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Gase [4]

[280] Gase , gasförmige Körper. Bewegung derselben. Die S. 276 sowie unter Dampf, gesättigter, und Dampf, überhitzter, angeführten Beziehungen genügen nicht, wenn es sich um die Bewegung gasförmiger Körper[280] handelt. Im folgenden sollen die entsprechenden Ergänzungen für strömende Bewegungen gegeben werden, wobei jedoch neben den Grundgleichungen nur die wichtigsten Fälle berührt werden können. Als strömende Bewegungen tropfbarer und gasförmiger Flüssigkeiten bezeichnet man solche. Bewegungen, die immer im gleichen Sinne stattfinden, im Gegensatze zu schwingenden Bewegungen, wie wir sie als Wasserwellen, elastische Schwingungen u.s.w. beobachten. Es handelt sich dabei besonders um die Bewegungen jener Körper aus Gefäßmündungen und in ruhenden oder rotierenden Kanälen.

a) Grundgleichungen. Wir setzen die Bewegung hinsichtlich eines beliebigen Koordinatensystems im Beharrungszustande voraus, so daß sich die Verhältnisse nicht mehr mit der Zeit, sondern nur noch mit dem Orte ändern. Abgesehen von dem Einflusse derjenigen Bewegungswiderstände, die gewöhnlich als Reibungswiderstände bezeichnet werden, ist der spezifische Druck (Druck pro Flächeneinheit) für alle durch einen Punkt des gasförmigen Körpers gehenden Flächenelemente gleichgroß (Bd. 3, S. 111, 391). Für ein Massenteilchen vom spezifischen Volumen v (Volumen pro Gewichtseinheit) und der Geschwindigkeit w möge er durch p bezeichnet sein. Bedeuten während einer unendlich kleinen Bewegung des Teilchens d M die Arbeit der Massenkräfte (s. äußere Arbeit), d B die Arbeit zur Ueberwindung der erwähnten Bewegungswiderstände, beide pro Gewichtseinheit, so liefert die Mechanik:

worin

h ist die lebendige Kraft des betrachteten Teilchens pro Gewichtseinheit, wird aber auch dessen Geschwindigkeitshöhe genannt, weil ein Körper, der von der Höhe h frei herabfällt, die Geschwindigkeit w erlangt.

Im folgenden Tollen, soweit nichts Gegenteiliges bemerkt wird, Meter als Längeneinheit, Kilogramm als Gewichtseinheit gelten, so daß v in Kubikmeter pro Kilogramm und p in Kilogramm pro Quadratmeter einzusetzen sind. Wird nun, wie üblich, angenommen, daß die Widerstandsarbeit d B vollständig in Wärme übergeht, die dem betrachteten Körperteilchen verbleibt, und werden diesem außerdem d Q Kalorien (s.d.) Wärme pro Kilogramm von außen zugeführt, so besteht nach der Wärmetheorie die Gleichung:

womit aus 1.:

Hierin bedeuten W = 1/A = 424 das mechanische Wärmeäquivalent (s.d.), U die Eigenenergie (s. Energie) und e die Erzeugungswärme (s.d.) des Teilchens pro Kilogramm. Man hat für Gase der absoluten Temperatur T (Bd. 4, S. 276):

für gesättigte Dämpfe der spezifischen Dampfmenge x (Bd. 2, S. 539):

für überhitzte Dämpfe der Ueberhitzung τ (Bd. 2, S. 544):

doch werden für technische Untersuchungen häufig in allen drei Fällen als genügend genau, angenommen:

In vorstehenden Gleichungen hat man für Gase:

für gesättigte Dämpfe: v = xu + σ, bei Wasserdampf von anfänglich x₁ > 0,7

für überhitzten Wasserdampf:

In vielen Fällen wirkt als einzige Massenkraft die Schwere. Wird dann die y-Achse in die Richtung derselben vertikal abwärts gelegt, so folgt:

Wirkt neben der Schwere die einer Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die y-Achse entsprechende Zentrifugalkraft (Ventilatoren, Dampfturbinen), so hat man in Entfernung x von der Rotationsachse, wo u = ω x die Umdrehungsgeschwindigkeit bedeutet:

Bei Vernachlässigung der Schwere gilt diese Gleichung mit dy = 0 auch für nicht vertikale Rotationsachsen.

Da die Gase und Dämpfe sich nach allen Seiten auszubreiten streben, so ist man in der Aerodynamik weit eher als in der Hydrodynamik berechtigt, die Hypothese der Kontinuität anzuerkennen, wonach während der Bewegung in dem bewegten Körper keine leeren Räume entstehen. Wenn nun zu irgend einer Zeit an beliebiger Stelle durch den dortigen Querschnitt F des Körpers in der Sekunde G kg vom Zustande p, v, T mit der Geschwindigkeit w strömen, so drückt sich das sekundliche Durchflußvolumen daselbst aus:

[281] Diese Beziehung wird gewöhnlich Kontinuitätsgleichung genannt. Sie gilt im allgemeinen nur annäherungsweise, da w und p, v, T nicht für alle Elemente eines Querschnitts gleichgroß zu sein brauchen, so daß man Mittelwerte einzuführen hat.

b) Widerstandskoeffizienten. Die Widerstände gasförmiger wie tropfbarer Flüssigkeiten sind in der Regel durch Erfahrungskoeffizienten zu berücksichtigen. Für irgend eine Strecke s – s₁ = l des Weges eines betrachteten Teilchens liefert 1.:

Wird nun gesetzt:

so heißt ζ der Widerstandskoeffizient, ζ h die Widerstandshöhe für die auf der Strecke f berücksichtigten Widerstände, wonach der Widerstandskoeffizient das Verhältnis der verbrauchten Widerstandsarbeit zur verbleibenden lebendigen Kraft darstellt oder auch das Verhältnis der Widerstandshöhe zur schließlichen Geschwindigkeitshöhe. Bei Berücksichtigung eines einzelnen Widerstandes wird der Widerstandskoeffizient meist auf die Geschwindigkeitshöhe unmittelbar nach Passieren des Widerstandes bezogen. Beispielsweise ermittelte Grashof aus Versuchen von Weisbach mit atmosphärischer Luft für eine rechtwinklige Knieröhre von d = 0,014 m innerem Durchmesser und etwa 3 d Länge der Mittellinie des Kniestücks bei w = 126,7 m ζ = 1,028, bei w = 71,5 m ζ = 0,903, für eine rechtwinklige Kropfröhre von gleichem Durchmesser und etwa 3 d Länge der Mittellinie des Kropfstücks, Halbmesser etwa der Rohrweite entsprechend, bei w= 150,2 m ζ = 0,296, bei w = 82,6 m ζ = 0,188, wonach diese Widerstände mit abnehmender Geschwindigkeit erheblich abnehmen. Meist werden für Gase und Dämpfe in Ermanglung besserer Anhaltspunkte annähernd dieselben Widerstandskoeffizienten wie für Wasser verwendet.

Auch ohne besondere Widerstände, wie sie durch Querschnitts- und Richtungsänderungen bedingt sind, tritt bei der Bewegung gasförmiger und tropfbarer Flüssigkeiten ein allgemeiner Leitungswiderstand auf, für dessen Koeffizienten längs einer Rohrstrecke l oder ds bei kreisförmigem Querschnitt vom Durchmesser d nach Weisbach gesetzt zu werden pflegt:

während bei beliebigem Querschnitt F vom Umfang U derselbe Ausdruck mit d = 4 F/U verwendet wird. Es bedeutet also λ den Wert von ζ für l = 1, d = 1. Für atmosphärische Luft fanden Pecqueur λ = 0,0237, Zeuner 0,0258, Poncelet 0,0315, Buff 0,0375 u.s.w. Die Verschiedenheit erklärt sich aus der Verschiedenheit der Verhältnisse, unter welchen die Versuche vorgenommen wurden (Rauhigkeit der Wand, Querschnitt, Geschwindigkeit). So ermittelte Grashof aus Versuchen von Weisbach mit Glas-, Messing- und Zinkröhren von d = 0,01 – 0,025 m Durchmesser bei Geschwindigkeiten w = 25 – 185 m:

worin d, w in Metern einzusetzen. Neuerdings erhielt Brabbée [39] auf Grund ausgedehnter Versuche mit genieteten schmiedeeisernen Luftleitungen von l = 300 – 687 m und d = 0,5 – 0,8 m bei Geschwindigkeiten w = 4 – 17 m konstant λ = 0,0175. Für Heiz- und Lüftungsanlagen werden wegen der Rauhigkeit der Wände meist Werte von λ zwischen 0,024 und 0,08 verwendet. Uebrigens werden durch λ oft besondere Widerstände mitberücksichtigt. Weitere Widerstandskoeffizienten s. unter c), d) und e).

c) Bewegung in Röhren. Von Massenkräften kommt nur die Schwere in Betracht. Auf einer Rohrstrecke l von konstantem Querschnitt F seien neben dem allgemeinen Leitungswiderstand beliebige besondere Widerstände zugelassen, denen die Widerstandskoeffizienten ζ_1, ζ₂, ... entsprechen. Beziehen sich p₁ v₁ wp₁ h₁ auf den Anfang, p, v, w, h auf das Ende der Strecke, so hat man bei konstantem sekundlichen Durchflußgewicht nach 14.:

und nach 15.–17.:

worin häufig für das erste oder zweite Integral mit einem Mittelwert von v oder p gesetzt werden kann v_m (p – p₁) bezw. p_m (v – v₁).

Den gewöhnlichsten Fall hat man beim Durchfluß von Gasen bei konstanter Temperatur. Dann treten zu 18.:

und wird aus 19.:

für genügend kleine Aenderungen von p oder h:

Sind keine besonderen Widerstände vorhanden oder werden letztere im allgemeinen Leitungswiderstand eingerechnet, so gelten vorstehende Gleichungen mit ζ₁ + ζ₂ ... = 0, doch lassen sich durch etwas andre Vernachlässigungen für kleine Aenderungen von p, h auch ableiten:[282]

womit auch p₁ – p/p₁ = 1 – p/p₁ bestimmt ist. Noch etwas weiter gehend, erhält man:

Diese Gleichung liefert für den Durchfluß mittelfeuchter Luft durch eine horizontale Röhre, wenn l, d, w in Metern eingesetzt werden, mit R = 29,4, y = 0, g = 9,81 m:

Lorenz [18], [32] erhielt aus Versuchen von Stockalper im Gotthardtunnel, Devillez in einem Kohlenbergwerk, Riedler und Gutermuth an der Druckluftanlage in Paris und Lorenz an der Druckluftanlage in Offenbach bei l = 172 – 16502 m, d = 0,073 – 0,300 m, p₁ = 3,2 – 8,1 Atmosphären und w = 1 – 32,7 m:

worin für p_m, w_m Mittelwerte des Druckes und der Geschwindigkeit gesetzt werden sollen. Da aber anstatt dieser für die in 25. und 26. vorausgesetzten kleinen Aenderungen von p, w meist die Werte am Anfang oder Ende der in Frage stehenden Rohrstrecke gesetzt werden dürfen, so zeigt der Vergleich von 25., 26., daß unter den von Lorenz berücksichtigten Verhältnissen annähernd gewesen wäre:

λ = 0,009633/d^0,31, und beispielsweise für

Siehe auch Dampfleitungen, Gasrohrleitungen sowie betreffend Zugerzeugung durch Schornsteine [4], [10], [42] und bezüglich weiterer Behandlung von Aufgaben über die Bewegung von Gasen und Dämpfen in Röhren [10], [42].

d) Ausfluß aus Gefäßmündungen. Durch die Mündung eines beliebig geformten Gefäßes fließe Gas oder Dampf, ohne daß von außen Wärme zugeführt oder entzogen wird (d Q = 0). Die Mittelwerte von spezifischem Druck, spezifischem Volumen, absoluter Temperatur, Geschwindigkeit und Geschwindigkeitshöhe seien für einen Querschnitt Fi im Gefäß pi, vi, ti, wi, hi, und für einen Querschnitt F des austretenden Strahles, dessen Schwerpunkt um y unter demjenigen von Fi liegt, p, v, T, w, h. Es handelt sich darum, bei bekannten Verhältnissen im Gefäß (im Querschnitt Fi) die Verhältnisse im Strahlenquerschnitt F, insbesondere die Geschwindigkeit w und das Ausflußgewicht pro Sekunde G zu bestimmen.

Aus 4. ergibt sich mit 8., 12. und d Q = 0:

und wenn vorbehaltlich geeigneter Wahl von m gesetzt wird (vgl. Polytropische Zustandsänderung):

bei der üblichen Vernachlässigung von y, h_i.

Abgesehen von der aus der Widerstandsarbeit d B entstandenen Wärme wäre in 28.–30 wegen d Q = 0 der Ausflußexponent m = k (s. Adiabatische Zustandsänderung, Bd. 1, S. 77), wie schon 1839 Saint-Venant und Wantzel [l] und 1855 Weisbach [2] bei den ersten Ableitungen von 29., 30. voraussetzten und auch jetzt noch häufig angenommen wird, während Zeuner [6], [25] durch Wahl andrer geeigneter m den Widerständen beim Ausfluß Rechnung zu tragen suchte. Ist ζ der Widerstandskoeffizient, so ergeben sich:

Um die Formeln 28.–30. verwenden zu können, muß der Druck p im Strahlquerschnitt F bekannt sein. Daß p nicht allgemein mit dem Druck p_a im äußeren Raum übereinstimmt, geht schon daraus hervor, daß die Formeln für den Ausfluß in den luftleeren Raum mit p = p_a = 0 das Ausflußgewicht G = 0 und gleichzeitig die größte Ausflußgeschwindigkeit w liefern würden. Mit der abkürzenden Bezeichnung

pflegt nach dem Vorgange von Saint-Venant und Wantzel für den kleinsten Strahlquerschnitt F gesetzt zu werden:

wonach p nie unter denjenigen Wert ε p_i sinken soll, für welchen zufolge du. bei bestimmtem m das Maximum von G eintritt. Zahlreiche Versuche bis in die neueste Zeit stehen hiermit gut im. Einklang, soweit es sich um sogenannte einfache Mündungen (Mündungen in dünner Wand, kurze, innen gut abgerundete Mündungen, kurze zylindrische Ansatzröhren) handelte [21], [27], [33]. Mit 33. hat man:[283]

und wenn gesetzt werden:

womit a_i, a die Schallgeschwindigkeiten im Gefäß und im kleinsten Strahlquerschnitt bedeuten (weil nach 28., 32.

Die Ausflußgeschwindigkeit im kleinsten Strahlquerschnitt kann hiernach nicht größer als die Schallgeschwindigkeit daselbst werden. Gleichung 32. liefert beispielsweise:

wonach innerhalb ziemlich weiter Grenzen ε = a + b m mit konstanten a, b gesetzt werden kann und sich jedenfalls genau interpolieren läßt.

Unter Voraussetzung genügend kleiner Differenzen zwischen den Drücken p_i, p_a, wie sie in der Praxis sehr oft vorkommen, ergeben sich mit p = p_a aus 29., 30. mit gewissen Vernachlässigungen die Näherungsformeln:

welche mit den entsprechenden Ausdrücken für Wasser übereinstimmen.

Für Gase, welche dem Boyle-Gay-Lussacschen Gesetze folgen, gelten neben 27.–38. mit y = 0, h_i = 0:

und für

Sollen die Widerstände vernachlässigt werden, so liefern diese Gleichungen mit m = k = 1,41 und v_i in Kubikmetern pro Kilogramm:

wenn p_i in Atmosphären zu 10000 kg pro Quadratmeter

wenn p_i in Atmosphären zu 10333 kg pro Quadratmeter

Versuche von Fliegener [9] mit innen gut abgerundeten Kreismündungen von d = 0,4 bis 1 cm Durchmesser bei Drücken p_i bis 5 Atmosphären und annähernd p_a = 1 Atmosphäre führten zu der Gleichung

unter F den Mündungsquerschnitt verbanden, wonach sich der Einfluß der Widerstände gering ergab. Nach 41. hätte man die größte Geschwindigkeit im kleinsten Strahlquerschnitt: für

ti = 0°	100°	200°	300°	400°	600°	800°	1000°
w = 303	354	399	439	475	542	600	654 m.

Häufig hat man es mit dem Ausfluß von Wasserdampf zu tun, der als trocken gesättigt gilt. Alsdann folgen aus 35. mit k = 1,135 und v_i nach der Gleichung der Grenzkurve (Bd. 2, S. 538):

worin, wenn p_i in Neuatmosphären zu 10000 kg pro Quadratmeter (1 kg pro Quadratzentimeter):

und wenn p_i in Normalatmosphären zu 10333 kg pro Quadratmeter (1,0333 kg pro Quadratzentimeter):

Wir erhalten beispielsweise

Zur Erleichterung der Berechnung nach 44. fügen wir die folgende Tabelle bei.[284]

Der Fall ζ = 0 oder m = k entspricht der Vernachlässigung der Widerstände. Für diesen Fall hat man also beim Ausfluß trocken gesättigten Wasserdampfes von 0,5754 p_i > p_a:

Es ergeben sich beispielsweise:

wonach die Maximalgeschwindigkeiten (Geschwindigkeiten bei Vernachlässigung der Widerstände) im kleinsten Strahlquerschnitt für trockenen gesättigten Wasserdampf nur wenig vom Drucke abhängen.

Bezüglich der Widerstandskoeffizienten ζ beim Ausfluß von Gasen und Dämpfen stehen die Versuchsresultate nicht sonderlich im Einklang miteinander. Häufig wird unter Vernachlässigung der Widerstände ζ = 0, m = k gesetzt, was manchen Resultaten nahekommt. Zeuner hält es bei Berechnung des Ausflußgewichts G atmosphärischer Luft durch einfache Mündungen bis zu den größten Geschwindigkeiten für zulässig, ζ wie beim Ausfluß des Wassers zu wählen. Uebrigens kommt es bei den aus Versuchen folgenden ζ, m im allgemeinen darauf an, ob eine Kontraktion des austretenden Strahles vorausgesetzt wird, ob also, wenn f den Mündungsquerschnitt und F = α f den kleinsten Strahlquerschnitt bezeichnen, α < 1 und nur für nach innen gut abgerundete Mündungen α = 1 angenommen wird, oder ob man allgemein F = f setzt. In dieser Hinsicht wird gegenwärtig nicht immer gleich verfahren. Für den Ausfluß atmosphärischer Luft fand Zeuner bei Druckverhältnissen p_i p_a = 1 bis 4 für eine innen gut abgerundete Kreismündung von 0,00410 m Durchmesser ζ = 0,105, m = 1,404, für eine andre von 0,00698 m Durchmesser ζ = 0,0123, m = 1,403. Dagegen liefern neuere Versuche von Zeuner für eine ebensolche Kreismündung von 0,00510 m Durchmesser bei Druckverhältnissen p_i : p_a = 1,82 bis 27,12 stark abweichend ζ = 0,0687, m = 1,372. Aus Versuchen von Weisbach leitete Grashof ohne Annahme einer Kontraktion ab für eine kurze konvergente Ansatzröhre von 0,01002 m Mündungsdurchmesser

für eine kurze, innen nicht abgerundete zylindrische Ansatzröhre von 0,01402 m Durchmesser

Zeuner erhielt für kurze, innen nicht abgerundete zylindrische Ansatzröhren von 0,00574 und 0,00698 m Durchmesser bei Druckverhältnissen p_i : p_a = 1 bis 4 ohne Annahme einer Kontraktion im Mittel ζ = 0,307, m = 1,286. Die Versuche mit gesättigtem Wasserdampf ergaben meist größere Ausflußmengen, als mit Rücksicht auf die Widerstände zu erwarten war, so daß gerade hier für innen gut abgerundete Mündungen fast allgemein ζ = 0, m = k gesetzt wird. Indessen schreibt z.B. Rateau [27] die vielfach erhaltenen großen Ausflußgewichte bei der üblichen Wägung des kondensierten Dampfes dem Umstande zu, daß der Dampf zwar trocken vorausgesetzt war, aber beigemengtes Wasser mitgewogen wurde.

Ueber den Ausfluß von Gasen und Dämpfen bei abnehmendem Drucke und abnehmendem Volumen s. [24], [28], [42], über Sicherheitsventile und andre hierhergehörige Aufgaben [5], [10], [42].

e) Ausfluß. Allgemeinere Behandlung (im Hinblick auf Laval-Düsen u.s.w.). Unter d) wurde von Gleichung 32. an nur die Geschwindigkeit im kleinsten Querschnitt des ausfließenden Strahles in Betracht gezogen. Dies genügt nicht in allen Fällen, z.B. nicht bei den Düsen von Dampfturbinen. Letztere sollen die lebendige Kraft des aus einem Kessel strömenden Dampfes in Nutzarbeit verwandeln, und demgemäß kommt es darauf an, den Dampf bei bestimmtem Kesseldrucke p_i mit möglichst großer Geschwindigkeit w ausströmen zu lassen. Dies suchte die Fabrik von de Laval durch geeignete Form der Düsen zu erreichen, deren Querschnitt nach außen erweitert wurde. Es soll deshalb im folgenden der Strahl bis zu beliebigen Querschnitten F von Geschwindigkeiten w und Zuständen p, v, T verfolgt werden. Man nimmt an, daß in einer richtig angeordneten Laval-Düse der Druck vom Druck im Ausflußraum p_i bis nahezu auf den Außendruck p_a (Druck in der Turbinenkammer) herabgesetzt wird.[285]

Setzt man wieder voraus, daß Wärme von außen weder zugeführt noch entzogen wird und ein Einfluß der Schwere oder sonstiger Massenkräfte außer Betracht bleiben kann, so liefern die Gleichungen 1. und 4. mit d M = 0, d Q = 0:

neben welchen Beziehungen in jedem Strahlquerschnitt F für das sekundliche Ausflußgewicht G die Kontinuitätsgleichung 14. gilt: Gv = Fw.

Es sei wie oben angenommen, daß der Ausfluß im Gefäß mit der Geschwindigkeit w_i = 0 beginnt, dann ergibt die Integration der zweiten Gleichung 49. bis zu einem beliebigen Strahlquerschnitt F:

Bei Vernachlässigung der Widerstände würde e mit e_i durch die Gleichung für adiabatische Zustandsänderungen in Beziehung stehen. Infolge der Widerstände möge die lebendige Kraft des Strahls bei F um einen Bruchteil ξ ihres ohne Widerstände entstehenden Wertes oder um einen Bruchteil ζ ihres verbleibenden Betrages vermindert werden, wobei ζ nach dem unter b) Gesagten der Widerstandskoeffizient bis F heißt und ξ der Verlustkoeffizient bis dahin genannt werden kann. Erhält bei Berücksichtigung der Widerstände die ohne diese eintretende Erzeugungswärme den Index', so ist die wirkliche lebende Kraft pro Gewichtseinheit im Strahlquerschnitt F:

wonach:

In 51. hat man nach 5.–7. und den Beziehungen für adiabatische Zustandsänderungen;, wenn T', x', τ' wie e' als Endwerte den letzteren entsprechen, beispielsweise für Gase:

für gesättigte Dämpfe (Bedeutung von τ s. Bd. 2, S. 542):

für anfangs und schließlich überhitzte Dämpfe:

worin c_i, c die den Drücken p_i, p von der Ueberhitzung 0 bis τi und von 0 bis τ' entsprechenden Mittelwerte der spezifischen Wärme c_p, während c_p im letzten Ausdruck einen Mittelwert für den adiabatischen Uebergang von Ti in T' bedeutet.

Die Verlustkoeffizienten ξ oder Widerstandskoeffizienten ζ, sind durch Versuche zu bestimmen. Nach den bisherigen Versuchen hätte man für Laval-Düsen bis zur Mündung etwa ξ = 0,11 bis 0,22, ζ = 0,12 bis 0,28, wachsend mit der Länge und Erweiterung. Hierbei ist angenommen, daß der Strahl die Düse vollständig ausfüllt, so daß als Strahlquerschnitt überall der Düsenquerschnitt gelten kann. Dies wird nur dann zutreffen, wenn vom engsten Strahlquerschnitt Fε bis zum Mündungsquerschnitt F keine zu rasche und starke Erweiterung stattfindet. Den Kegelwinkel der Erweiterung nimmt z.B. Stodola zu etwa 10° an, das Verhältnis F : Fε des Mündungsquerschnitts zum kleinsten Strahlquerschnitt pflegt (unter Vernachlässigung der Widerstände) aus den Gleichungen 30., 35. berechnet zu werden; die Bedingung ε p_i > p_a von 35. ist bei Dampfturbinen stets erfüllt. Wir fügen das bei Vernachlässigung der Widerstände eintretende Verhältnis w : wε der Geschwindigkeiten im Mündungsquerschnitt und kleinsten Strahlquerschnitt bei, während die wirklichen Geschwindigkeiten in beliebigen Strahlquerschnitten aus 51. folgen. Man erhält aus 29., 30. und 35. mit m = k:

Bei kreisförmigen Strahlquerschnitten von den Durchmessern d, dε (auch bei quadratischen-Querschnitten von den Seitenlängen d, dε) folgt weiter:

Diese Gleichungen liefern beispielsweise für atmosphärische Luft (Gasturbinen) mit k = 1,41:

und für

Bei gesättigtem Wasserdampf hängt k = 1,035 + 0,1 x_i von der spezifischen Dampfmenge x_i ab. Für trocken gesättigten Dampf folgen aus 56. mit x_i = 1, k = 1,135:[286]

und für

Auch für überhitzten Wasserdampf kann k in 56. verschiedene Werte annehmen. Mit dementsprechend c_p = 0,48, AR = 0,12 und 11. früher allein verwendeten Werte k = ⁴/₃ beispielsweise ergeben sich:

wobei vorausgesetzt ist, daß der Dampf bis zum Querschnitt F nicht in gesättigten Zustand übergeht. Betreffend den andern Fall s. [42].

Die obigen Zahlenwerte von w/w_ε zeigen, daß durch Laval-Düsen unter den angeführten Voraussetzungen die Mündungsgeschwindigkeiten w weit über die Geschwindigkeit w_ε im kleinsten Strahlquerschnitt F_ε, d.h. auch über die Schallgeschwindigkeit daselbst hinausgehen kann. Aus diesem Grunde wurde die konische Erweiterung der Düsen bei Dampfturbinen eingeführt. Diskussion über ihre Wirksamkeit und Beispiele der Anwendung vorstehender Gleichungen in [42]; s.a. Dampfturbinen.

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Weyrauch.