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Bernoullische Zahlen und Funktionen

[709] Bernoullische Zahlen und Funktionen. Die Bernoullischen Zahlen B_1, B₂, B₃, B₄, ... (früher bezeichnete man sie mit B_1, B₃, B_5, B₇, ..., während man B₂, B_4, B₆, ... gleich Null annahm) sind gewisse positive rationale Brüche, die bei zahlreichen Reihenentwicklungen auftreten (Beispiele s. Goniometrie,[709] Hyperbelfunktionen und Reihen). Sie werden von der vierten an immer größer, und zwar nehmen sie zuletzt schneller zu als die Glieder einer jeden wachsenden geometrischen Reihe.

Es ist z.B. B₁ = 1/6, B₂ = 1/30, B₃ = 1/42, B₄ = 1/30, B₅ = 5/66, B₆ = 691/2730. Die Werte der 32 ersten Bernoullischen Zahlen findet man auf der letzten Seite von [2]. – Die nte Bernoullische Funktion, φ(x, n), ist eine gewisse ganze rationale Funktion nten Grades von x, nämlich:

wobei die rechte Seite mit dem die Potenz x² oder x enthaltenden Gliede abschließt. – Weitere Eigenschaften und Literatur in [3].

Literatur: [1] Schlömilch, O, Kompendium der höheren Analysis, Bd. 2, 3. Aufl., Braunschweig 1879. – [2] Saalschütz, L., Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, Berlin 1893. –,[3] Encyklopädie der mathem. Wissensch., Bd. 2, I, Leipzig 1900, S. 181 ff.

Mehmke.