Online-Bibliothek

Prismatoid

[354] Prismatoid (griech., »einem Prisma ähnlich«, Trapezoidalkörper), ein zur Klasse der Polyeder gehöriger Körper, den man erhält, wenn man in zwei parallelen Ebenen zwei geradlinige Polygone von gleich vielen Seiten (die Grund- und die Deckfläche) derart annimmt, daß die Seiten des einen den entsprechenden Seiten des andern parallel sind, und dann jede Ecke des einen Polygons mit der entsprechenden[354] Ecke des andern durch eine Gerade verbindet. Als Seitenflächen des Prismatoids erhält man so im allgemeinen Trapeze, wie in Fig. 1, wo die Fünfecke ABCDE und A'B'C'D'E' Grund- und Deckfläche sind (AB parallel A'B', B C parallel B'C' etc.) und ABB'A', BCC'B' etc. die Seitenflächen.

Prismatoide.

Es ist aber auch zulässig, daß in der Deckfläche die Seite, die einer gewissen Seite der Grundfläche entspricht, scheinbar ganz fehlt, weil sie die Länge Null hat, wie in Fig. 2, wo die beiden Ecken A'B' der Deckfläche, die den Ecken AB der Grundfläche entsprechen sollten, in den Punkt A' zusammengefallen sind; die entsprechende Seitenfläche ist dann ein Dreieck ABA'. Sind die beiden Grundflächen einander ähnlich, kommt also zum Parallelismus der Seiten noch die Gleichheit der Verhältnisse zwischen den Seiten, so schneiden sich bei gehöriger Verlängerung die Kanten AA', BB', CC' etc. (Fig. 1) in einem Punkte; das P. ist dann eine abgestumpfte Pyramide (s. Pyramide). Da zwei Dreiecke, deren Seiten paarweise parallel sind, immer ähnlich sind, so ist ein dreiseitiges P. stets eine abgestumpfte Pyramide. Sind die Grundflächen Rechtecke, so nennt man das P. ein Ponton. Denkt man sich in zwei parallelen Ebenen ein Paar Polygone, z. B. ein Paar Fünfecke, wie in Fig. 1, deren entsprechende Seiten aber nicht parallel gehen, verbindet dann die entsprechenden Punkte A und A', B und B' etc. durch Gerade, so hat man das Kantensystem eines Prismoids. Auch hier kann einer Seite des einen Polygons ein Punkt im andern entsprechen. Die Seitenflächen dieses Körpers sind im allgemeinen windschiefe Vierecke, die man sich auf die Weise erzeugt denken kann, daß man eine gerade Linie etwa aus der Lage AB (Fig. 1) allmählich in die Lage A'B' überführt, wobei sie beständig an den beiden Kanten AA' und BB' hingleitet und zu den beiden Grundflächen parallel bleibt. Die Berechnung des Inhalts erfolgt beim P. und Prismoid nach derselben Regel: man addiert Grund- und Deckfläche, addiert zur Summe den vierfachen Inhalt G' desjenigen Querschnitts des Körpers, der gerade in der Mitte zwischen beiden Grundflächen, parallel zu ihnen, liegt, und multipliziert darauf mit dem sechsten Teil der Höhe, d. h. des senkrechten Abstandes der Grundflächen. Vgl. Wittstein, Das P. (Hannov. 1860).