[646] Bernoullische Zahlen (Bernoullische Reihen), die Coefficienten des letzten Gliedes in den Formeln für die Summen der geraden Potenzen aller natürlichen von 1 bis x. Setzt man statt
12n + 22n + 32n + 42n + ... x2n,
wo n jede positive ganze Zahl sein kann, den Ausdruck S. (x2n), so sind in den Formeln: S.(x2) = 1/3x3 + 1/2x2 + 1/6x; S.(x4) = 1/5x5 + 1/2x4 + 1/3x(3–1/30x); die beiden ersten Bernoullischen Zahlen, 1/6, 1/30. Werden diese B. Z. der Reihe nach mit A, B, C, D, E, ... bezeichnet, so ist A = 1/6; B = 4/1 : 3/2 ∙ 1/6 A2 = 1/30; C = 6/1 : 5/2 ∙ 1/7 ∙ 2 AB = 1/42; D = 8/1 : 7/2 ∙1/9 ∙ 2 AC + 8/1 : 7/2 : 6/3 : 5/4 ∙ 1/5 B2 = 1/30; E = 10/1 : 9/2 ∙ 1/11 ∙ 2 AD + 10/6 : 9/2 : 8/3 : 7/4 ∙ 1/11 2 BC = 5/66; etc. Das Gesetz der Fortschreitung für die folgenden B. Z. läßt sich leichter übersehen, wenn man die Werthe von A, B, C, .... unter einander stellt. Sie haben ihren Namen von Jakob Bernoulli (s.d. 4), ihrem Erfinder, u. sind für die höhere Analysis von großer Wichtigkeit.
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