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Cubirung eines Körpers

[568] Cubirung eines Körpers, das Verfahren, den Inhalt od. das Volumen eines Körpers durch eine Zahl auszudrücken, deren Einheit ein Körper von bekannter od. gegebener Größe ist. Für den praktischen Gebrauch ist diese Einheit gewöhnlich ein Würfel, der eine gegebene Längeneinheit zur Seite hat u. Cubirungseinheit heißt. In der reinen Mathematik bedient man sich dazu oft anderer Körper, die mit den zu cubirenden gewisse Bestimmungsstücke gemeinschaftlich haben, u. sucht ihr Verhältniß zu einander zu bestimmen. So verhält sich die Halbkugel zu dem Cylinder, welcher mit ihr gleiche Grundfläche u. Höhe hat, wie 2:3. Vor Archimedes war nur die Cubatur des Prisma u. der Pyramide bekannt (Cylinder u. Kegel konnte man bis dahin nur unter sich vergleichen); er zeigte zuerst, wie man die Cylinder, den Kegel, die Kugel, das Paraboloid, Hyperboloid u. Ellipsoid, u. von letzteren vier Körpern auch die Abschnitte cubiren könne, indem er sich der Exhaustionsmethode bediente. Kepler nahm diesen Gegenstand wieder vor; er führte den Namen des Unendlichen ein, den zu brauchen die Alten nicht gewagt hatten, u. vereinfachte dadurch das Archimedes'sche Verfahren. So sah er den Kegel als aus unendlich vielen Pyramiden bestehend an, deren Grundflächen mit der Grundfläche des Kegels zusammenfallend, der letzteren zusammengenommen gleich sind u. deren gemeinschaftliche Spitze die des Kegels ist. Er erdachte eine Menge neuer Körper u. lenkte, obwohl er nur einige der schwereren cubirte, doch die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselben. Guldin gab ein allgemeines Verfahren an, Körper zu cubiren, die durch Umdrehung einer durch irgend eine Curve begrenzten Ebene um eine unverrückte Gerade als Achse entstehen, wenn der Flächeninhalt u. der Schwerpunkt dieser Ebene bekannt sind. Es ist nämlich der körperliche Inhalt eines solchen Rotationskörpers gleich dem Product aus der erzeugenden Fläche in die von ihrem Schwerpunkte beschriebene Bahn. Diese, Regel ist auch anwendbar, wenn der Schwerpunkt irgend eine beliebige krummlinige Bahn beschreibt. Cavaleri, jeden körperlichen Raum durch gleichweit von einander abstehende, einander unendlich nahe parallele Ebenen in einander theilend, die er Indivisibilia nennt, lehrte aus dem Verhältnisse, in welchem diese zu- od. abnehmen, das Volumen der Körper zu bestimmen. Er war mit Keplers Werke bekannt u. blieb bei den, durch Umdrehung von Kegelschnitten erzeugten Körpern stehen. Auf eine ähnliche Methode war Roberval gleichzeitig mit jenem gerathen u. hatte dies auch auf mehrere Curven von höheren Graden ausgedehnt, sowie Wallis, Fermat u. And. Durch die Erfindung der Differentialrechnung kam man in den Besitz einfacher u. ganz allgemeiner Methoden zur C. der Körper. Nach ihr ist der cubische [568] Inhalt eines Körpers, dessen Oberfläche durch eine Gleichung z = f (x, y) zwischen den rechtwinkeligen Coordinaten x, y, z ausgedrückt ist,

wobei x₀ u. x die beiden äußersten der Fläche zukommenden Abscissen u. y₀ u. y die zur Ascisse x gehörigen Ordinaten bedeutet. Beispiele hierfür findet man in den Lehrbüchern der analytischen Geometrie, sowie in vielen Werken über Integralrechnung.