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Bogen [3]

[144] Bogen (Bogenfachwerke). Graphische Berechnung.

Zur graphischen Berechnung von Bogenträgern verwendet man in neuerer Zeit meistens Einflußlinien (s.d.). Wenn die vorgeschriebene Verkehrslast wie bei Eisenbahnbrücken aus einer Reihe von Einzellasten besteht, ist die Anwendung von Einflußlinien kaum zu umgehen. Aber auch bei Straßenbrücken und zur Behandlung des Eigengewichtes erweist sich dieses Verfahren seiner Uebersichtlichkeit wegen als vorteilhaft, wenn es auch nicht immer das kürzeste ist.

1. Bogen mit drei Gelenken. Für jede Belastung des Bogens muß die Drucklinie durch die drei Gelenke ABC (Fig. 1) gehen. Für eine Einzellast P ist somit AEB die Drucklinie. Zerlegt man P parallel zu AE und BE in zwei Seitenkräfte, so erhält man die beiden Auflagerdrücke R und Rr (Fig. 1, rechts). Die wagerechte Seitenkraft H der Auflagerdrücke ist der Horizontalschub der Drucklinie. Aus geometrischen Gründen verhält sich H:P = x:AK, somit H = Px:AK. Der Horizontalschub ist daher der Entfernung der Last vom benachbarten Auflager proportional, und die Einflußlinie für H ist ein Dreieck A₁ C₁ B₁ dessen Höhe sich gleich Pl/4f ergibt. Wandert die Last P über die ganze Spannweite, so beschreibt E die aus zwei Geraden begehende Kämpferdrucklinie KCK'. – Der Einfluß des Eigengewichtes auf sämtliche Stäbe wird dadurch gefunden, daß man mit Hilfe der Fläche A₁C₁B₁ den Horizontalschub für Eigengewicht bestimmt und hierauf einen Cremonaschen Kräfteplan zeichnet. – Um die von der zufälligen Last herrührenden Stabkräfte zu finden, zeichnet man für jeden Stab die Einflußfläche.

Man subtrahiert zu diesem Zwecke den Einfluß des Horizontalschubs H von demjenigen der lotrechten Kräfte A, P und B. Ersterer wird durch das Dreieck A₁C₁B₁ (Fig. 2) dargestellt, letzterer für den Stab 5 durch ein Dreieck A₁D₁B₁, dessen Spitze lotrecht unter dem Drehpunkte D (s.d.) des Stabes liegt. (Vgl. Einflußlinie für einen einfachen Balken.) Das überschlagene Viereck A₁C₁B₁D₁ stellt somit die Einflußfläche für den Stab 5 dar. Trägt man die Ordinaten dieser Fläche von einer wagerechten Linie aus auf, so bekommt man das Viereck A'B'C'D'. Um dieses Viereck zu zeichnen, bestimmt man die Kräfte C'C'' und A'A''. Erstere tritt im Stabe auf, wenn P über dem Gelenke steht. Um sie zu finden, zerlegt man P parallel zu AC und BC in zwei Seitenkräfte R und R' und zeichnet, von R ausgehend (Fig. 2 unten), einen Cremonaschen Kräfteplan. Als P wird die am meisten vorkommende Einzellast gewählt. (Der Deutlichkeit zulieb ist dieser Plan in vierfacher Größe gezeichnet worden.) Die Kräfte A'A'' entstehen, wenn man P im Auflager A als lotrechte Kraft angreifen läßt. Das führt zu einem zweiten Cremonaschen Plane. Kennt man die Kräfte C'C'' und A'A'' für irgend einen Stab, so läßt sich dessen Einflußfläche leicht zeichnen. Als Probe dient, daß der Punkt E, in welchem die Kämpferdrucklinie von AD geschnitten wird, lotrecht über dem Nullpunkte E' der Einflußfläche liegen muß (vgl. Belastungsgrenze). – Fig. 3 zeigt die Einflußfläche für die Strebe ST (Stab 5, 6 in Fig. 2). A₁C₁B₁ stellt den Einfluß des Horizontalschubs, A₁S₁ T₁B₁ den Einfluß der lotrechten Kräfte dar. A₁S₁ und B₁T₁ schneiden sich lotrecht unter D. Auf eine wagerechte Linie übertragen ergibt sich das Fünfeck A'S'T'C'B'. Die Strecken C'C'' und A'A'' werden den beiden Cremonaschen Plänen der Fig. 2 entnommen;[144] A'S' und C'T' schneiden sich lotrecht unter D. Als Probe dient, daß der Punkt E, in dem die Kämpferdrucklinie von AD getroffen wird, lotrecht über E' liegen muß.

2. Bogen mit zwei Gelenken sind einfach statisch unbestimmt und verlangen zu ihrer Berechnung die Zuhilfenahme der elastischen Formänderungen. Man berechnet (Fig. 4) für jeden Stab die Größe ? w = sy:EFa² (F = Querschnittsfläche des Stabes, E= Elastizitätsmodul), betrachtet diese Größen als Gewichte, die in den Drehpunkten D der Stäbe angreifen, trägt sie in beliebigem Maßstabe auf und setzt sie, indem man sie erst lotrecht, dann wagerecht wirken läßt, durch zwei Seilpolygone (s.d.) A₁ B₁ und A' B' zusammen gerade so, als ob man deren Schwerpunkt M bestimmen wollte. (Die von den Streben herrührenden Gewichte können in der Regel vernachlässigt werden.) Das erste Seilpolygon wird ganz gezeichnet; die Polweite h wird gleich w, gleich der Summe aller Δw genommen. Das zweite Seilpolygon wird bei symmetrischer Anordnung bloß zur Hälfte gezeichnet, und zwar mit einem beliebig gewählten Pole O'. Seine Seiten stehen senkrecht auf den Strahlen aus O'. Es empfiehlt sich, die Ordinate m der wagerechten Schwerlinie auch rechnerisch zu bestimmen nach der Formel m = Σ (Δw · y) : w.

Für die Einzellast P ist nun der Horizontalschub H = Pz:m. Das Seilpolygon A₁ B₁ ist nämlich die Durchbiegungslinie für eine in A wagerecht angreifende Kraft P, und zwar sind die Durchbiegungen gleich Phz. Denn der Formänderungswinkel (s.d.) für einen einzelnen Stab ist gleich Ms:EFa² = Pys:EFa² = P·Δw und die Biegungslinie (s.d.) wird erhalten, wenn man die Formänderungswinkel als lotrechte Kräfte ansieht und durch ein Seilpolygon zusammensetzt. Nach dem Gesetze von der Gegenseitigkeit der Formänderungen ist die Durchbiegung z auch gleich der wagerechten Verschiebung der Punkte A und B, die eintritt, wenn P als lotrechte Last wirkt. Diese Verschiebung muß der Horizontalschub H rückgängig machen. Der Formänderungswinkel für H ist Hys:EFa² = H Δw, und die wagerechte Verschiebung der Auflagerpunkte gleich H · Δw · y oder für sämtliche Stäbe gleich Hwm. Macht man noch h = w, so folgt H = Pz:m. Die lotrechte Seitenkraft von R ist A = Pb:l. Es verhält sich somit H: A = [(P z)/m]: [(P b)/l] = [(z l)/b]: m = (A₁ A₂): m. Zieht man (Fig. 4) A₂ F₁ unter 45° und lotet F₁ hinauf nach F, so ist hiernach AFE die Richtung des linksseitigen und BE die des rechtsseitigen Auflagerdruckes. Bestimmt man E für verschiedene Laststellungen, so findet man die Kämpferdrucklinie KK'. – Der Einfluß des Eigengewichtes auf sämtliche Stäbe wird am einfachsten dadurch bestimmt, daß man die z für sämtliche Pfosten[145] mit dem Zirkel summiert, daraus den Horizontalschub H = [PΣ(z)]/m berechnet und einen Cremonaschen Kräfteplan (s.d.) zeichnet. (P = Eigengewichtslast pro Pfosten.) – Der Einfluß der zufälligen Last wird mittels Einflußlinien bestimmt.

Für den Stab 5 (Fig. 5) findet man die Einflußfläche, indem man den Drehpunkt D desselben mit A verbindet, den Schnittpunkt F mit der m-Linie nach F₁ herunterlotet, A₁ A₂ gleich A₁F₁ macht und die Linien A₂B₁ und A₁D₁ zieht. Der Einfluß des Horizontalschubes wird nämlich durch die Ordinaten des Seilpolygons A₁B₁ dargestellt, der Einfluß der lotrechten Kräfte durch ein Dreieck, dessen Spitze unter D liegt. Die Höhe dieses Dreiecks muß so bestimmt werden, daß der Nullpunkt E₁, der Einflußfläche mit derjenigen Last zusammenfällt, die keinen Einfluß auf den Stab ausübt. Dies ist der Fall, denn einer über E₁ stehenden Last entspricht nach früher ein Auflagerdruck von der Richtung AE, und da dieser durch D geht, wird die Stabkraft gleich Null. – Mittels der Einflußfläche findet man die Ordinatensumme Σ (z) für die ungünstigsten Belastungen. Bestimmt man hiernach eine Kraft H = PΣ(z):m und läßt diese in A wagerecht angreifen, so bekommt man durch Zerlegung nach dem Schnittverfahren die gesuchte Stabkraft S₅. Einfacher jedoch ist es, statt dessen die Kraft P (die am häufigsten vorkommende Einzellast) in A wagerecht angreifen zu lassen und dafür einen Cremonaschen Plan zu zeichnen (Fig. 5, unten). Nennt man die Kräfte dieses Planes K, so ist die gesuchte Stabkraft S₅ = K₅Σ(z):m. Fig. 6 zeigt die Einflußfläche für die Strebe ST (Stab 3, 4 in Fig. 5) mit dem Drehpunkte D. Man zieht AD, lotet den Schnittpunkt mit der m-Linie nach F₁ herunter, macht A₁A = A₁F₁ und zieht A₂ B₂, lotet hierauf die Punkte D, S und T herunter und zieht A₁ D₁ und S₁ T₁. Als Probe dient, daß E₁ lotrecht unter E liegt. Hat man für die beiden ungünstigsten Laststellungen die Ordinatensummen Σ (z) gefunden, so ist wiederum die gesuchte Stabkraft S_3.4 = K_3.4Σ(z):m.

Einfluß der Temperaturänderungen: Steigt die Temperatur um t° und ist α der Ausdehnungskoeffizient des Eisens, so verlängert sich die Bogensehne, wenn freie Bewegung möglich ist, um αtl. Dieser Ausdehnung wirkt in der Richtung AB die Temperaturkraft T entgegen. Sie verkürzt die Bogensehne nach früher um die Strecke Twm. Durch Gleichsetzen ergibt sich T = αtl:wm. Die Stabkräfte sind alsdann (s. Fig. 5) S_t = T·K:P.

3. Bogen ohne Gelenke sind, einfachen Strebenzug vorausgesetzt, dreifach statisch unbestimmt. Zu ihrer statischen Berechnung verwendet man am besten die Sätze von den Elastizitätsellipsen (s.d.). Man berechnet für jeden Stab die Größe Δg = s: E F a², betrachtet diese Größen als Gewichte, die in den Drehpunkten D der Stäbe angreifen, trägt sie in beliebigem Maßstabe auf und setzt sie, indem man sie erst lotrecht, dann wagerecht wirken läßt, durch zwei Seilpolygone zusammen, als ob man deren Schwerpunkt S bestimmen wollte.[146] (Die von den Streben herrührenden Gewichte können in der Regel vernachlässigt werden.) Das erste Seilpolygon wird ganz gezeichnet, die Polweite h₁ wird am bellen gleich g, gleich der Summe aller Δg gemacht (Fig. 7). Das zweite Seilpolygon wird bei symmetrischer Anordnung bloß zur Hälfte gezeichnet; Polweite h₂ beliebig. Hierauf betrachtet man die Abschnitte der Seilpolygonseiten auf den Schwerlinien wieder als Kräfte und setzt sie durch drei weitere Seilpolygone, zusammen, als ob man die Trägheitsmomente und das Zentrifugalmoment der Δg bestimmen wollte. Die Polweiten c₁ und c₂ sind beliebig. Das 4. Seilpolygon wird nur zur Hälfte gezeichnet. Sind t₁ und t₂ die Gesamtabschnitte im 3. und 4. Seilpolygon, so ergeben sich die Halbachsen der Elastizitätsellipse des Bogens

(Die Ellipse ist in Fig. 8 gezeichnet.)

Man denkt sich nun das Bogenauflager B fest, das Auflager A dagegen frei schwebend und den Punkt S durch einen starren Stab mit A verbunden. Dann erleidet der Punkt S unter dem Einflusse einer Einzellast P eine Drehung δ, eine vertikale Verschiebung v und eine horizontale Verschiebung h. Nach der Theorie der elastischen Gewichte ist δ gleich der Kraft P mal dem auf die Kraftrichtung bezogenen statischen Momente der in Betracht fallenden Gewichte Δg, d.h. δ = Ph₁ z. Ferner ist v gleich P mal dem auf die Verschiebungs- und auf die Kraftrichtung bezogenen Zentrifugalmomente der Gewichte Δg, d.h. v = Ph₁ c₁ z₁. Ebenso wird h = Ph₂c₂z₂. Diese Bewegungen muß der Auflagerdruck R rückgängig machen. Zerlegt man R in zwei durch S gehende Kräfte V und H und eine unendlich ferne, unendlich kleine Kraft (ein Kräftepaar) vom Momente M, so bewirkt nach der Theorie der Elastizitätsellipse M eine Drehung des Punktes S von der Größe δ = Mg, V eine vertikale Verschiebung des Punktes S von der Größe v = Vgi₁² und H eine horizontale Verschiebung von der Größe h = Hgi₂². Setzt man die Werte δ, v und h einander gleich und berücksichtigt obige Ausdrücke für i₁ und i₂, sowie die Annahme h₁ = g, so folgt M = Pz, V = Pz₁ : t₁, H = Pz₂ : t₂. Mit andern Worten: Die Seilpolygone 1, 3 und 5 bilden mit ihren rechtsseitigen Endtangenten die Einflußflächen für M, V und H. Wählt man statt der rechtsseitigen die linksseitigen Endtangenten, so bekommt man die Einflußflächen für die Seitenkräfte M', V' und H' des Auflagerdruckes R'. Es ist M' = Pz', V' = Pz₁' : t₁, H' = H.

Die wagerechte Schwerlinie werde von den Auflagerdrücken in U und U' geschnitten. Dann ist U S = u = M/V = (z t₁)/z₁ und U' S = u' = (z' t₁)/z₁'. Trägt man z und z' vom Trennungspunkte der Strecken z₁ und z₁' aus wagerecht auf, so ergeben zwei (im Seilpolygon A₃B₃, Fig. 7, punktierte) Verbindungslinien die Strecken u und u'. Macht man ferner P = t₁, so wird V = z₁, V' = z₁' und H = (t₁z₂)/t₂. Letztere Größe wird gefunden, wenn man (Fig. 7, unten links) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten t₁ und t₂ zeichnet und durch den oberen Endpunkt von z₂ eine Parallele zur Hypotenuse zieht. Lotet man den Endpunkt von H hinauf nach O und verbindet O mit den Endpunkten von z₁ und z₁', so bekommt man Richtung und Größe der beiden Auflagerdrücke. Zwei dazu parallele Linien durch U und U' geben die Lage derselben. – Bei wandernder Last beschreibt E die Kämpferdrucklinie (s.d.), und die Linien UE und U'E umhüllen zwei Kurven, die man die Umhüllungslinien des Bogens nennt. Wenn man durch den Drehpunkt eines Stabes Tangenten an die Umhüllungslinien zieht und sie bis zur Kämpferdrucklinie verlängert, so findet man die Belastungsgrenzen des Stabes. – Um den Einfluß des Eigengewichts zu bestimmen, summiert man die Ordinaten z und z₂ für sämtliche Pfosten; dann sind, wenn P die Eigengewichtslast pro Pfosten bedeutet, die Seitenkräfte des Auflagerdrucks M = P Σ (z), V = ¹/₂ Σ (P) und H = PΣ(z₂):t₂. Mit Hilfe dieser Werte läßt sich die Strecke US = M/V berechnen, der Auflagerdruck nach Größe, Lage und Richtung auftragen und ein Cremonascher Kräfteplan zeichnen. – Um den Einfluß der zufälligen Lasten zu bestimmen, muß man für jeden Stab eine besondere Einflußfläche zeichnen.

Zu diesem Zwecke zerlegt man die am häufigsten vorkommende Einzellast P (bei Straßenbrücken die Pfostenkraft) für jeden Pfosten in ihre beiden Auflagerdrücke und zeichnet für jeden Pfosten einen Cremonaschen Plan. Mit Hilfe der einzelnen Kräfte dieser Pläne lassen sich dann leicht die Einflußflächen für sämtliche Stäbe auftragen. – Ein andres Verfahren zum Zeichnen der Einflußlinien stützt sich auf den Satz von der Gegenseitigkeit der Formänderungen. Man bestimmt für den Drehpunkt des betreffenden Stabes die Antipolare hinsichtlich der Elastizitätsellipse des Bogens, denkt sich in dieser eine Kraft Eins wirkend und zeichnet dazu die Biegungslinie des Bogens, wobei man an beiden Auflagern in wagerechter Richtung beginnt und die beiden Zweige fortsetzt, bis sie lotrecht unter dem Drehpunkte in einer scharfen Ecke zusammenstoßen. Um die Biegungslinie als Seilpolygon zu zeichnen, trägt man die Entfernungen r der Antipolaren von den Drehpunkten der Stäbe als Kräfte auf und wählt die Größen gr_s:Δg (r_s = Entfernung der Antipolaren von S) als Polweiten. Die Ordinaten dieser Einflußlinie stellen, mit P multipliziert, das Drehpunktsmoment für den Stab dar. In Fig. 8 ist auf diese Weise die Einflußlinie für den Stab T gezeichnet worden. Der Deutlichkeit zuliebe sind die Ordinaten in vierfacher Größe aufgetragen.[147]

Wenn die Zahl der Stäbe groß ist, so wird das Zeichnen von Einflußlinien sehr umständlich. Ist die zufällige Last gleichförmig verteilt (Straßenbrücken), so empfiehlt es sich in diesem Falle, die Auflagerdrücke für die Pfostenkräfte durch ein Kräfte- und Seilpolygon zusammenzusetzen, mit Hilfe von Kämpferdruck- und Umhüllungslinien die Belastungsgrenzen aufzusuchen, daraus die entsprechenden Auflagerdrücke zu ermitteln und hierauf die Stabkräfte nach dem Schnittverfahren zu bestimmen.

Einfluß der Temperaturänderungen. Hält man das rechte Auflager fest, so verschiebt sich das linke wagerecht um αtl. Um diese Bewegung rückgängig zu machen, muß man eine durch S gehende wagerechte Kraft T anbringen. (Vgl. Elastizitätsellipse.) Diese Kraft verschiebt das Bogenende um die Strecke Tgi₂², woraus durch Gleichsetzung folgt: T = αtl:gi₂² = αtl:h₂c₂t₂. Ist T der Größe nach berechnet, so führt ein Cremonascher Kräfteplan zu den einzelnen Stabkräften.

Literatur: Fränkel, Civiling. 1867, S. 57; Schäffer, Zeitschr. f. Bauw. 1875, S. 381; Culmann, Graph. Statik, 2. Aufl., 4. Abschn., Zürich 1875; Steiner, Allgem. Bauztg. 1878, S. 21; Ritter, W., Der elastische Bogen, Zürich 1886; Müller-Breslau, Graph. Statik der Baukonstr., Bd. 1, 3. Aufl., 7. und 11. Abschn., Leipzig 1901, und 2 Bd., 2. Abschn., Leipzig 1892.

(Ritter) Roth.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5., Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8.