes (s. Fig. 2 und 3).[257]

Die Elemente der Darstellung durch Projektion sind der Punkt, die gerade und die krumme Linie, die ebene Fläche und der von ebenen oder krummen Flächen begrenzte Körper. – Ein Punkt projiziert sich stets wieder als ein Punkt, eine Gerade in der Regel wieder als Gerade, falls sie auf einer Projektionsebene senkrecht steht, als ein Punkt. Eine krumme Linie hat im allgemeinen als Projektion wieder eine krumme Linie; nur wenn die Kurve eben ist und ihre Ebene senkrecht zu einer Projektionsebene steht, ist die Projektion auf diese Ebene geradlinig. Die Projektion eines Körpers ist gebildet durch einen bestimmten Teil der Projektionsebene, die Begrenzungslinie der Projektion bildet den scheinbaren Umriß des Körpers. Bei der ebenen Fläche wird man im allgemeinen von einer eigentlichen Projektion nicht sprechen können, weil, wenn die Ebene gegen beide Projektionsebenen beliebig geneigt ist und als unbegrenzt vorausgesetzt gedacht wird, jeder Punkt der Projektionsebene als Projektion eines Punktes der Ebene angesehen werden kann. Nur wenn die Ebene auf einer Projektionsebene senkrecht steht, kann ihr Schnitt mit dieser Ebene als Projektion auf letztere aufgefaßt werden. Ist die Ebene gegen beide Projektionsebenen beliebig geneigt, so wird ihre Lage gegen die Projektionsebene festgesetzt werden durch gewisse Bestimmungsstücke, welche ihr angehören. Solche Bestimmungsstücke sind beispielsweise drei nicht in einer geraden Linie liegende Punkte, zwei sich schneidende oder zwei parallele Gerade, eine Gerade und ein nicht auf ihr liegender Punkt u.s.w.

In der Fig. 4 ist eine Gerade a b durch ihre Projektionen auf die beiden Projektionsebenen E₁ und E₂ dargestellt; es unterliegt keiner Schwierigkeit, ihre Lage zu den beiden Projektionsebenen zu ermitteln. Konstruiert man nämlich die bei a₁ und b₁ bezw. a₂ und b₂ rechtwinkligen Trapeze a₁ a' b' b₁ und a₂ a'' b'' b₂, so daß die Längen

die Abstände der Punkte a und b von der ersten, die Längen

die Abstände derselben Punkte von der zweiten Projektionsebene darstellen, so hat man in den Strecken und und die wahre Länge der Geraden a b. konstruiert. Gleichzeitig geben die Winkel w₁ und w₂ die Neigungswinkel der Geraden a b mit den Projektionsebenen E₁ und E₂ an. Auch die Lage einer Ebene gegen die Projektionsebenen läßt sich aus den durch ihre Projektionen dargestellten Bestimmungsstücken der Ebene leicht ermitteln. Ist z.B. eine Ebene (s. Fig. 5) durch zwei in einem Punkt a sich schneidende Geraden B und C dargestellt, so findet man zunächst die Durchschnittspunkte b₁ und c₁ der Geraden B und C mit der Projektionsebene E₁ und damit in der Verbindungslinie b₁ c₁ die Durchschnittslinie der Ebene mit der Projektionsebene. Zeichnet man nun das Dreieck a₁ α a' so, daß a₁ α senkrecht zu b₁ c₁ und a₁, a' parallel zu b₁ c₁ und gleich dem Abstand a₂ a_x des Punktes a von der Projektionsebene E₁ ist, so schließen die Linien a' α und a₁ α bei α den Winkel W₁ der Ebene B C mit der Projektionsebene E₁ ein. Denkt man sich außerdem die Ebene B C um ihre Schnittlinie b₁ c₁ mit der Projektionsebene E₁ in letztere umgelegt, so kommt der Punkt a nach a'' in die Verlängerung von a₁ α zu liegen, so daß

ist, und die beiden Linien B', C', welche durch b₁ und c₁ hindurchgehen, schließen denselben Winkel W ein wie die Winkel B und C im Raume.

Eine bequeme Darstellung der Ebene ist jene durch ihre Spuren, d.h. durch ihre Schnittlinien 5 und T mit den Projektionsebenen (s. Fig. 6). Soll in der Ebene eine Gerade angenommen werden, so kann man eine ihrer Projektionen, z.B. den Aufriß A₂, beliebig; wählen, während ihr Grundriß A₁ durch Projizieren zu bestimmen ist. Besondere Geraden der Ebenen sind die Spurparallelen, von welchen es zwei Scharen gibt; die eine Schar, von welcher B eine Gerade darstellt, läuft parallel zur ersten, die andre Schar, zu weicher die Gerade C gehört, ist parallel zur zweiten Spur. Die Geraden der Ebene können benutzt werden, um Punkte in der Ebene zu zeichnen. Wählt man z.B. den Punkt a₁ auf A₁ beliebig, so ist a₂ auf A₂ bestimmt; so gehören auch die Punkte b und c, weil auf den Geraden B und C liegend, der Ebene an. Der Schnittpunkt einer Geraden A mit einer Ebene (s. Fig. 7) bestimmt sich in einfacher Weise, indem man die eine Projektion der Geraden, z.B. A₂ als Aufriß B₂ einer Geraden B der Ebene auffaßt und ihren Grundriß B₁ ermittelt, welcher A₁ im Grundriß x₁ des Schnittpunktes x der [258] Geraden A und der Ebene trifft. Den Neigungswinkel einer Ebene mit den Projektionsebenen ermittelt man, indem man auf T den Punkt p wählt (s. Fig. 6), p₁ q senkrecht zu S₁ und p₁ p' parallel zu S₁ und gleich zieht. Die Verbindungslinie p' q schließt mit p₁ q₁ den Neigungswinkel W₁ der Ebene mit der Grundrißebene ein. Mittels des Punktes r ist in dem Dreieck r₂ s r'' der Winkel W₂ der Ebene mit der Aufrißebene ermittelt worden. Stehen die Projektionen A₁ und A₂ einer Geraden A bezw. normal zu den Spurrichtungen der Ebene (s. Fig. 8), so steht die Gerade A selbst normal zur Ebene. Die Bestimmung der wahren Gestalt einer in der Ebene liegenden Figur geschieht auf zweierlei Art; entweder durch Umlegung der Ebene um ihre erste Spur S₁ in die Grundrißebene, oder um T₂ in die Aufrißebene. Dabei wählt man auf der zweiten bezw. ersten Spur einen Punkt p bezw. r der Ebene, bestimmt dessen Umlegung in die betreffende Projektionsebene, wodurch auch die Umlegungen der übrigen Punkte der Ebene bestimmt sind. Nebenstehende Fig. 9 zeigt dieses Verfahren; hierbei ist z.B.

u.s.w.

Neigungswinkel einer Geraden mit einer Ebene. Man wählt auf der Geraden einen Punkt willkürlich, fällt von ihm eine Senkrechte zur Ebene und ermittelt den Winkel dieser Senkrechten mit der gegebenen Geraden; sein Komplementswinkel ist gleich dem Winkel von Gerade und Ebene.

Winkel zweier Ebenen: Man fällt von einem beliebigen Punkte Senkrechte auf beide Ebenen. Je nach der Wahl des Punktes schließen diese Senkrechten einen Winkel gleich dem Winkel der beiden Ebenen oder deren Supplementswinkel ein.

Schiefwinklige Parallelprojektion. Bei der schiefwinkligen Parallelprojektion sind die Projektionsstrahlen gegen die Projektionsebene nicht normal gerichtet, sondern unter einem beliebigen Winkel gegen diese geneigt. Um in schiefer Projektion geometrische Konstruktionen durchführen zu können, bedient man sich verschiedener Verfahrungsarten. Man wählt z.B. (Fig. 10) parallel zur Projektionsebene eine zweite Ebene, die Abstandsebene E_a, in beliebigem Abstande von der Projektionsebene und gibt sich deren Abstand von der Projektionsebene durch den in der Projektionsebene um den Punkt p₂ mit dem Abstand beschriebenen Kreis K_a, den Abstandskreis (vgl. Fig. 11). Gibt man sich außerdem die schiefwinklige Projektion p' des in der Abstandsebene liegenden Punktes p, so ist durch p₂ p' die Projektionsrichtung bestimmt. Die durch p₂ zu p₂ p' gezogene Senkrechte schneidet den Abstandskreis K_a in einem Punkte p₀, dessen Verbindungslinie p₀ p' mit p₂ p' den Winkel W der Projektionsrichtung mit der Projektionsebene einschließt. Die Darstellung eines Punktes a (Fig. 11) geschieht durch seine rechtwinklige und schiefwinklige Projektion a₂ bezw. a' auf die Projektionsebene, wobei die Verbindungslinie a₂ a' stets parallel zur Verbindungslinie p₂ p' sein muß. Zeichnet man nun das Dreieck a₂ a' a₀ ähnlich und ähnlich gelegen dem Dreieck p₂ p' p₀, so gibt die Strecke den Abstand des Punktes a von der Projektionsebene an. Zur Darstellung von Geraden und Ebenen benutzt man deren Durchschnitte mit der Abstandsebene Ea, indem man deren schiefe Projektionen als bekannt voraussetzt und außerdem die Durchschnitte dieser Gebilde mit der Projektionsebene als gegeben annimmt. Ist z.B. eine Gerade A (Fig. 12) durch ihren Durchschnitt s mit der Projektionsebene und die schiefe Projektion s_a' ihres Schnittes mit der Abstandsebene E_a gegeben, so erhält man, wenn man gleich und gleich gerichtet p' p₂ zieht, in s s_a die rechtwinklige Projektion A₂ der Geraden. Zieht man nun in s_a zu A₂ die Senkrechte s_a s_a⁰ gleich dem Halbmesser des Abstandskreises K_a, so schließt die Verbindungslinie s_a⁰ s mit s_a s den Neigungswinkel [259] W der Geraden mit der Projektionsebene ein. Ist ebenso (Fig. 13) durch S_a S_a' eine Ebene in schiefer Projektion dargestellt, so wählt man auf S_a' einen Punkt q' beliebig, zieht q' q₂ gleich und gleich gerichtet p' p₂, so geht durch q₂ die rechtwinklige Projektion S_a der Schnittlinie der gegebenen Ebene mit der Abstandsebene. Zieht man nun q₂ t senkrecht zu S und macht gleich dem Halbmesser des Abstandskreises K_a, so schließt die Verbindungslinie q₀ t mit q₂ t den Neigungswinkel W der Ebene mit der Projektionsebene ein.

Ein andres Darstellungsverfahren in schiefwinkliger Parallelprojektion besteht darin, daß man einen Gegenstand mit seinem Grundriß etwa in die Aufrißebene unter einem von 90° verschiedenen Winkel W projiziert und jeden Punkt zur Darstellung bringt durch seine schiefe Projektion auf die Projektionsebene und die seines Grundrisses. Zur Ausführung von geometrischen Konstruktionen muß dann noch die Projektionsrichtung und ihr Winkel mit der Projektionsebene bekannt sein. In der Fig. 14 ist ein Punkt a durch seine schiefe Projektion a₁ und diejenige a₁' seines Grundrisses gegeben. Die Projektionsrichtung ist parallel zur Geraden Y und gegen die Projektionsebene unter dem Winkel W geneigt. Die Lage des Punktes a gegen die Projektionsebene läßt sich nun in einfacher Weise ermitteln. Faßt man 0₂ als die rechtwinklige Projektion eines Punktes 0 auf der Geraden Y, dessen schiefe Projektion der Punkt 0' ist, auf, so gibt 0₂ 0⁰ den Abstand des Punktes 0 von der Projektionsebene an. Legt man nun die Ebene X Y um die Gerade X in die Ebene Z X um, so kommt der Punkt 0 nach 0₁, so daß

ist, und 0₁ ist die rechtwinklige Projektion des Punktes 0 auf die Ebene X Y, d.h. die Projektionsebene E₁; aus a' und a₁' bestimmt sich nun a₂ und mittels der Senkrechten durch a₂ zu a' a² und der Parallelen durch a' zu 0' 0⁰ der Abstand des Punktes a von der Projektionsebene E₂. Die rechtwinklige Projektion a₁ ergibt sich in zweifacher Weise, entweder durch Abtragen der Strecke nach oder durch Ziehen der Parallelen a₁' a₁ zu 0' 0₁. Handelt es sich um die Ermittlung der Lage einer Geraden zur Ebene, so geschieht dies ebenfalls in einfacher Weise. Man verschafft sich zunächst (Fig. 15) die rechtwinkligen Projektionen a₂ und b₂ der Punkte a und b; hierauf ihre Abstände und von der Projektionsebene. Mittels des Trapezes a₂ a'' b'' b₂ ergibt sich dann die wahre Länge der Geraden a b und ihr Neigungswinkel zur Projektionsebene. – Ist eine Ebene durch ihre Schnittlinie T₂ und S₁' (Fig. 16) mit den Ebenen X Z und X Y gegeben, so hat man nur von dem Punkte o₂ zu T₂ die Senkrechte o₂ p zu zeichnen und das Dreieck o₂ p o'', o₂ p senkrecht T₂, o'' o₂ senkrecht o₂ p und gleich o₂ o⁰ zu konstruieren, dann enthält dasselbe bei p den Neigungswinkel W₂ der Ebene mit der Projektionsebene E₂.

Die im vorstehenden behandelte schiefe Parallelprojektion findet in der Technik vielfach Verwendung, namentlich für den Fall, daß die Projektionsrichtung Y unter 45° gegen die X-Achse geneigt ist und auch der Winkel W ebenfalls 45° beträgt. In diesem Fall führt die Projektionsart die Bezeichnung Kavalierperspektive.

Zentralprojektion. Wenn man von allen Punkten eines Gegenstandes Strahlen nach einem nicht in der Bildebene gelegenen Punkte, dem Projektionszentrum, zieht und deren Durchschnittspunkte mit der Bildebene ermittelt, so gibt die Gesamtheit aller dieser Durchschnittspunkte mit der Bildebene in letzterer die Zentralprojektion des Gegenstandes. Fällt das Projektionszentrum mit dem Auge des Beobachters zusammen und befindet sich die Bildebene zwischen dem Gegenstande und dem betrachtenden Auge, so heißt in diesem Falle die Zentralprojektion eine Zentralperspektive des Gegenstandes. – Die Zentralprojektion eines Punktes ist also wieder ein Punkt, jene einer Geraden im allgemeinen wieder eine Gerade, und nur dann, wenn die Gerade durch das Projektionszentrum selbst geht, ein Punkt. Bei einer unbegrenzten Ebene kann man von einer Zentralprojektion im eigentlichen Sinne nicht sprechen, es wird vielmehr die ganze Bildebene als die Zentralprojektion einer Ebene aufgefaßt werden können. Zur Feststellung der Lage der Ebene gegen die Bildebene genügt es, eine Anzahl von Bestimmungsstücken der Ebene durch Zentralprojektion darzustellen. Ist man imstande, die Elemente Punkt, Gerade und Ebene durch Zentralprojektion darzustellen, so kann damit auch die Zentralprojektion eines jeden Gegenstandes hergestellt werden, der aus den genannten Elementen zusammengesetzt ist. – Ist nun a (s. Fig. 17) ein Punkt im Raum, o das Projektionszentrum, [260] E₂ die Bildebene, so ergibt sich die Zentralprojektion a' von a, indem man die rechtwinklige Projektion a₂ von a mit der rechtwinkligen Projektion o₂ des Zentrums (Hauptpunkt) verbindet und diese Verbindungslinie mit dem Strahle o a durchschneidet. Als Bildebene wird in der Regel die Aufrißebene gewählt: es liegt dann die Zentralprojektion eines Punktes a stets auf der Verbindungslinie seines Aufrisses a₂ (s. Fig. 18) mit dem Augpunkte, und ist der innere Teilungspunkt der Strecke , der diese in dem Verhältnis teilt. Hierbei bezeichnet den Abstand des in Rede stehenden Punktes von der Bildebene und den Abstand des Zentrums von dieser Ebene oder die Distanz.

Die Zentralprojektion einer Geraden (z.B. A, Fig. 19) ist bestimmt durch die Zentralprojektionen zweier Punkte in ihr; als solche Punkte wählt man zweckmäßig einerseits ihren Durchschnittspunkt A_s, d.h. ihre Spur mit der Bildebene, anderseits den Schnittpunkt A_q' eines Parallelstrahles zu der Geraden durch das Zentrum o mit der Bildebene; letzteren Punkt bezeichnet man als die Flucht der Geraden. Die Verbindungslinie o₂ A_q' ist hierbei parallel zur rechtwinkligen Projektion A₂ der Geraden. Alle zur Geraden A parallelen Geraden besitzen den nämlichen Parallelstrahl; folglich haben die Zentralprojektionen von parallelen Geraden den Fluchtpunkt gemeinsam. Stehen die Geraden zur Bildebene senkrecht, so fällt ihr Fluchtpunkt mit dem Hauptpunkt zusammen; sind die Geraden unter 45° zur Bildebene geneigt, so liegen ihre Fluchtpunkte auf einem Kreise, der den Hauptpunkt als Mittelpunkt und die Distanz als Halbmesser besitzt und Distanzkreis heißt. Sind die Geraden zur Bildebene parallel, so sind auch ihre Zentralprojektionen parallel.

Ist nun (Fig. 20) A_s die Spur, A_q' die Flucht einer Geraden A, so gibt die Verbindungslinie A_s A_q' die Zentralprojektion A' von A : der Aufriß A₂ ist parallel zu o₂ A_q'. Zieht man zu o₂ A_q' die Senkrechte gleich der Distanz, so stellt die Verbindungslinie o₀ A_q' den mit der Ebene o o₂ A_q' in die Bildebene umgelegten Parallelstrahl zur Geraden A dar und der Winkel w bezeichnet den Neigungswinkel der Geraden A mit der Bildebene. Die Umlegung der Geraden A in die Bildebene geht durch A_s parallel zu o⁰ A_q'. Sind also a' b' zwei Punkte auf der Zentralprojektion A' von A, so schneiden die Verbindungslinien o₀ a' und o₀ b' auf A₀ die Punkte a₀ b₀ aus, deren Entfernung voneinander gleich ist der wahren Länge der Strecke a b. Der Punkt o₀, d.i. das umgelegte Zentrum, heißt der Teilungspunkt der Geraden A. Zur Geraden A gehören unzählig viele Teilungspunkte; sie liegen alle auf einem um A_q' als Mittelpunkt mit einem Halbmesser gleich A_q' o₀ beschriebenen Kreise, dem Teilungskreise von A. Wählt man auf diesem Kreise einen beliebigen Punkt o'' und zieht durch A_s eine Parallele A'' zu o'' A_q', so liefern die Strahlen o'' a' und o'' b' auf A'' (A'' fällt im vorliegenden Falle mit A₂ zusammen) ebenfalls die wahre Länge von . Würde man in eine beliebige Anzahl gleicher oder in einem bestimmten Verhältnisse zueinander stehender Teile teilen, so lieferten die Verbindungslinien dieser Teilungspunkte mit o₀ auf A' die Zentralprojektionen der Teilungspunkte. – Eine unbegrenzte Ebene wird in zentraler Projektion bestimmt durch die Zentralprojektionen von zweien ihrer Geraden; als solche Gerade wählt man zweckmäßig die Schnittlinie S (Fig. 21) der Ebene mit der Bildebene, d.h. ihre Spur und die Schnittlinie Q' einer Parallelebene zu ihr durch das Zentrum. Letztere Linie Q' heißt die Flucht der Ebene. Eine Ebene wird also dargestellt durch Spur und Flucht. Steht die Ebene senkrecht zur Bildebene, so geht ihre Flucht durch den Hauptpunkt. Eine beliebige Gerade A der Ebene hat ihre Spur A_s in der Spur S und ihre Flucht A_q' in der Flucht Q' der Ebene. Ist durch S Q' (s. Fig. 22) eine beliebige Ebene zentralprojektivisch dargestellt, so läßt sich in einfacher Weise sowohl ihr Neigungswinkel mit der Bildebene bestimmen als auch die Ebene selbst mit allen in ihr liegenden Punkten und Linien in die Bildebene umlegen, wodurch sich die wahre gegenseitige Lage dieser Elemente gegeneinander ermitteln läßt. Fällt man nämlich durch o₂ die Senkrechte o₂ q₀' zu Q', macht o₂ o' parallel zu Q' und gleich der Distanz, so ist in dem rechtwinkligen Dreieck o₂ q₀' o' der Winkel W gleich dem Neigungswinkel der Ebene S Q'[261] zur Bildebene. Legt man die Parallelebene Q' in die Bildebene um, so kommt das Zentrum nach o₀ und die Verbindungslinien von o₀ mit den Punkten der Flucht Q' geben die umgelegten Parallelstrahlen zu den Geraden der Ebene. Für die Gerade A' ist also o₀ A_q' der umgelegte Parallelstrahl, und es wird die Umlegung A₀ der Geraden selbst parallel zu o₀ A_q' durch A_s zu ziehen sein. So ist auch B₀ die Umlegung von B, ebenso C₀ jene von C u.s.w., entsprechend ist durch das Dreieck a₀ b₀ c₀ die wahre Gestalt des Dreiecks a b c, dessen zentrale Projektion durch a' b' c' dargestellt ist, gegeben.

Ein ebenes Gebilde und seine Zentralprojektion, desgleichen die Umlegung des Gebildes und die Zentralprojektion stehen in einem bestimmten geometrischen Zusammenhange, der dadurch charakterisiert ist, daß den Punkten des einen Gebildes Punkte des andern so zugeteilt lind, daß die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch einen festen Punkt hindurchgehen, während den Geraden des einen Gebildes Gerade des andern so entsprechen, daß entsprechende Gerade auf einer festen Linie S (Fig. 22) sich schneiden. Diesen Zusammenhang nennt man zentrische Kollineation (s.d.); der feste Punkt, durch welchen die Verbindungslinien entsprechen der Punkte hindurchgehen, heißt das Kollineationszentrum, die Gerade, auf welcher sich entsprechende Gerade schneiden, heißt die Kollineationsachse. Außer der Kollineationsachse S sind noch zwei weitere Achsen Q' und R₀, beide parallel zu S, vorhanden; sie heißen die Gegenachsen der Kollineation und haben die Eigenschaft, daß die auf ihnen liegenden Punkte den unendlich fernen Punkten des andern Gebildes entsprechen. In Fig. 6 sind die Figuren a' b' c' und a₀ b₀ c₀ zentrisch kollineare Figuren mit S als Kollineationsachse, o₀ als Kollineationszentrum und den Achsen Q' und R₀ als Gegenachsen. Entsprechende Punkte sind also a' a₀, b' b₀ u.s.w., entsprechende Gerade a' b', a₀ b₀, a' c', a₀ c₀ u.s.w. Sämtliche Normalen zu einer Ebene sind zueinander parallel, sie besitzen somit in zentraler Projektion einen gemeinsamen Fluchtpunkt, den Normalenfluchtpunkt der Ebene; er liegt (s. Fig. 23) auf der Normalen durch den Hauptpunkt zur Flucht der Ebene und außerdem auf der Normalen durch o' zu q₀' o'. Ist der Normalenfluchtpunkt N_q' einer Ebene bestimmt, so ist damit auch das Ziehen von Normalen zur Ebene durch gegebene Punkte ermöglicht. Die Normale durch a' (s. Fig. 23) zur Ebene S Q' geht durch N_q', ihre Spur N_s liegt auf der Parallelen durch a₂ zu N_q o₂.

Im vorstehenden sind die Mittel angegeben zur Lösung aller Aufgaben der Projektionslehre mittels zentraler Projektion. Zur Herstellung der zentralen Projektion eines Körpers bedient man sich im allgemeinen stets des Verfahrens, daß man durch jeden seiner Punkte zwei gerade Linien zieht und deren zentrale Projektionen bestimmt, der Schnittpunkt der letzteren gibt die Zentralprojektion des Punktes. – Die Konstruktionen der Zentralprojektion und der Zentralperspektive weichen im wesentlichen nicht voneinander ab; es soll deshalb im folgenden nur von den letzteren gesprochen werden.

Bei der Zentralperspektive besteht in der Regel die Aufgabe darin, einen durch Grund- und Aufriß gegebenen Gegenstand für eine bestimmte Ebene als Bildebene und für einen Punkt vor derselben als Auge bezw. Zentrum zentralperspektivisch darzustellen. Benutzt man nun als Hilfsgeraden durch jeden Punkt des Gegenstandes einmal die Senkrechte zur Bildebene und außerdem den Strahl nach dem Zentrum, so bezeichnet man diese Methode als Durchschnittsmethode. Man kann aber auch anstatt der Strahlen nach dem Zentrum durch jeden Punkt eine zur Bildebene unter 45° geneigte Gerade, die außerdem noch horizontal gewählt werden kann, benutzen und erhält dann die Distanzpunktsmethode. Kommen endlich an einem darzustellenden Objekte ein oder mehrere Systeme von parallelen Geraden vor, wie dies z.B. an jedem Gebäude der Fall ist, so wird man sich die Zentralprojektionen dieser Parallelen verschaffen und hiernach die Zentralprojektionen der einzelnen Punkte des Körpers erhalten. Die hierauf sich gründende Methode heißt die Fluchtpunktsmethode. – Bei den Darstellungen in Zentralperspektive bezeichnet man die Spur G (vgl. Fig. 24) der Horizontalebene als Grundlinie, die Flucht H als Horizont, der Hauptpunkt heißt Augpunkt. In Fig. 24 ist ein Körper durch Grund- und Aufriß dargestellt. E₁ bezeichnet den Grundriß der Bildebene, o₁ und o₂ sind Grund- und Aufriß des Auges. Der Körper befindet sich in paralleler Stellung zur Bildebene; die Perspektive a' des Punktes a ist mittels der Durchschnittsmethode ermittelt[262] worden, der Strahl nach dem Zentrum durch a liefert im Grundriß den Punkt a₁', dem im Aufriß die Perspektive a' entspricht. Mittels der Distanzpunktsmethode ist der Punkt c' bestimmt worden. Durch c₁ sind die beiden Geraden c₁, d₁ und c₁ e₁ erstere senkrecht, letztere unter 45° zur Bildebene gezogen worden; ihnen entsprechen die Perspektiven d₂ o₂ und e₂ D (D = Distanzpunkt), die sich in c' schneiden.

Der in Fig. 25 dargestellte Körper zeigt die Konstruktion mittels der Fluchtpunktsmethode. Es sind hier für die auftretenden Horizontalen die Fluchtpunkte f' und g' ermittelt worden. Durch jeden Punkt des Körpers, z.B. a, gehen zwei horizontale Kanten des Körpers, deren Perspektiven man mittels der Durchschnittspunkte b und c dieser Kanten mit der Bildebene und der Fluchtpunkte f' und g' ermittelt. Will man nur eine der horizontalen Körperkanten für einen Punkt des Körpers benutzen, so kann man als zweite Gerade etwa eine Senkrechte zur Bildebene verwenden, wie dies z.B. für den Punkt d geschehen ist.

Reliefprojektion. Statt der ebenen Zentralprojektion eines Gegenstandes kann man sich auch eine räumliche Abbildung desselben verschaffen, wenn man auf jedem das Zentrum enthaltenden Projektionsstrahl einen Punkt so wählt, daß derselbe mit dem Zentrum, dem Raumpunkte und seiner Zentralprojektion ein Doppelverhältnis von konstantem Werte = Δ bildet. Diese so bestimmten Punkte erfüllen dann ein zweites, räumliches Gebilde, welches man als die zentrisch-kollineare Verwandte des ersteren bezeichnet. Ist das Original ein Körper, so ist im allgemeinen auch die zentrisch-kollineare Verwandte desselben ein Körper, den man als das Modell oder als das Relief des ersten Körpers bezeichnen kann. Die Projektion dieses Reliefs auf die Projektionsebene heißt die Reliefprojektion des Körpers. – Aus vorstehender Definition folgt, daß einem Punkt wieder ein Punkt, einer das Zentrum nicht enthaltenden Geraden oder Ebene wieder eine Gerade oder Ebene entspricht. Die in der Projektionsebene liegenden Gebilde entsprechen sich selbst. Der vorstehend charakterisierte Zusammenhang zwischen den Punkten, Geraden und Ebenen des Raumes bezeichnet man als räumliche Zentralkollineation und nennt die Ebene der sich selbst entsprechenden Gebilde die Kollineationsebene, das Zentrum das Kollineationszentrum. Da die unendlich fernen Punkte des Raumes in einer Ebene liegen, so entsprechen ihnen wieder die Punkte einer Ebene, welche parallel zur Kollineationsebene gerichtet ist. Gehören die unendlich fernen Punkte dem Originalsysteme an, so liegen die ihnen entsprechenden Punkte im Reliefsystem in einer Ebene Q'' (Fluchtebene oder Gegenebene, Fig. 26); gehören sie dem Reliefsystem an, so liegen die Originalpunkte in einer zur Kollineationsebene E' parallelen Ebene R (Verschwindungsebene oder zweite Gegenebene). Für jeden das Kollineationszentrum o enthaltenden Strahl, auf welchem ein Paar entsprechender Punkte a a'' liegen, finden die folgenden Doppelverhältnisgleichheiten statt: (a a'', o a') = (q q'', o a') = (r r'', o a') = Δ. Hieraus folgt die Beziehung:

woraus sich ergibt, daß die Ebene Q'' gerade so weit von der Kollineationsebene E absteht, wie die Ebene R vom Zentrum o. Das Doppelverhältnis Δ, das dem einfachen Teilverhältnis gleich ist, nach welchem die Fluchtebene Q'' bezw. die Verschwindungsebene R den Abstand zwischen Kollineationsebene E' und Zentrum o teilt, heißt das charakteristische Doppelverhältnis oder die Charakteristik der räumlichen Zentralkollineation. – Jede das Zentrum enthaltende Ebene schneidet auch zwei zentrisch-kollineare ebene Systeme mit der gleichen Charakteristik Δ aus, für welche die Schnittlinien der Ebene mit der Kollineations- bezw. mit der Gegenebene Kollineationsachse und Gegenachse ergeben. Eine das Zentrum nicht enthaltende Ebene liefert durch ihren Schnitt mit den räumlichen Systemen gleichfalls zwei zentrisch-kollineare Systeme, für welche die Achsen der Kollineation die Schnittlinie der Ebene mit der Kollineationsebene bezw. den Gegenebenen sind. Doch ist hierbei der Wert der Charakteristik der ebenen Kollineation verschieden von dem Charakteristikwert der räumlichen Kollineation.

Die zentrische Kollineation räumlicher Systeme hat insbesondere für die Technik eine Bedeutung, wenn das Kollineationszentrum und der Körper, dessen zentrisch-kollineare Verwandte bestimmt werden soll, auf verschiedenen Seiten der Kollineationsebene liegen. Denkt man sich dann das Zentrum ersetzt durch das Auge des Beschauers, so erblickt dasselbe in der zentrisch-kollinearen Verwandten des Körpers eine räumliche Abbildung desselben, also gewissermaßen ein Modell oder ein Relief des Körpers. Diesen besonderen Fall der räumlichen Zentralkollineation bezeichnet man als Reliefperspektive, im Gegensatz zu der gewöhnlichen Linearperspektive, bei welcher ein Körper zentral in die Bildebene projiziert wird.

Bei der Reliefperspektive entspricht dem ganzen, hinter der Bildebene liegenden Räume, Originalraum, der zwischen Bild- und Fluchtebene gelegene Raum als Bildraum. Die Darstellungen der Reliefperspektive erfolgen durch Grund- und Aufriß. – So ist in Fig. 27 das[263] Relief eines Würfels im Grund- und Aufriß wiedergegeben. Die Charakteristik

beträgt ein Drittel. Die Kollineationsebene fällt mit der vertikalen Projektionsebene zusammen. – Der Reliefpunkt eines Punktes a bestimmt sich im Grundriß mittels der beiden Geraden a₁ o₁ und a₁', q₀; der Aufriß a₂'' liegt auf a₂ o₂ und auf der Projizierenden durch a₁''.

Literatur: Bezüglich der eigentlichen Zentralprojektion s. Literatur über darstellende Geometrie. Werke über Zentralperspektive sind: Schreiber, G., Malerische Perspektive, Karlsruhe 1854; Tilscher, System der Perspektive, Prag 1867; Peschka und Koulny, Freie Perspektive, Hannover 1868; Hauck, G., Die subjektive Perspektive, Stuttgart 1879; für die Reliefperspektive sind bemerkenswert: Poudra, Traité de perspective relief, Paris 1862; Staudigel, Grundzüge der Reliefperspektive, Wien 1868; Burmester, Grundzüge der Reliefperspektive, Leipzig 1883; Berger, G., Die Lehre der Perspektive, Leipzig 1898; Conz, G., Lehrbuch der Perspektive, Stuttgart 1902; Delabar, Die Polar- und Parallelperspektive, Freiburg 1905; Dietzel, Die Elemente der Perspektive, Leipzig 1902; Vonderlinn, Perspektive, Leipzig 1908; Seeberger, G., Prinzipien der Perspektive und deren Anwendung, 8. Aufl., München 1905; Weishaupt, H., Axonometrie und Perspektive, Leipzig 1903; Döhlemann, K., Projektile Geometrie, Leipzig 1903; Geyger, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Leipzig 1906; Müller, R., Leitfaden der darstellenden Geometrie, Braunschweig 1903, Schlotke, Perspektive, 2. Aufl., Leipzig 1902; Haußner, Darstellende Geometrie, 3 Bde., Leipzig 1902.

Vonderlinn.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3.

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