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Torsionselastizität

[575] Torsionselastizität, die Elastizität (s.d.) bei der Beanspruchung fester Körper auf Torsion (s.d.).

Ein prismatischer Stab sei an einem Endquerschnitt derart festgehalten (Fig. 1), daß die Flächenelemente des letzteren keine Drehung um die Achse vornehmen können, während die Mantelfläche von äußeren Kräften frei ist. In den Elementen des andern Endquerschnitts wirkt lediglich ein Kräftepaar M um die Stabachse. Hierdurch wird eine Drehung des Endquerschnitts und der andern Querschnitte gegen den Einspannungsquerschnitt entstehen (Fig. 1), deren Winkel wir für einen Querschnitt in Entfernung z von der Einspannungsstelle durch φ und speziell für z = 1 durch ϑ bezeichnen. Das der Torsion entgegenwirkende Moment, welches im Zustand des Gleichgewichts gleich M ist, wird Torsionsmoment genannt, während ϑ der Torsionswinkel heißt. Es handelt sich darum, eine Beziehung zwischen M und φ, ϑ, sowie die Beanspruchungen des Stabmaterials unter den gewöhnlichen Voraussetzungen der Elastizitätslehre (Bd. 3, S. 389, 392) fürs Gleichgewicht nach so kleinen Verdrehungen abzuleiten, daß sin φ = φ cos φ = 1 gesetzt werden dürfen. Im folgenden mögen G den konstant vorausgesetzten Schubelastizitätsmodul (Bd. 3, S. 393, 395; Bd. 7, S. 819) des isotropen Stabmaterials, F den Stabquerschnitt und J dessen polares Trägheitsmoment in Hinsicht seines Schwerpunkts bedeuten, φ, ϑ aber in Bogenmaß ausgedrückt werden (Gradzahl mal π/180). Die resultierende Beanspruchung pro Flächeneinheit eines Querschnittselements soll durch τ und ihr größter Wert im Querschnitt durch max τ bezeichnet sein, sie bedeuten stets Schub [17], S. 175.

a) Kreisquerschnitt, Kreisringquerschnitt. Für diese wichtigsten Fälle hat schon Coulomb das Problem gelöst [1]. Er fand die Verdrehungswinkel:

und die Spannungen in beliebiger Entfernung r sowie in der größten Entfernung R von der Stabachse in jedem Querschnitt:

Speziell für den Kreisquerschnitt vom Radius R (Fig. 2) hat man:

und für den Kreisringquerschnitt vom äußeren Radius R und inneren Radius R_i (Fig. 3):

[575] Ueber Stäbe mit veränderlichem Kreisquerschnitt (Wellen u.s.w.) s. [26], [27], V, S. 177, und [29].

b) Beliebige Querschnitte. Die Gleichungen 1., 2. ergeben sich unter der Voraussetzung, daß die Querschnitte bei der Verdrehung eben bleiben, für beliebige prismatische Stäbe [1], [17], S. 176. Sie wurden auch früher als allgemein giltig angenommen, bis Saint-Venant nachwies, daß jene Voraussetzung im Widerspruche mit den allgemeinen Elastizitätsgleichungen isotroper fester Körper steht, und auf Grund dieser Gleichungen (Bd. 3, S. 389) eine neue Lösung gab [2], [4]. Nach derselben erleiden die Querschnittselemente neben Drehungen φ um die Stabachse auch Verrückungen ζ parallel derselben. Die φ sind proportional z, die ζ hängen nicht von z, sondern nur von der Querschnittsform und den Lagen der in Frage kommenden Querschnittselemente gegen die Stabachse ab, so daß für jeden Querschnitt hinsichtlich eines rechtwinkligen Koordinatensystems durch den Einspannungsquerschnitt mit der Stabachse als z-Achse gesetzt werden können:

φ = ϑ z, ζ = f(x, y).

5.

Für diese Funktion f ergibt sich die allgemeine Bedingung:

und speziell an der Oberfläche, wenn (n x), (ny) die Winkel beliebiger Normalen n zur Mantelfläche mit den Richtungen x, y bezeichnen:

Ist hiernach f(x, y) bestimmt, so folgen für ein bei x, y, z gelegenes beliebig geformtes Querschnittselement d F (Fig. 4) die Spannungskomponenten in den Richtungen x, y:

und die resultierende Spannung (Beanspruchung pro Flächeneinheit) im fraglichen Querschnittselement wie in einem Flächenelement senkrecht zu demselben:

Dies ist zugleich die größte Spannung, welche für beliebig gerichtete Flächenelemente bei x, y, z vorkommt, da sich die Hauptspannungen (s.d.) gleich + τ, – τ, und 0 ergeben. Das Torsionsmoment läßt sich ausdrücken:

M = ∫(x Yz – y Xz) d F,

10.

wobei die Integration auf den ganzen Querschnitt zu erstrecken ist. Ableitungen vorstehender Gleichungen s. [4], S. 237, [16], S. 178. Auf diesen beruhen u.a. die folgenden Lösungen:

c) Elliptischer Querschnitt [4], S. 274, [17], S. 180. Bezeichen a, b die größere und kleinere Halbachse der Ellipse, so ergeben sich der Torsionswinkel und die größte Spannung, welche am meisten interessieren:

max τ tritt an den Enden der kleinen Achse ein, während es nach der älteren Formel 2. an den Enden der großen Achse liegen sollte (dem größten Abstand r von der Stabachse entsprechend). Für ein beliebiges Querschnittselement bei x, y hat man, wenn die Koordinatenachsen x, y mit den Halbachsen a, b zusammenfallen:

und speziell für ein beliebiges Querschnittselement am Rande

woraus max τ für x = 0 folgt, während an den Enden der großen Achse mit x = a:

τ = 2 M/π b a² = 2 G ϑ a b²/a² + b².

14.

Die Form der Querschnitte nach der Verdrehung ist bestimmt durch

ζ = – = x y a² – b²/a² + b²,

15.

wonach für x = 0 und für y = 0, d.h. in beiden Ellipsenachsen, ζ = 0. Fig. 5 gibt nach Saint-Venant ein Bild der Verdrehung, der Deutlichkeit halber in vergrößertem Maße (die Annahmen sin φ = φ, cos φ = 1 würden für so große Verdrehungen nicht mehr zulässig sein), während in Fig. 6 verschiedene Linien gleicher ζ angedeutet sind, wobei ausgezogene Linien positiven ζ, punktierte Linien negativen £ entsprechen. Für a = b = r gehen alle Formeln in die oben für den Kreis gegebenen über. Bezüglich des elliptischen Ringquerschnitts s. [4], S. 368, 371.

d) Dreieckquerschnitt [4], S. 283, [17], S. 182. Bezeichnen für ein gleichseitiges Dreieck a die Seitenlänge, h = a/2 √3 die Höhe, so sind die Torsionswinkel und die größte Spannung:

[576] max τ tritt in den Mitten der Seiten ein, während es nach der älteren Formel 2. an den Enden derselben liegen sollte. Für ein beliebiges Querschnittselement bei x, y hat man, wenn die Koordinatenachsen wie in Fig. 7 gelegt werden und r die Entfernung vom Schwerpunkt bedeutet (r² = x² + y²):

und speziell für ein beliebiges Querschnittselement am Rande:

woraus max τ für r = h/3 = a/2√3 folgt, während sich an den Enden der Seiten mit r = 2 h/3 ergibt τ = 0. Die Form des Querschnitts nach der Verdrehung ist bestimmt durch:

so daß für y = 0 und damit für alle Elemente in den drei Symmetrieachsen des Querschnitts ζ = 0 m. In Fig. 8 sind wieder Linien gleicher C angedeutet, wobei ausgezogene Linien positiven ζ, punktierte Linien negativen Z entsprechen. Bezüglich des dreieckigen Ringquerschnitts s. [4] S. 368.

e) Rechtecksquerschnitt [4] S. 291, [17] S. 184. Bezeichnen b und h die kürzere und längere der beiden Seiten (Fig. 9), so folgen der Torsionswinkel und die größte Spannung, welche in den Mitten der Längsseiten eintritt,

ϑ = (m M)/(G h b³) max τ = m n M/(h b²) = n G ϑ b,

20.

worin m, n auf Grund der Beziehungen unter b genau nur durch transzendente Funktionen darstellbar sind. Man erhält danach

während man häufig nach Grashof [7] S. 140 zu allgemein gesetzt findet:

max τ = 4,5 M/(h b²),

21.

also in 20. m n = 4,5. Die Verrückungen ζ und damit die schließliche Form des Querschnitts sind ebenfalls durch transzendente Funktionen bestimmt. Für die Symmetrieachsen des Querschnitts, also für Achsen durch den Schwerpunkt parallel den Seiten, und beim Quadrat auch in den Richtungen der Diagonalen hat man ζ = 0. Fig. 10 und 11 geben nach Saint-Venant je ein Bild der Verdrehung für quadratische und rechteckige Stäbe in vergrößertem Maße, während in Fig. 12 und 13 Linien gleicher ζ dargestellt sind, wobei wieder ausgezogene Linien positiven ζ, punktierte Linien negativen t entsprechen. Bezüglich des rechteckigen Ringquerschnittes s. [4], S. 368.

f) Weitere Querschnitte. Saint-Venant hat die Lösung der Gleichungen 5. bis 10. noch für eine Reihe andrer Querschnitte gegeben (Kreissektoren, Ringquerschnitte, krummlinig begrenzte Querschnitte u.s.w.) [4], S. 302, 305, 364, 368, [6], [16], S. 216, 217, 221, 240 u.s.w und auch Fälle anisotropen Materials berücksichtigt [4], S. 345, 358, [16], S. 220. Setzt man für isotropes Material

ϑ = k M J/G F⁴, M = G ϑ F⁴/k J,

22.

so gelten für den Kreis- und Ellipsenquerschnitt k = 4 π² = 39,5, für das Quadrat k = 42,7, für Rechtecke der Seitenverhältnisse h : b = 2, 4, 8 bezw. k = 42,0, 40,2, 38,5, für Kreissektoren der Zentriwinkel 45, 90, 180° bezw. k = 42,9, 42,4, 40,8, dagegen für das gleichseitige Dreieck k = 45. Saint-Venant schloß daraus, daß für die meisten Querschnitte in 22. mit genügender Genauigkeit k = 40 gesetzt werden könne [10], S. 142, [16], S. 219, doch ist zu beachten, daß dies nicht[577] ohne Nachweis im einzelnen Falle gilt und beispielsweise für Hohlzylinder zu sehr unrichtigen Ergebnissen führen kann [24], S. 349. Bezüglich der größten Beanspruchungen s. [4], S. 356, [16], S. 220. Dieselben treten auch in andern als den obenerwähnten Fällen, z.B. bei regulären Vielecken, an derjenigen Stelle des Randes auf, welche der Stabachse am nächsten liegt. Herrmann fand durch eine genügende Näherungsrechnung für das reguläre Sechseck von der Seitenlänge a (Fig. 14):

wonach in 21. k = 41,07 wäre. Für eine Reihe von Querschnitten läßt sich ausdrücken:

max τ = α c M/Θ,

24.

worin c die kleinste Entfernung des Randes vom Schwerpunkt, Θ das kleinste Trägheitsmoment für Achsen durch den letzteren, a eine Konstante, wonach in diesen Fällen unter den Voraussetzungen der Theorie max T mit wachsendem Θ : c abnimmt, also die Widerstandsfähigkeit mit zunehmendem Θ : c wächst (vgl. Torsionsfestigkeit). Man hat beispielsweise für den Kreis, Kreisring und die Ellipse α = m n/6, für das gleichzeitige Dreieck α = 5/2√3, für beliebige Rechtecke α = m n/6 für das reguläre Sechseck α = 0,6812.

g) Versuche. Schon die älteren Versuche haben die Saint-Venantsche Theorie im allgemeinen bestätigt [4], S. 617. Zwar füllten nach letzterer die Spannungen auf die Endquerschnitte in gleicher Weise verteilt sein wie auf alle übrigen Querschnitte (vgl. unter b), doch zeigt sich, daß die Abweichungen hiervon bei bestimmtem M nur in der Nähe der Endquerschnitte von erheblichem Einfluß sind (vgl. den analogen Fall beim Saint-Venantschen Problem, Bd. 7, S. 556), wo bei Versuchen meist mit Hohlkehle anschließende Verstärkungen der Stäbe stattfinden. Bei scharfen Absätzen fand Wöhler die Widerstandsfähigkeit bedeutend geringer (Zeitschr. f. Bauwesen 1870, S. 95, vgl. [26]). Zu beachten ist, daß sich durch Erschwerungen der Verrückungen ζ an den Endquerschnitten die Torsionsverhältnisse daselbst den von der älteren Theorie angenommenen nähern (ζ = 0), und daneben neue Spannungen auftreten. Bauschinger hat die Theorie durch Messung der Torsionswinkel ϑ = φ : l verschiedener Gußeisenstäbe von l = 1 m Länge zu kontrollieren gesucht [12], bei welchen allerdings die Voraussetzung konstanter Elastizitätsmoduln E, G für Zug (oder Druck) und Schub nicht erfüllt ist. Entsprechen ϑ₁ dem Kreise vom Inhalt F, ϑ₂ der Ellipse vom Inhalt F und Achsenverhältnis 1 : 2, ϑ₃ dem Quadrat vom Inhalt F, ϑ₄ und ϑ₅ Rechtecken von den Inhalten F und F/2 bei Achsenverhältnissen 1 : 2 und 1 : 4, so sollten nach den theoretischen Gleichungen 3., 11., 20. bei gleichem M die Beziehungen bestehen:

ϑ₁ : ϑ₂ : ϑ₃ : ϑ₄ : ϑ₅ = 1 : 1,25 : 1,13 : 1,40 : 9,1,

und nach 21. mit k = 40 annähernd:

ϑ₁ : ϑ₂ : ϑ₃ : ϑ₄ : ϑ₅ = 1 : 1,25 : 1,05 : 1,31 : 8,9,

während Bauschinger für je zwei Stäbe im Mittel fand [12], S. 122:

ϑ₁ : ϑ₂ : ϑ₃ : ϑ₄ : ϑ₅ = 1 : 1,245 : 1,196 : 1,472 : 9,65.

Das Verhältnis G : E zeigte sich unabhängig von der Querschnittsform [12], S. 126. Für Stäbe kreisförmigen Querschnitts vom Durchmesser a sollen nach 3., 20. die ϑ bei gleichem Material und gleichem M im Verhältnis 1 : 0,698 stehen. Bauschinger erhielt für derartige Wellen von l = 0,66 m, a = 0,10 m aus Siemens-Martin-Stahl 6 verschiedener Härtegrade, aus Bessemerstahl 5 verschiedener Härtegrade, aus Feinkorneisen und sehnigem Eisen Werte zwischen 0,650 und 0,747, im Mittel 0,696, [12], S. 124. Bei Versuchen von Voigt mit rechteckigen Glasstäbchen von h : b = 1 bis 11 und verschiedenen Längen ergaben sich die ϑ in guter Uebereinstimmung mit 20. ([13], S. 509, 513).

Das Verhältnis G : E ist nach der Theorie für Eisen und Stahl zwischen 0,38 und 0,40 zu erwarten (Bd. 3, S. 395). Bei Versuchen auf Torsion und Zug erhielt Wöhler für Kruppsches Gußstahlblech 0,39, Bauschinger für Neuberger Siemens-Martin-Stahl 0,38–0,42, im Mittel 0,40 (je 10 Versuche, [9], S. 83), für Teschener Bessemerstahl 0,38 (je 2 Versuche, [9], S. 85), und für den auch in den Art. Biegungselastizität, Druckelastizität, Schubfestigkeit, Zugelastizität erwähnten Ternitzer Bessemerstahl von verschiedenem Kohlenstoffgehalt die in nebenstehender Tabelle angeführten Werte [9], S. 83. Die Elastizitätsgrenzen (s.d.) sind beigesetzt, absolut und im Verhältnis zu den entsprechenden Werten für Zug (s. Zugelastizität), die Elastizitätsgrenzen wurden jedoch damals von Bauschinger noch etwas über der Proportionalitätsgrenze angenommen. Mit dem Ueberschreiten der letzteren treten für Schweißeisen und Flußeisen ähnliche Verhältnisse wie im gleichen Falle bei Zug, Druck und Biegung ein (Bd. 2, S. 4; Bd. 3, S. 116, 396). Vgl. Torsionsfestigkeit und [5], [8].

[578] Literatur: [1] Coulomb, Recherches théoriques et expérimentales sur la force de torsion et sur l'élasticité des fils de métal etc., Histoire de l'Acad. des sciences 1784, Mémoires S. 229. – [2] de Saint-Venant, Mémoires sur la torsion des prismes, avec des considérations sur leur flexion ainsi que sur l'équilibre intérieur des solides élastiques en général, et des formules pratiques pour le calcul de leur résistance à divers efforts s'exercant simultanément, Mémoires des savants étrangers 1855, XIV, S. 233–560 (insbesondere S. 323–528). – [3] de Saint-Venant, Etablissement élémentaire des formules de la torsion des prismes élastiques, Compt. rend. 1858, XLVI, S. 34. – [4] Navier, Resumé des leçons etc. sur l'application de la mécanique, avec des notes et des appendices de Saint-Venant, Paris 1864 (Auszug und teilweise Ergänzung von [2]). – [5] Tresca, Etude sur la torsion prolongée an delà de la limité de l'élasticité, Compt. rend. 1871, LXXIII, S. 1104. – [6] de Saint-Venant, Sur la torsion des prismes à base mixtilique etc., Compt. rend. 1878, LXXXVII, S. 849, 893. – [7] Grashof, Theorie der Elastizität und Fertigkeit, Berlin 1878, S. 133, 247, 394. – [8] Wiedemann, Ueber die Torsion, Wiedemanns Annalen 1879, VI, S. 485 (Drähte). – [9] Bauschinger, Ueber die Querkonstruktion und Dilatation bei der Längsausdehnung und Zusammendrückung prismatischer Körper, Civilingenieur 1879, S. 81. – [10] de Saint-Venant, Sur une formule donnant approximativement le moment de torsion, Compt. rend. 1879, LXXXVIII, S. 142. – [11] Castigliano, Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques etc., Turin 1879, S. 81 (deutsch von Hauff, Wien 1886, S. 75). – [12] Bauschinger, Experimentelle Prüfung der neueren Formeln für die Torsion prismatischer Körper, Civilingenieur 1881, S. 115. – [13] Voigt, Ueber das Verhältnis der Querkontraktion zur Längsdilatation für Stäbe aus isotropem Glas, Wiedemanns Annalen 1882, XV, S. 497. – [14] Herrmann, Die Torsionsspannung regelmäßiger Vielecke, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1883, S. 189. – [15] Thomson and Tait, Treatise on Natural Philosophie, II, Cambridge 1883, S. 236 (deutsch von Helmholtz und Wertheim, Braunschweig 1874, S. 222). – [16] Clebsch, Théorie de l'élasticité des corps solides, avec des notes entendues de Saint-Venant, Paris 1883, S. 210. – [17] Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, A. 69–73 (auch A. 24, 36, 68, 81). – [18] Kowalski, Elastizität und Fertigkeit des Glases, Wiedemanns Annalen 1890, XXXIX, S. 155. – [19] Bredt, Kritische Bemerkungen zur Drehungsfestigkeit, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1896, S. 785, 813, 943. – [20] Schulz, Beitrag zur Torsionsfestigkeit, Zeitschr. f. Architektur u. Ingenieurwesen 1899, S. 201, 569. – [21] Prandtl, Eine neue Darstellung der Torsionsspannungen bei prismatischen Stäben von beliebigem Querschnitt, Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 1904, XIII, S. 31. – [22] Henneberg, Zur Torsionsfestigkeit, Zeitschr. f. Math. u. Physik 1904, LI, S. 225, 242. – [23] Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904, S. 334, 540. – [24] Bach, Elastizität und Fertigkeit, Berlin 1905, S. 302. – [25] Landolt-Börnsteins Physikalisch-chemische Tabellen, Berlin 1905, S. 43 (Torsionsmoduln). – [26] Föppl, Ueber die Torsion von runden Stäben mit veränderlichem Durchmesser, Sitzungsber. d. math.-phys. Klasse d. bayr. Akad. d. Wissenschaften 1905, S. 249, 504 (r. a. Zeitrchr. d. Ver. deutsch. Ing. 1906, S. 1032 und [27], V, S. 177). – [27] Föppl, Vorlesungen über Technische Mechanik, III, Festigkeitslehre, Leipzig 1905, S. 384; V, Die wichtigsten Lehren der höheren Elastizitätslehre, Leipzig 1907, S. 145. – [28] Love, Lehrbuch der Elastizität, deutsch von Timpe, Leipzig und Berlin 1907, S. 360. – [29] Willers, Die Torsion eines Rotationskörpers um seine Achse, Zeitrchr. f. Math. u. Physik 1907, LV, S. 225 (Wellen veränderlichen Querschnitts). – [30] Goetzke, Zur Theorie der Torsion rechteckig-prismatischer Stäbe, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1909, S. 935. – S.a. Torsionsarbeit, Torsionsfestigkeit und Torsionsschwingungen.

Weyrauch.