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Gewölbe [2]

[510] Gewölbe (Berechnung). Die Brückengewölbe lind in statischer Hinsicht als Bogenträger zu betrachten, denn sie üben infolge senkrechter Lasten einen Horizontalschub aus. Man hat nach den bisherigen Ausführungen Gewölbe ohne Gelenke und solche mit drei Gelenken zu unterscheiden. (Es existieren auch einige Gewölbe mit zwei Gelenken, die aber nur ganz vereinzelt ausgeführt worden sind und deren Ausführung theoretisch und praktisch keine besonderen Vorteile bietet.)

Die Gewölbe mit drei Gelenken sind seit 1886 in zunehmendem Gebrauch und haben den Vorzug, daß die Spannungen unabhängig sind von Aenderungen der Temperatur und kleinen Verschiebungen der Widerlager bei nicht ganz sicherem Baugrund. Die früher übliche Berechnung dieser Gewölbe mit Hilfe von Stützlinien wird heute nicht mehr als genügend betrachtet, nachdem man die Spannweite und die zulässigen Beanspruchungen gesteigert hat und infolgedessen auf eine genaue Formberechnung des Gewölbes angewiesen ist. Außerdem wurde das Verfahren durch die große Anzahl der zu zeichnenden Stützlinien zeitraubend und wenig übersichtlich.

Handelt es sich bei gegebener Gewölbeform um die Ermittlung der durch eine bewegliche Verkehrsbelastung erzeugten Spannungen, so bedient man sich am besten der Einflußlinien für die Kernpunktsmomente der einzelnen Spannungen. Da die Randspannungen

σ₀ = M_ku/(¹/₆b h²)

und

σ_u = M_ko/(¹/₆b · h²)

sind, so folgt, daß die gesuchten Grenzwerte der Randspannungen mit den Grenzwerten der zugehörigen Kernmomente eintreten. Beim Art. Einflußlinien ist die Konstruktion der Einflußlinien dieser Kernmomente ausführlich gezeigt. In praktischen Fällen erzielt man eine gewisse Vereinfachung, wenn man die beiden Kernpunkte eines Schnittes senkrecht übereinander annimmt, wobei sie also streng genommen zwei benachbarten radialen Querschnitten angehören. Fig. 1 zeigt die beiden zu einem Schnitt gehörigen Einflußlinien der Kernmomente Zur Berechnung der Druckspannung σ₀ kommen nur die + M_ku, und für die Druckspannung σ_u nur die – M_ko in Betracht.

Für die Berechnung der Eigengewichtsbeanspruchungen können die Einflußlinien ebenfalls benutzt werden, auch kann das Einzeichnen der Eigengewichtsstützlinie zweckmäßig sein.

Insbesondere gibt diese an, ob die richtige Gewölbeform vorhanden ist, denn sie soll annähernd mit der Mittellinie des Gewölbes zusammenfallen. Bei großen Gewölben ist es aber nicht möglich, die Stützlinie so genau zu zeichnen, als praktisch wünschenswert ist; z.B. kann im Maßstab 1 : 100 eine Differenz von 0,2 mm der Zeichnung einen Unterschied in der Randspannung von 2–3 kg/qcm ausmachen. Diesem Mangel läßt sich dadurch abhelfen, daß man die Momente infolge Eigenlast rechnerisch ermittelt. Zu diesem Zweck teilt man das Gewölbe samt Aufbau vom Scheitel- bis zum Kämpfergelenk durch lotrechte Schnitte I, II u.s.w. in eine Anzahl Lamellen (Fig. 2), bestimmt deren Gewichte 1, 2, 3 u.s.w. und schreibt vom Scheitel ausgehend die Momente der Lamellengewichte vom Scheitel her in bezug auf die Schnitte an. Ist das Gewölbe symmetrisch, so folgt aus dem letzten Momente in bezug auf das Kämpfergelenk durch Division mit der Pfeilhöhe f der Horizontalschub H, da M_IV – H · f = 0 sein muß. Es ergibt sich dann das Kernmoment für irgend einen Schnitt IV z.B.

M_ko = M_IV – H · y_ko, M_ku = M_IV – H · y_ku.

Bei unsymmetrischem Gewölbe bestimmen sich die unbekannte Horizontalkomponente H des Scheiteldrucks und das Maß c (Fig. 3) aus den beiden Gleichungen

M_VI – H · (f – c) = 0, M_VI – H(f + c) = 0,

und die Kernmomente ergeben sich nach denselben Ausdrücken wie beim symmetrischen Gewölbe, nur sind dann die Ordinaten der Kernpunkte y_ko und y_ku bis zur Linie des Scheiteldrucks zu messen.[510]

In beiden Fällen erhält man die Ordinaten der Stützlinie bei den Schnitten durch Division des betreffenden Lamellenmoments mit dem Horizontalschub H, denn die Drucklinie oder Stützlinie ist die Aufeinanderfolge der Druckmittelpunkte in den Fugen, so daß für einen beliebigen Schnitt IV M_IV – H · y_IV = 0 sein muß, woraus y_IV = M_IV/H folgt.

Auf diese Weise kann die Stützlinie rechnerisch bestimmt werden. Wenn es sich um das Entwerfen eines Brückengewölbes mit drei Gelenken handelt, ist seine Form zum voraus nicht bekannt, sondern diese soll möglichst so bestimmt werden, daß in jedem Querschnitt bei den ungünstigsten Laststellungen sowohl oben als unten die zulässige Beanspruchung ausgenutzt wird. Für jeden Schnitt ist also eine Ordinate y der Bogenmitte und eine Fugenstärke h zu ermitteln, und zwar kann man wie folgt verfahren: Auf Grund einer vorläufigen Annahme werden die Lage der Stützlinie für Eigenlast (Fig. 4) rechnerisch aus den Momentengleichungen für die einzelnen Querschnitte ermittelt und die Kernpunktsmomente infolge Verkehrsbelastung mit Hilfe ihrer Einflußlinien bestimmt. Da es sich nur um Druckspannungen handelt, so kommen für diese Berechnung nur die positiven Momente M_ku und die negativen M_ko von der Verkehrslast herrührend in Betracht, und es ergeben sich, wenn der normale Querschnitt senkrecht zur Drucklinie für Eigengewicht angenommen wird, folgende Gleichungen der Momente für Eigengewicht:

Mit W = 1/6 · b h² ergeben sich für die obere und die untere Randspannung σ folgende Gleichungen:

Die Summe beider Gleichungen ergibt:

eine zur Berechnung der Fugenstärke h dienende quadratische Gleichung, in welche M_ko und M_ku mit ihren Zahlenwerten ohne Vorzeichen einzusetzen sind. Die Differenz beider Gleichungen gibt die Exzentrizität e, um welche die Fugenmitte unter den Druckmittelpunkt für Eigenlast zu legen ist, mit

oder die Exzentrizität im lotrechten Schnitt ist

Die so erhaltene Gewölbeform stellt eine erste Annäherung dar, die durch eine Wiederholung der Rechnung korrigiert werden kann. In den meisten Fällen genügt es, die Berechnung der Drucklinie zu wiederholen und die zuerst ermittelten Größen h und η beizubehalten. Eine zweite Bestimmung von h und η ist nur dann nötig, wenn die ursprünglich angenommene Gewölbeform beträchtlich von der ermittelten abweicht und man eine genaue Uebereinstimmung aller Randspannungen erreichen will. Für die Berechnung der letzteren und die Lamellenmomente benutzbar, die Ordinaten der Kernpunkte im vertikalen Schnitt sind y_ko = y + η – h/6 · cos α bezw. y_ku =y + η + h/6 · cos α Die Berechnung der kleinsten Randspannungen ist angezeigt bei sehr leichtem Aufbau, wie er seit Einführung des Eisenbetons häufig angewendet wird, da hier leicht Zugspannungen im Gewölbe auftreten können. Die Methode der Einflußlinien gestattet ebensogut eine gleichmäßig verteilte Verkehrsbelastung (Menschengedränge) zu berücksichtigen, wie eine solche aus konzentrierten Lallen (Radlastzüge).

Die Gewölbe ohne Gelenke sind in statischer Hinsicht eingespannte Bogenträger und dreifach statisch unbestimmt. Die Spannungsverteilung in den Querschnitten oder die Lage der Drucklinie (s.d.) ist also abhängig von der Elastizität und Zusammendrückbarkeit der Steine und des Mörtels, ferner von der Nachgiebigkeit des Fundamentgrundes und des Lehrgerüstes während der Herstellung. Nachdem die neueren Versuche eine befriedigende Elastizität der Steinmaterialien und des Betons innerhalb der in Betracht kommenden Spannungsintervalle ergeben haben, nachdem ferner zu wichtigeren Gewölben ausschließlich Zementmörtel verwendet wird, der wie die übrigen Materialien nur elastische Zusammendrückungen erfährt, und nachdem man imstande ist, durch entsprechende Gewölbeherstellung den Einfluß unbeabsichtigter Gerüstsenkungen unschädlich zu machen, ist man immer mehr dazu übergegangen, bedeutendere Gewölbe nach der Theorie der eingespannten Bogen mit Berücksichtigung der elastischen Formänderungen[511] zu berechnen. Selbst die Verschiebungen und Zusammendrückungen der Widerlager haben bei Einschalten provisorischer Gelenke keinen Einfluß auf die Spannungen im Bogen. Von wesentlicher Förderung für die genaue Rechnungsweise waren auch die Versuche des Gewölbeausschusses des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins mit Bruchstein-, Ziegel-, Beton- und Eisenbetongewölben, deren Verhalten eine gute Uebereinstimmung mit der Rechnung zeigte. Wir unterscheiden demnach zwischen einer älteren oder Stützlinienmethode und der neueren Berechnung auf Grund der Elastizitätstheorie.

1. Die ältere oder Stützlinienmethode behilft sich mit verschiedenen Drucklinien (s.d.) auf Grund ungünstiger Annahmen und wird bei kleineren Gewölben für Brücken und Durchlässe und für die Gewölbe des Hochbaues noch immer verwendet, da sie weniger zeitraubend ist als, die genaue Methode und genügend sichere Anhaltspunkte über die Stabilität gibt. Man unterscheidet dabei Maximal- und Minimalstützlinien, d.h. solche mit größtem bezw. kleinstem Horizontalschub, und stellt die Forderung, daß beide innerhalb des Kerns verlaufen. Alsdann geht die Minimalstützlinie durch den oberen Kernpunkt des Scheitels und durch die unteren der Bruchfugen, die Maximalstützlinie ist im Scheitel durch den unteren, in den Bruchfugen durch den oberen Kernpunkt zu legen. Als Bruchfuge bezeichnet man dabei diejenige Fuge, bei der eine durch den oberen Rand der Scheitelfuge gelegte Stützlinie die innere Gewölbelaibung berührt bezw. ihr am nächsten kommt, d.h. ihr parallel läuft. Bei flachgesprengten Gewölben treten die Kämpferfugen an die Stelle der Bruchfugen, dagegen liegen die Bruchfugen bei halbkreisförmigen Gewölben unter einem Zentriwinkel α vom Scheitel weg, der 55–60° beträgt. Nach dieser älteren Methode wählt man nach Annahme der Gewölbeabmessungen zur Untersuchung der Standsicherheit folgende Stützlinien (Drucklinien):

a) Stützlinie für ständige Last, durch die Mitten der Scheitel- und Bruchfugen gehend; sie ist hauptsächlich maßgebend für die Gewölbeform.

b) Minimalstützlinie für Vollbelastung, im Scheitel durch das obere, in den Bruchfugen durch das untere Drittel gehend.

c) Stützlinie für einseitige Verkehrsbelastung, entweder als Minimalstützlinie oder besser und in Anpassung an die Ergebnisse der genauen Theorie im Scheitel durch die Mitte, auf der belasteten Seite durch den unteren, auf der unbelasteten durch den oberen Kernpunkt der Bruchfuge bezw. des Kämpfers gehend. Das Gewölbe wird dann als stabil angesehen, wenn diese Stützlinien nicht aus dem Kern heraustreten und gleichzeitig die größte im Gewölbe auftretende Prellung nicht zu groß wird. Es ist oft nötig für den Belastungszustand beim Ausrüsten, wenn Aufbau bezw. Hinterfüllung unvollendet sind, eine statische Untersuchung anzustellen, und zwar wird hier eine Minimalstützlinie am Platze sein.

In Fig. 5 ist die Stützlinie eines Betondurchlasses mit verlorenen Widerlagern für ständige und symmetrische Belastung gezeichnet, und zwar ist zunächst das Gewölbe samt Auffüllung in lotrechte Streifen eingeteilt. Als äußere Kräfte wirken an einem Gewölbestücke: dessen Eigengewicht, das Gewicht des darüber befindlichen Erdstreifens und vom Seitendruck der Erde der auf die Vertikalprojektion der Rückenfläche entfallende Betrag. Dieser ergibt sich am einfachsten aus dem die spezifischen Erddrücke auf eine vertikale Ebene darstellenden Dreieck als der Inhalt der trapezförmigen Flächen, deren Höhe der Seitenprojektion der Rückenfläche des betreffenden Gewölbestückes entspricht. Die Gewichte der Erd- und Gewölbelamellen werden am besten ausgerechnet, da man es dann in der Hand hat, auch radiale Fugen statt vertikaler einzuführen. Die früher üblich gewesene Belastungslinie bietet keinen besonderen Vorteil und ist bei den modernen Aufbauten mit Pfeilern und Hohlräumen nicht mehr am Platze. Mit Hilfe eines Kräftepolygons werden jedesmal die drei Kräfte zu einer Resultierenden zusammengesetzt, so daß die Stützlinie nach Annahme eines gewissen Horizontalschubs als ein Seilpolygon leicht eingezeichnet werden kann. Will man haben, daß die Stützlinie durch einen bestimmten Punkt B in einer gewissen Fuge gehen soll, so ist zunächst versuchsweise ein Seilpolygon zu zeichnen, das die Resultierende der äußeren Kräfte vom Scheitel her bis zur betreffenden Fuge liefert; durch den Schnittpunkt von H mit dieser Resultierenden muß auch der von B ausgehende Fugendruck gehen. Zieht man daher den diesem Fugendruck entsprechenden parallelen Strahl im Kräftepolygon, so erhält man den richtigen Pol O₂, mit welchem die Stützlinie dann durch den Punkt B gehen muß (vgl. Seilpolygon; dort ist auch die Aufgabe, eine Stützlinie durch drei Punkte zu legen, behandelt).

Soll man das Bauwerk auch auf halbseitige zufällige Last berechnen, so werden Kräftepolygone und Drucklinie unsymmetrisch (Fig. 6). Die Bruchfugen B, A und B' verschieben sich in diesem Falle nach der belasteten Seite hin. Die Drucklinie ist so eingezeichnet, daß sie in der Fuge A durch das äußere, in den Fugen B und B' durch das innere Drittel der Gewölbedicke geht. Da die Lage der Bruchfugen nicht von vornherein bekannt ist, so kann den gestellten Bedingungen im allgemeinen nur durch mehrmaliges Probieren und Korrigieren entsprochen[512] werden. Ob die Gefahr vorliegt, daß eine Steinschicht über die andre hinweggleitet, läßt sich aus dem Winkel α beurteilen, den die Drucklinie mit den Lagerfugen des Mauerwerks einschließt. Ist φ der Reibungswinkel zwischen Stein und Stein, so ist die Gleitgefahr ausgeschlossen, solange α > 90 – φ. Als Reibungswinkel wird je nach der Rauhigkeit der Lagerflächen 15–25° angenommen. Da die Drucklinie im Widerlager sehr flach verläuft, so ist man, um ein Gleiten zu verhüten, genötigt, die Lagerflächen hier geneigt auszuführen (Fig. 7) oder Sperrsteine anzubringen (Fig. 8).

Die Spannungen, die im Mauerwerk und im Fundament auftreten, finden sich nach der Festigkeitslehre auf einfache Weise. Ist d₀ die Gewölbestärke im Scheitel, so ist die Spannung, wenn H im Drittel, also im Kernpunkte angreift, gleich 2H : d₀. Ebenso findet man die Spannung in der Bruchfuge gleich 2S : d. Um die Spannung im Fundament zu berechnen, wendet man am bellen die Kernformel an. Ist k der linksseitige Kernpunkt und r der Hebelarm von R hinsichtlich K, so ist die Spannung an der rechten Kante gleich 6R r : c². Vertauscht man K mit K', so erhält man die Spannung an der linken Kante. Fällt der Angriffspunkt von R außerhalb der Strecke K K' (Fig. 9), so verteilt sich R nicht über die ganze Fundamentfläche, und die Spannung berechnet sich nach der Formel σ = 2V : 3x, worin V gleich der lotrechten Komponente von R ist. Es empfiehlt sich der Uebersichtlichkeit wegen, die Größe und Verteilung der Spannungen durch schraffierte Dreiecke und Trapeze darzustellen (Fig. 5 und 6). Als zulässige Spannungen nimmt man bei Mauerwerk gewöhnlich den zehnten Teil der Druckfestigkeit des betreffenden Steines an, also je nach der Steinsorte 80 bis 300t : m². Als zulässiger Fundamentdruck wird bei gutem Boden 30 bis 40, bei sehr gutem 50 bis 60 t : m² angenommen.

2. Berechnung der Gewölbe als eingespannte elastische Bogen. Es handle sich zunächst unreinen symmetrischen Bogen A B (Fig. 10); denken wir uns das linke Auflager bei A weggenommen, so entsteht ein bei B eingespannter, frei ausladender Balken. Soll an der Spannungsverteilung nichts geändert werden, dann müssen im linken Kämpferquerschnitt bei A die Reaktionen H, V und M angebracht werden, die vor Wegnahme des Widerlagers dort gewirkt haben. Die Deformationsgleichungen ergeben sich nun wesentlich einfacher, wenn wir die drei Reaktionen H, V und M an einem gewissen Punkt O angreifen lassen, der dann in starrer Verbindung mit dem linken Kämpferquerschnitt zu denken ist. Wenn der Kämpferquerschnitt seine Lage nicht ändern soll, dann muß auch der Punkt O in Ruhe bleiben, und der Kämpferquerschnitt darf keine Drehbewegung um ihn ausführen. Die Verschiebungen des Kämpferquerschnitts sind bedingt durch die Deformationen der einzelnen Bogenelemente. Mit Vernachlässigung der Querkraft Q_x, deren Einfluß bei Bogen immer vernachlässigt werden kann, und mit Verwendung der für den geraden Stab gültigen Biegungsformeln ergeben sich infolge der Deformation durch das Moment M_x und die Normalkraft N_x in jedem Querschnitte mit Rücksicht auf Fig. 10 und das dort angedeutete Koordinatensystem die folgenden Bedingungsgleichungen:

1. Verschiebung des Punktes O im Sinne der x-Achse. Die Spannweitevergrößerung infolge der Deformation eines Elementes ist d l = d γ · y – Δ d s. cos φ. Hierbei ist d γ = M_x/E J · d s, Δ d s = N_x · d s/E F; also ergibt sich für den ganzen Bogen mit Berücksichtigung einer Wärmezunahme um τ⁰

wo α den Temperaturausdehnungskoeffizienten bedeutet.

2. Verschiebung des Punktes O im Sinne der y-Achse.

3. Drehung des Kämpferquerschnitts um den Punkt O

Bezeichnet man mit M₀ das Moment der äußeren Kräfte P links vom Schnitt x in bezug auf dessen Schwerpunkt oder das Biegungsmoment, das dort im Falle des rechts eingespannten, links frei ausladenden Balkens vorhanden ist, dann ergibt sich für M_x der Ausdruck

M_x = M₀ + M – H · y – V · x.

[513] Für N_x · cos φ kann ohne praktische Fehler der Horizontalschub H gesetzt werden, weil der Einfluß der Deformation durch die Normalkräfte bei großem Pfeilverhältnis überhaupt zurücktritt und erst bei kleinem-Pfeilverhältnis oder flachen Bogen an Bedeutung gewinnt, bei diesen aber mit H verwechselt werden darf. Da unten für die ständige Last eine exakte Berechnung angegeben wird, so gilt diese Vereinfachung nur für die Verkehrslast. Aus dem gleichen Grunde wird N_x · sin φ vernachlässigt. Setzt man die Werte für M_x und N_x · cos φ in die obigen drei Gleichungen ein und wählt man die Lage des Punkts O so, daß

wird, so enthält jede Gleichung nur eine der unbekannten Reaktionen, und wenn man sich die d s Bogenachse mit (elastischen) Gewichten d w = d s/J behaftet denkt, so erhält man:

und das Koordinatensystem ist dann so zu wählen, daß 1. der Ursprung O mit dem Schwerpunkt des mit den Gewichten d w behafteten Bogens zusammenfällt, 2. die Achsen der x und der y so liegen, daß das Zentrifugalmoment der Gewichte d w = 0 ist. Beim vorausgesetzten symmetrischen Bogen ist die letztere Bedingung ohne weiteres erfüllt, wenn die y-Achse mit der Symmetrieachse zusammenfällt und die x-Achse senkrecht auf ihr steht. Hat man es nur mit wenigen bestimmten Belastungsfallen zu tun, so kann man nach diesen Formeln die Berechnung durchführen. Die Integrale können bei beliebiger Bogenform nicht aufgelöst werden und sind näherungsweise zu bestimmen. Zu diesem Zweck kann man entweder den Bogen in eine gerade Anzahl gleicher Teile einteilen, für die Teilpunkte die Werte unter dem Integralzeichen[514] ausrechnen und sie nach der Simpsonschen Regel addieren. Oder man teilt in beliebige Teile ein von der Länge s, wobei die Angriffspunkte konzentrierter Lasten mit Teilpunkten zusammenfallen, rechnet dann die Gewichte w = s/J für die Mitten der Teile aus und addiert dann einfach die Produkte M₀ · w · y, M₀ · w · x, w · y², w · x² u.s.w., wobei sich dann alle Größen auf die Mitten der Bogenstücke beziehen. Bezeichnet man die Größen w · y mit w_y; w · x mit w_x, dann erhalten wir die Gleichung

wobei vorausgesetzt ist, daß die Integrale nach der zweiten Methode ausgerechnet werden. Handelt es sich bei vertikaler Belastung um die Ermittlung der Einflußlinien der Größen H, V und M, so ist nur eine einzige Last P = 1 mit der Abszisse a am Bogen zu denken (Fig. 11). Alsdann ist für alle Bogenquerschnitte, deren

x > a das Moment M₀ = 0,

x < a das Moment M₀ = –1 (a – x);

somit werden für diesen Belastungsfall die Summen

d.h. gleich den statischen Momenten der Gewichte w_y, w_x und w rechts der Last P = 1 in bezug auf die Wirkungsgerade derselben. Will man also die Einflußlinien vollständig erhalten, so hat man, von rechts beginnend, der Einzellast P = 1 eine Reihe von Angriffspunkten zu geben, die am besten mit den Teilpunkten der Bogenstücke s zusammenfallen, und jedesmal die Momente aller Gewichte w_y, w_x, w rechts vom Angriffspunkte in bezug auf diesen zu berechnen. Die Momente sind dann noch durch die Nenner der entsprechenden Ausdrücke für H, V und M zu dividieren. Die Einflußlinien lassen sich auch vollständig graphisch ermitteln: Die graphische Ermittlung des Schwerpunkts O der elastischen Gewichte w bedarf keiner Erläuterung, ihr dient in Fig. 11 das Kräftepolygon 1 und das Seilpolygon 1'. Da die Summe der statischen Momente paralleler Kräfte in bezug auf eine ihnen parallele Gerade gleich ist dem zwischen die beiden letzten Seilpolygonseiten hineinfallenden Stück der Geraden, multipliziert mit der Polweite, so lassen sich alle vorkommenden Summen, die als statische Momente gedeutet werden können, mit Hilfe von Seilpolygonen darstellen.

Nenner von H. – Um das statische Moment der Gewichte w_y in bezug auf die x-Achse zu finden, wird das Kräftepolygon 2 mit beliebigem Polabstand h_y gezeichnet. Da Σ w_y = Σ w · y für den halben Bogen = 0, so nimmt das zugehörige Seilpolygon für horizontal wirkende w_y die in Fig. 11 mit a bezeichnete Form an. Für den halben Bogen wird die erste und letzte Seite vertikal, für die rechte Hälfte wird ein symmetrisches Polygon erhalten, so daß, wenn die zwischen den beiden Anfangspunkten liegende Strecke mit n_y bezeichnet wird, Σy · w_y = n_y · h_y ist. Hierzu kommt noch die rechnerisch zu ermittelnde Größe Σ s/F.

Nenner von V oder Σx · w_x. Zur Bestimmung dieser Summe der statischen Momente der Gewichte w_x in bezug auf die y-Achse ist in Fig. 11 das Kräftepolygon 3 gezeichnet mit einer Poldistanz h_x, das entsprechende Seilpolygon ist in c dargestellt, und es folgt mit p q = n_x Σ x · w_x = n_x · h_x.

Die Nenner von H und V werden immer positiv, da sie ja = Σ w · y² bezw. Σ w · x² sind.

Zähler von H oder

für eine Einzelbelastung P = 1.

Hierzu ist mit dem Kräftepolygon 4, dessen Polweite wieder h_y ist, das in Fig. 11 ersichtliche Seilpolygon b gezeichnet, alsdann ist das Moment aller Gewichte w_y in bezug auf die Last P = 1 dargestellt durch die unter P liegende Ordinate b, multipliziert mit h_y, und der Horizontalschub wird

Fügt man also zur Strecke n_y noch das rechnerisch zu ermittelnde Stückchen 1/h_y Σ s/F, das den Einfluß der Deformation durch die Normalkräfte vorstellt, hinzu, so ergibt sich der Nenner des letzten Ausdrucks für H, oder man kann das zuletzt gezeichnete Seilpolygon als Einflußlinie des Horizontalschub es H auffassen, wobei die Einheit des Maßstabes der Ordinaten b durch die Strecke n_y + 1/h_y Σ s/F dargestellt ist. n_y ist als eine Länge aufzufassen, ebenso 1/h_y Σ s/F.

Zähler von V oder

für eine Einzelbelastung P = 1.

Aus dem Seilpolygon c in Fig. 11 folgt das Moment aller Gewichte w_x in bezug auf die Wirkungsgerade der Last P = 1 gleich der unter P gelegenen Ordinate b, multipliziert mit h_x; also ist

oder das gezeichnete Seilpolygon kann als Einflußlinie für V betrachtet werden, wobei die Einheit des Maßstabes der Ordinaten durch die Strecke n_x dargestellt ist.

Zähler von M oder

[515] Hierzu ist in Fig. 11 das Kräftepolygon 5 und das Seilpolygon d gezeichnet Die Summe der statischen Momente aller Gewichte w rechts vom Lastangriffspunkt in bezug auf die Wirkungslinie der Last ist dann gleich der zwischen die beiden letzten Seilpolygonseiten fallenden Ordinate b, multipliziert mit der Polweite h; macht man h = Σ w, so ist M = b · Σ w/Σ w = b, d.h. es stellen dann diese Ordinaten, als Längen gemessen, unmittelbar den Einfluß der Last P = 1 zum Moment M vor. Unter dem linken Bogenende wird M = l/2.

Die Berechnung der Einflußordinaten der Kernmomente erfolgt für einen bestimmten Schnitt x y nach der Gleichung

M_k = M₀ + M – H · y_k – V · x,

wo M₀ das Moment der äußeren Kräfte (hier P = 1) links vom Schnitt in bezug auf diesen bedeutet. Die Wahl senkrechter Schnitte (Fig. 12) erleichtert die Arbeit insofern, als dann M₀ und V · x für den oberen und unteren Kernpunkt jeweils gleichgroß sind. Für jeden Kernpunkt bezw. jeden Schnitt erhält man eine Tabelle zur Berechnung der Einflußordinaten der M_k, indem man nacheinander die Last P = 1 alle Lagen von 0 bis l annehmen läßt. Die Werte M, H und V sind aus den entsprechenden Einflußlinien zu entnehmen, und für jede Lage der Last sind die entsprechenden Werte auf der rechten Seite obenstehender Gleichung unter Berücksichtigung des Vorzeichens zu addieren. Da die unendlich kleinen Gewichte d w durch endliche Gewichte w ersetzt werden, erhält man zutreffende Einflußordinaten der gesuchten Reaktionen nur für solche Stellungen der Last P = 1, die mit den Teilpunkten der Bogenstücke s zusammenfallen. Oder die richtigen Einflußlinien sind die den Seilpolygonen einbeschriebenen Kurven, welche die Seiten des Polygons senkrecht unter den Bogenteilpunkten berühren. Die Einflußlinien der Kernpunktsmomente haben im allgemeinen die in Fig. 13 dargestellte Form mit einer positiven und einer negativen Beitragsstrecke.

Für irgendeine Belastung läßt sich auch die Stützlinie zeichnen. Die Resultierende der Kämpferreaktionen ist

M und ihr Abstand r vom Punkt O wird aus r = M/R gefunden. Es lassen sich auch die Abschnitte von R auf den Koordinatenachsen berechnen (Fig. 14) und zwar ist:

Von R ausgehend kann dann der Verlauf der Stützlinie gezeichnet werden.

Beanspruchung durch ständige Last. Die Ermittlung der Eigengewichtsbeanspruchung mit Hilfe der Einflußlinien oder der Stützlinie ist nicht nur zeitraubend, sondern auch ungenau, weil es sich um große Kräfte an kleinen Hebelarmen handelt, deren Darstellung graphisch nicht mehr mit der erwünschten Schärfe möglich ist. Es empfiehlt sich daher, dem Bogen eine solche Form zu geben, daß seine Achse mit einer Stützlinie für die ständige Last zusammenfällt, und die Eigengewichtsbeanspruchungen nach der folgenden einfachen und genauen Methode zu ermitteln. Wir nehmen wieder das linke Auflager weg und bringen im Schwerpunkt des Kämpferquerschnitts die Reaktionen H_s und V_s an, die der mit der Bogenmittellinie zusammenfallenden Stützlinie für die ständige Last entsprechen (Fig. 15). Da der Bogen sich unter Einfluß der Normalkräfte verkürzt, die Spannweite aber unverändert bleiben soll, so können H_s und V_s nicht die richtigen Auflagerkräfte des eingespannten Bogens sein, und wir bringen daher noch im Punkte O, der in starrer Verbindung mit dem linken Kämpferquerschnitt zu denken ist, die Ergänzungskräfte H_e, V_e und M_e an. Setzt man dann in den drei Deformationsgleichungen, welche die Unveränderlichkeit des linken Kämpfers ausdrücken, die Werte

M_x = M_e – H_e · y – V_e · x, n,

N_x = N_s + H_e · cos φ + V_e · sin φ,

wobei N_s = H_s/cos φ ist, ein, so erhält man bei der wieder durch

bestimmten Lage des Koordinatensystems aus der dritten Bedingungsgleichung M_e = 0, aus der zweiten V_e = 0 und aus der ersten

Die Größen

sind für die Einflußlinien ohnedies zu[516] bestimmen. Da H_e als Ergänzungskraft klein ist, kann ohne große Ungenauigkeit das zweite Glied im Nenner, also

gegenüber dem viel größeren ersten Glied vernachlässigt oder gleich dem schon berechneten ∫(d s/F) gesetzt werden. Die Randspannungen infolge ständiger Belastung ergeben sich als Summe der gleichmäßig verteilten Druckspannungen von der mit der Achse zusammenfallenden Stützlinie und der von H_e erzeugten Biegungsbeanspruchung, und zwar wird

Will man den Verlauf der tatsächlichen Stützlinie zeichnen, so hat man die Kräfte der mittleren Stützlinie mit der Ergänzungskraft H_e zu kombinieren; beide Stützlinien durchschneiden sich auf der x-Achse, auf der auch alle Schnittpunkte entsprechender Seiten der beiden Polygone liegen. R_s und H_e ergeben die tatsächliche Kämpferreaktion R (Fig. 16).

Je kleiner das Pfeilverhältnis eines Bogens ist, um so kleiner wird Σw · y² oder der Nenner des Ausdruckes für H_e, um so mehr wird also die tatsächliche Stützlinie von der mittleren im Scheitel und im Kämpfer abweichen. Die Abweichung wird schon vom Pfeilverhältnis ¹/₅ ab von Einfluß. Durch Verwendung provisorischer Gelenke, die erst ausgegossen werden, wenn die Deformationen durch die Normalkräfte sich vollzogen haben, kann erreicht werden, daß die Eigengewichtsstützlinie mit der Bogenmittellinie zusammenfällt, also H_e = 0 wird.

Die vorausgesetzte Stützlinienform des Gewölbes wird am einfachsten durch Versuchsrechnungen festgestellt, und zwar wird die Form zunächst beliebig (als Kreisbogen) angenommen und für die dadurch festgelegte Belastung die Ordinaten der Stützlinie eingerechnet. Dadurch erhält man eine verbesserte Bogenform und eine etwas veränderte Belastung, die bei der Wiederholung der Rechnung zugrunde gelegt wird. Diese liefert meist schon ein brauchbares Resultat. Eine direkte mathematische Bestimmung der Stützlinienform ist bei den meist angewendeten Spandrillräumen und Entlastungsbogen im Aufbau nicht möglich.

Einfluß der Temperaturänderung. Aendert sich die Temperatur des Gewölbes gegenüber seiner Herstellungstemperatur um τ⁰, dann ergibt sich als einzige hiervon herrührende Auflagerkraft nach den früher aufgestellten Gleichungen

Diese Kraft wirkt also in der Höhe der x-Achse und ist in fester Verbindung mit dem Kämpferquerschnitt zu denken (Fig. 17). Die davon herrührenden Randspannungen folgen aus den Kernmomenten der Kraft H_τ, die um so größer wird, je größer J ist.

Den unsymmetrischen Bogen beziehen wir nach Fig. 18 auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem, dessen y-Achse vertikal und dessen x-Achse unter einem gewissen Winkel β geneigt ist. Wie beim symmetrischen Bogen bringen wir die drei Reaktionen H, V und M an dem in fester Verbindung mit dem linken Kämpferquerschnitt zu denkenden Punkte 0 an, und zwar wirke H in der Richtung der x-Achse, V in der Richtung der y-Achse. Die Achspunkte des Bogens werden mit ihren lotrechten Abständen x und y von den Achsen eingeführt. Es ergeben sich wieder die drei Bedingungsgleichungen, die aus der unveränderten Lage des linken Kämpferquerschnitts folgen.

Verschiebung des Punktes O im Sinne der x-Achse

Verschiebung des Punktes O im Sinne der y-Achse

Drehung um den Punkt O

Hierbei bedeuten l_x und l_y die Projektionen der Kämpferentfernung A B auf beide Achsen.

Für M_x setzen wir wieder M_x = M₀ + M – H · y – V · x und näherungsweise N_x cos φ = H und N_x · sin (φ – β) = 0; alsdann ergeben sich, wenn das Koordinatensystem wieder so gewählt wird, daß die[517]

die statisch unbestimmten Auflagerkräfte zu

Der Uebergang zu den Einflußlinien ergibt sich genau so, wie es für den symmetrischen Bogen gezeigt wurde, auch werden die entsprechenden Seilpolygone in gleicher Weise konstruiert. Nur bei der Σ y · w_y ergibt sich ein Unterschied insofern, als die elastischen Gewichte w_y nicht mehr horizontal, sondern parallel der x-Achse wirkend anzunehmen sind; das Stück n_y (Fig. 11) wird dann nicht mehr horizontal, sondern parallel zur x-Achse zwischen den beiden letzten Seilpolygonseiten gemessen.

Der Ursprung O fällt mit dem Schwerpunkt der elastischen Gewichte d w zusammen und die Achsen x und y sind konjugierte Achsen des mit den Gewichten d w behafteten Bogens. Bezeichnet man die Ordinaten der Bogenpunkte in bezug auf die horizontale x₁-Achse mit y₁, so ist (Fig. 19)

und

woraus

Da die Summe des Nenners ohnedies zu berechnen ist, hat man also zur Ermittlung des Winkels β noch das statische Moment der Gewichte w_x in bezug auf die horizontale x₁-Achse auszurechnen.

Bei gleichhohen Kämpfern, aber unsymmetrischer Bogenform wird V_τ = 0, und der Temperaturschub

wirkt in der x-Achse, die um den Winkel β gegen die Horizontale geneigt ist.

Die für den symmetrischen Bogen empfohlene Berechnung der Eigengewichtsbeanspruchungen ist auch bei unsymmetrischer Form anwendbar, sofern man in den drei Gleichungen die Glieder mit sin (φ – β) vernachlässigt, was ohne großen Fehler geschehen kann. Alsdann ergibt sich für die in der geneigten; x-Achse wirkende Ergänzungskraft H_e derselbe Ausdruck wie beim symmetrischen Bogen. – Die graphische Berechnung von gemauerten Pfeilern s. unter Pfeiler.

Literatur: Gutmann, Graphische Statik, Zürich 1866; Ritter, A., Ingenieur-Mechanik, Hannover 1875; Heinzerling, Brücken der Gegenwart, 2. Abt., Aachen 1875–77; Winkler, Lage der Stützlinie in Gewölben, Deutsche Bauztg. 1879; Foeppl, Theorie der Gewölbe, Leipzig 1880; Durand-Claye, Vérification de la stabilité des voûtes etc., Paris 1880; Müller-Breslau, Elastizitätstheorie der Tonnengewölbe, Zeitschr. für Bauwesen 1886; v. Ott, Vorträge über Baumechanik, 1. Teil, Prag 1888; Landsberg, Die Statik der Hochbaukonstruktionen, Darmstadt 1889; Keck, Vorträge über graphische Statik, Hannover 1894; Bericht des Gewölbeausschusses des Oesterr. Arch.- und Ing.-Ver. 1895; v. Weyrauch, Die elastischen Bogenträger, 2. Aufl., München 1897; Tolkmitt, G., Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken, 2. Aufl., Berlin 1902; Handbuch der Ingenieurwissenschaften, 2. Teil, Bd. 1, 1904; Mörsch, Berechnung von Dreigelenkbögen, Zeitschr. für Arch. und Ingenieurwesen, Heft 2, 1900; Ders., Berechnung von eingespannten Gewölben, Schweiz. Bauztg., Bd. 47, 1906, Nr. 7 u. 8; Ritter, W., Anwendung der graphischen Statik, 4. Teil, Der Bogen, Zürich 1906.

Mörsch.

Fig. 1.

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Fig. 7., Fig. 8.

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Fig. 11.

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Fig. 19.