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Knickfestigkeit

[519] Knickfestigkeit. – Wird ein gerader Stab von konstantem Querschnitt F und genügender Länge L durch eine Kraft P, welche in der Richtung seiner Achse wirken soll, gedrückt, so kann selbst bei möglichst homogenem Material eine Ausbiegung stattfinden, womit zu den bei gleichmäßiger Verteilung von P auf den Querschnitt F entgehenden Spannungen P/F noch gewisse Biegungsspannungen treten, so daß der Bruch oder eine sonstige Aufhebung der Kohäsion schon durch eine Kraft P = K erreicht wird, welche kleiner als die entsprechende Kraft P = D bei reinem Drucke ist. Die mittlere Tragkraft k = K/F heißt Knickfestigkeit des Stabes, während d = D/F die Druckfestigkeit[519] genannt wird (vgl. d. und Fettigkeit). Selbstverständlich darf stets nur ein Teil der Knickfestigkeit k,

σ_k = k/m = K/mF

1.

als mittlere Beanspruchung pro Flächeneinheit Stabquerschnitt zugelassen werden, so daß man wie in andern Fällen vom Sicherheitsgrade m oder von m-facher Sicherheit zu sprechen pflegt.

Die Knickfestigkeit k kann auch bei bekannter Druckfestigkeit d schon deshalb nicht durch die Theorie allein bestimmt werden, weil die erwähnte Ausbiegung gerade infolge von Abweichungen gegen die Voraussetzungen der Theorie eintritt (mangelnde Homogenität des Materials, Stab nicht vollkommen prismatisch, P nicht genau in der Achse angebracht, einseitige Erwärmung u.s.w.); es muß also stets auf Versuche Rücksicht genommen werden. – Bei der Aufstellung von Formeln für K, k genügt es im allgemeinen, Biegungen in einer Ebene zu berücksichtigen, was auch hier geschehen soll. J möge das Trägheitsmoment des Stabquerschnitts hinsichtlich einer Achse durch den Schwerpunkt des letzteren senkrecht jener Biegungsebene der Stabachse und E den Elastizitätsmodul des Stabmaterials in der Richtung der Stabachse bezeichnen. Es kommen besonders dreierlei Formeln in Betracht.

I. Eulersche Formel. Da tatsächlich Biegungsmomente auftreten können, die Resultante P der in einem Querschnitt angreifenden Kräfte also im allgemeinen nicht, wie man wünscht, in der Stabachse angreift, so denken wir uns die x-Achse in die Richtungslinie dieser P gelegt und die y auf die Punkte der gebogenen Stabachse bezogen (Fig. 1), womit das Biegungsmoment durch Mx = – Py ausgedrückt ist. Werden zunächst nur so kleine Biegungen vorausgesetzt (s. indessen am Ende von I.), daß die Naviersche Biegungsgleichung d²y/dx² = M_x/EJ gilt (vgl. Bd. 1, S. 793, 800), so hat man:

woraus die allgemeinste Gleichung der gebogenen Stabachse und die Tangente des Neigungswinkels φ derselben:

Hierin bedeuten B, A die Werte von y und von tgφ/a für x = 0, welche vom Ursprung der Koordinaten, der Anordnung der Stabenden, der Entstehung des unterrichten Gleichgewichtszustandes und der schließlichen Exzentrizität der P abhängen (die Exzentrizität kann mit P veränderlich sein). Die Gleichung entspricht einer Wellenlinie (Fig. 1), deren Wendepunkte in die Richtungslinie der P, d.h. in die x-Achse fallen, und bei welcher sich gleiche y, dy/dx, d²y/dx², Mx in Abständen 2π/a und numerisch gleiche y, dy/dx, d²y/dx², Mx verschiedenen Vorzeichens in Abständen π/a wiederholen, während die Maxima und Minima von y durch

ausgedrückt sind. Wird gesetzt

so heißt l die freie Knicklänge und die Beziehung 5. nach Euler, der sie zuerst aufstellte [1], die Eulersche Knickformel.

Je kleiner l, desto größer nach 5. das entsprechende P. Da aber bei allmählich wachsendem P der dem größten l entsprechende Zustand zuerst erreicht wird und beliebige mit den Voraussetzungen von 2. verträgliche elastische Biegungen bringen kann, so nahm man an, daß durch P mit dem größten bedingungsgemäßen l auch die Elastizitätsgrenze überschritten und unter wachsender Biegung die Kohäsion überwunden werden könne, d.h. man setzte für die Tragkraft K und Knickfestigkeit k mit jenem größten l:

Aus dem gleichen Gesichtspunkte schloß man, daß die Ausbiegung in derjenigen Ebene zu erwarten sei, für welche das kleinste K, k nötig wird, bei gleichem l also in der Ebene senkrecht zur Achsschicht vom kleinsten J. In 6. bezeichnet r den Trägheitshalbmesser des Querschnitts in der Biegungsebene. Fig. 2–5 deuten die der Knickkraft P = K entsprechenden Biegungen für Stäbe mit einerseits festgespanntem, anderseits frei schwebendem Ende, beiderseits frei drehbaren Enden, einerseits festgespanntem, anderseits frei drehbarem Ende und für beiderseits festgespannte Enden an, wonach für diese Fälle nach 5. bezw.:

Für Fig. 4, 5 ist jedoch vorausgesetzt, daß die Einspannungsenden in einer Geraden bleiben. Wäre es nicht der Fall, so könnten auch die Biegungen Fig. 2, 6 entstehen, für welche K, k nur etwa ¹/₈ bezw. ¹/₄ so groß wie für Fig. 4, 5 sind. In Fig. 7–10 haben wir noch andre bedingungsgemäße Biegungen dargestellt, welche aber im allgemeinen nur durch in 7. nicht berücksichtigte Mittel realisiert werden könnten (Feilhalten von Zwischenpunkten, anfänglich vorhandene Querkräfte, plötzliche Einwirkung von P) und für welche sich die weit größeren Kräfte P aus 5. mit den bei den Figuren angedeuteten Knicklängen l ergeben. Bezüglich der gesondert zu behandelnden Fälle Fig. 4, 9, für welche zwar nicht 2.–4., aber 5. gilt, s. [8], S. 166, [35], S. 386.[520]

In den meisten praktischen Fällen, z.B. bei Druckstäben von Fachwerkbrücken, können die Enden weder als absolut festgespannt noch als vollkommen frei drehbar gelten. Die Wirklichkeit liegt zwischen diesen Extremen, und es besteht dann eine Hauptaufgabe darin, die freie Knicklänge zweckmäßig zu wählen, worauf sich K, k aus 6 oder den unten folgenden Formeln ergeben. Schablonenmäßiges Vorgehen muß dabei ausgeschlossen sein; man hat stets Rücksicht auf die Befestigungsart der Enden zu nehmen und auch zu beachten, daß je nach Umständen ein Einknicken in verschiedenen Ebenen in Betracht kommen kann, da nach 6. ein kleineres J durch ein kleineres l aufgewogen zu werden vermag. Es gelten für Dimensionierungszwecke immer die kleinsten (im Zweifelsfalle eher zu ungünstigen) K, k, welchen also die maßgebenden J, l, r zu entsprechen haben, und wenn das so ermittelte k kleiner wäre als die Druckfestigkeit d, dann käme die Knickfestigkeit überhaupt nicht zur Verwendung, man hätte den Stab auf reinen Druck zu berechnen.

Die obige gebräuchliche Begründung der Eulerschen Formel ist besonders deshalb unbefriedigend, weil sie keinen Aufschluß über die Größe der Formänderungen und deren Abhängigkeit von der Belastung gibt, während doch die Aufhebung der Kohäsion gerade infolge der mit P = K erreichten Formänderungen zu erwarten ist. Dies rührt von den Vernachlässigungen her, auf welchen die als Ausgangspunkt der Ableitung gewählte Naviersche Biegungsformel beruht. Wird von dem genaueren Ausdruck der Biegungsformel ausgegangen (von Gleichung 7 des Artikels Biegung, Bd. 1, S. 793, anstatt von der dortigen Gleichung 6.), so ergeben sich die Formänderungen wachsend mit der Größe der Last, und es zeigt sich, daß die durch die Eulersche Gleichung 5. bestimmte Druckkraft P unter den Voraussetzungen der Theorie dem Beginne der Ausbiegungen entspricht [29], [30]. Da jedoch in Wirklichkeit die Ausbiegung schon früher eintritt und die theoretische Bruchlast nach der genaueren Ableitung nicht bedeutend höher als der Eulersche Wert 5. liegt, so ist man auch von diesem Standpunkt zur Berechtigung der Eulerschen Knickformel oder den Versuchsresultaten Rechnung tragender Modifikationen derselben gekommen.

II. Schwarzsche Formel. Diese pflegt auf die Anschauung begründet zu werden, daß die Zerstörung des Stabes eintritt, wenn die Normalspannung σ (s. Biegung) in irgend einem Querschnittselement einen gewissen Grenzwert b erreicht, für welchen häufig die Druckfestigkeit d, neuerdings auch vielfach die Streckgrenze gesetzt wird. Da die Normalspannungen gerader Stäbe durch die dem Wesen nach von Navier herrührende Gleichung

σ = N_x/F + M_x/J v

8.

ausgedrückt ist (in Bd. 1, S. 799, Formel 22 mit r = ∞), und in unserm Falle mit N_x = P, M_x = – Py die größte Normalspannung beim größten y in dem am weitesten nach P hin gelegenen Querschnittselement, d.h. für y = h, v = – e, eintritt, so folgt aus 8.:

Der bei Einwirkung von K an der erwähnten ungünstigsten Stelle vom Biegungsmoment allein herrührende Teil der Normalspannung σ ist nach dem Ausdrucke 8. s = M_x/J v = Kh/J e so daß mit Rücksicht auf 6. he/J = s/K = s/EJ l²/π² und damit aus 9. die Knickfestigkeit:

Diese Formel wurde zuerst von Schwarz aufgestellt [5] (nicht schon von Navier, wie Rühlmann u.a. angeben), sie heißt deshalb die Schwarzsche Knickformel.

In 10. ist α ein Erfahrungskoeffizient, welcher nach der angeführten Bedeutung von s keineswegs nur vom Material abzuhängen braucht, doch wird darin im Mittel beispielsweise gesetzt [7], S. 71, [35], S. 412:[521]

Bei Beurteilung der verschiedenen α ist zu beachten, daß l in 10. die freie Knicklänge bedeutet. Wenn z.B. Rankine für Schmiedeeisenstäbe mit frei drehbaren Enden 1/α = 9000, für solche mit festgespannten Enden 1/α = 36000 setzte, dabei aber in 10. l = L verwendete, so kam dies auf das gleiche hinaus, als wenn man in beiden Fällen 1/α = 9000, α = 0,00011 und daneben im ersten l = L (Fig. 3), im letzten l = L/2 (Fig. 5) annimmt. Die starke Verschiedenheit der in Gebrauch befindlichen Knickungskoeffizienten α erklärt sich auch zum Teil daraus, daß die mittels 10. aus Versuchen erhaltenen wesentlich von der Annahme über b abhängen. So fand Bauschinger für frei drehbare Enden im Mittel von 23 Versuchen l/α = 5000, wenn die b als Druckfestigkeiten bestimmt und eingesetzt wurden (letztere im Mittel etwa d = 4500 kg pro Quadratzentimeter); als jedoch b, α als frei verfügbare Konstante aus den Knickversuchen allein mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt wurden, ergaben sich b = 2240 kg, l/α = 17070. Bei Verwendung von 10. zur Querschnittsbegründung wird man α, l eher zu groß als zu klein wählen.

Die auf Versuchen Hodgkinfons [4], [6] mit runden und rechteckigen Säulen beruhende Gordonsche Knickformel [17], S. 262, 576,

in welcher d die kleinste Querdimension, b eine vom Material, ζ eine von Material und Querschnitt abhängige Konstante bedeuten, läßt sich als spezieller Fall von 10. ansehen. Da Rankine im Anschluß an deren Vorführung als allgemeinere Beziehung die Schwarzsche Formel 10. gab ([17], S. 577, erstmals 1862), so wurde letztere mitunter als Rankinesche Knickformel bezeichnet. Manche haben sie nach Laißle und Schübler [7] benannt. Die in dem Artikel Druck, exzentrischer, Bd. 3, S. 115, nach v. Emperger und Ostenfeld gegebene Formel führt im Falle der Exzentrizität c = 0 ebenfalls auf die Schwarzsche Formel.

III. Tetmajers Formeln. Winkler [9], Bauschinger [13], Préaudeau [20] u.a. fanden, daß sowohl die Eulersche als die Schwarzsche Formel innerhalb gewisser Grenzen mit Versuchsresultaten genügend in Einklang gebracht werden kann. Bezüglich der Schwarzschen Formel ist dies am ehesten dann zu erwarten, wenn die beiden Größen b, α als verfügbare Konstante angesehen werden. Dagegen ergaben umfassende Versuche von Tetmajer mit Bauholz, Gußeisen, Schweißeisen und Flußeisen bei Verwendung der mittleren Druckfestigkeit für b, daß der Knickungskoeffizient α im allgemeinen weder konstant noch als Funktion von l/r darstellbar war [34], S. 73, 103, 139. Wurde bei Spitzenlagerung l = L, bei Flächenlagerung l = L/2 gesetzt (vgl. Fig. 3, 5), so konnte Tetmajer die Mittelwerte der erhaltenen Knickfestigkeiten k = K/F in Kilogramm pro Quadratzentimeter durch folgende Formeln darstellen [34], S. 102, 124, 138, 139. Für Bauholz (Rottanne, Weißtanne, Föhre, Lärche, Eiche):

für Gußeisen (Säulenguß, Röhrenguß, Barren):

für Schweißeisen (Rundeisen, Profileisen, vernietete Stäbe), dessen Elastizitätsmodul E = 2000000 kg gesetzt wurde:

für Flußeisen von der Zugfestigkeit z 4500 kg (Rundeisen, Profileisen, vernietete Stäbe) mit E = 2150000 kg:

[522] für Flußeisen von der Zugfestigkeit z > 4500 kg (Rundeisen, Profileisen, vernietete Stäbe) mit E = 2240000 kg: wenn

Die Versuche ergaben also, daß für alle untersuchten Materialien die Eulersche Formel 6. zutraf, falls l/r über einer gewissen Grenze blieb, während für l/r unterhalb dieser Grenze, soweit überhaupt Knickerscheinungen auftraten, k mit l/r genügend genau durch die Gleichung einer geraden Linie in Beziehung Hand (vgl. die Tafeln in [34]), was auch Versuche von Strobel [15] u.a. bestätigten und mit theoretischen Untersuchungen über die Elastizitätsgrenze hinaus im Einklänge steht [18]. Bei Tetmajers Versuchen korrespondierte die Richtung der Durchbiegung in der Regel mit der Richtung des kleinsten Trägheitshalbmessers r. Die durch Nietung zusammengesetzten Stäbe verhielten sich wie einfache Walzprofile, wenn die Nietabstände die 70fache Dicke der gefaßten Flanschen nicht überschritten (ob noch bei größerer Entfernung, wurde nicht festgestellt) und die Nietverschwächung der Stabquerschnitte nicht über durchschnittlich ca. 12% hinausgingen. Hinsichtlich des Einflusses der Nietung, insbesondere der Nietverschwächung und der Lage der Nietlöcher im Querschnitt zeigte sich das Flußeisen im allgemeinen empfindlicher als das Schweißeisen [34], S. 137, [35], S. 410.

IV. Johnsons Formel. Von den mancherlei für praktische Berechnungen weiter empfohlenen Ausdrücken der Knickfestigkeit k sei noch der in Amerika von Johnson vorgeschlagene erwähnt [22], [27], [31]. Nach Johnson soll man setzen für kleinere l : r (Grenze x s. unten):

für größere l : r wie bei Tetmajer die Eulersche Formel:

In 16. sind die Konstanten b, β in erster Linie durch Versuche festzustellen; nach Ostenfeld hätte man auf Grund der Versuche von Tetmajer:

für Schweißeisen b = 2580 kg, β = 0,087, μ = 0,087/2580 = 0,0000337,

für Flußeisen b = 2720 kg, β = 0,086, μ = 0,086/2720 = 0,0000317.

Hiernach wird als genügend für beide Fälle angegeben:

während für b die Fließgrenze gesetzt werden könne (für Schweißeisen etwa 2400 kg, für Flußeisen etwa 2800 kg).

Nach Johnson soll die Gültigkeitsgrenze zwischen 16. und 17. so gewählt werden, daß die Parabel 16. die Euler-Kurve 17. berührt, wonach für das Grenzverhältnis l : r = x beide Gleichungen gleiche Werte k und gleiche d k/d(l/r) liefern müssen. Für die Gültigkeitsgrenze x und die Konstante β oder μ folgen aus diesen zwei Bedingungen:

Setzt man hierin für Schweißeisen b = 2580 kg, E = 2000000 kg, für Flußeisen b = 2720 kg, E = 2150000 kg, so ergeben sich für ersteres x = 124, β = 0,084, für letzteres x = 125, β = 0,087, welche β genügend mit obigen Versuchsresultaten übereinstimmen.

Für die Parabelgleichung von Johnson wird besonders ins Treffen geführt [27], [31], daß sie mindestens gleiche Genauigkeit wie die Geradengleichung von Tetmajer, aber bei Verwendung von 18. nur eine Konstante b besitze, für welche die Fließgrenze (s.d.) gesetzt werden dürfe, so daß die Formel mit großer Wahrscheinlichkeit auch für Material verwendet werden könne, dessen Knickfestigkeit nicht durch Versuche bestimmt sei. Bezüglich der Verwendung zur Dimensionenfeststellung s. [22], [27], [31].

Die angeführten Formeln betreffen die Knickfestigkeit einzelner einfacher oder zusammengesetzter Stäbe, wie sie als eiserne Säulen, Füllungsglieder von Fachwerken u.s.w. zur Verwendung kommen. Bezüglich besonderer Knickwirkungen bei eisernen Brücken und ihrer Berücksichtigung s. [19]–[21]. Verschiedene Brückeneinstürze in den letzten Jahrzehnten waren auf ungenügende Dimensionierung gedrückter Konstruktionsteile oder ungenügende Vereinigung der dieselben bildenden Stäbe (und damit zu kleine J, r, k) zurückzuführen (vgl. Bd. 3, S. 537). Ueber das Verhalten eiserner Säulen im Feuer s. [13], [14], [23], [24]. Vgl. a. Druck, exzentrischer Druckgurte, Druckstäbe, Gitterträger, Nebenspannungen.

Literatur: [1] Euler, Methodus inveniendi lineas curvas, Lausannae et Genevae 1744 (Additamentum I: De curvis elasticis), S. 260, 267. – [2] Euler, Sur la force des colonnes, Histoire de l'Academie royale des sciences, annee 1757, Berlin 1759, S. 252 (ausführlichere Darstellung). – [3] Navier, Resumé des lecons etc. sur l'application de la mecanique à l'etablissement des constructions et des machines, Paris 1826, S. 202 (deutsche Ausgabe, Hannover 1879, S. 221). – [4] Hodgkinson, Experimental researches on the strength of pilars of cast iron and other materials, Philosophical Transactions 1840, S. 385. – [5] Schwarz, Von der rückwirkenden Fettigkeit der Körper, Zeitschr. f. Bauwesen 1854, S. 518. – [6] Hodgkinson, Experimental[523] researches on the strength of pilars of cast iron from various parts of the kingdom, Philosophical Transactions 1857, S. 851. – [7] Laißle u. Schübler, Der Bau der Brückenträger I, Stuttgart 1876, S. 59 (1. 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Lühmann, Ueber die Widerstandsfähigkeit auf Druck beanspruchter eiserner Baukonstruktionsteile bei erhöhter Temperatur, Verhandl. d. Ver. s.d. Beförd. d. Gewerbefleißes 1887, S. 574, 701 (Auszug: Deutsche Bauztg. 1888, S. 329, 333). – [15] Strobel, Knickversuche mit schmiedeeisernen Säulen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1888, S. 1121. – [16] Engesser, Ueber die Knickfestigkeit gerader Stäbe, Zeitschr. d. Arch.- u. Ingen.-Ver. zu Hannover 1889, S. 455. – [17] Rankine, Handbuch der Bauingenieurkunst, deutsch von Kreuter, Wien 1892, S. 261, 573, 582, 585. – [18] Engesser, Ueber die Berechnung auf Knickfestigkeit beanspruchter Stäbe aus Schweißeisen und Flußeisen, Zeitschr. d. Oesterr. Ingen.-u. Arch.-Ver. 1893, S. 506. – [19] Engesser, Die Zusatzkräfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken, II, Berlin 1893, S. 105 (vgl. a. Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1895, S. 1021). – [20] Préaudeau, Recherches experimentales sur les pieces droites chargées par bout, Annales des ponts et chaussées 1894, I, S. 498 (exzentrischer Druck und Zug berücksichtigt). – [21] Jasinski, Recherches sur la flexion des pieces comprimees, Annales des ponss et chaussées 1894, II, S. 233, 654. – [22] Johnson, Modern framed structures, New York 1894, S. 148. – [23] Vergleichende Versuche über die Feuersicherheit von Speicherstützen, Hamburg 1895 (Kommissionsbericht). – [24] Schüler, Versuche über das Verhalten gußeiserner Säulen im Feuer, Deutsche Bauztg. 1897, S. 232, 242. – [25] v. Emperger, Die Knickfestigkeit in Theorie, Versuch und Praxis, Zeitschr. d. Oesterr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1897, S. 661, 677, 695, 708, 726 (s.a. 1898, S. 165). – [26] Foepp I, Mitteilungen a. d. mech.-techn. Laboratorium zu München, 25. Heft, 1897 (Knickversuche mit Winkeleisen); 27. Heft, 1900 (Prüfung einer gußeisernen Säule). – [27] Ostenfeld, Exzentrische und zentrische Knickfestigkeit mit besonderer Berücksichtigung der für schmiedbares Eisen vorliegenden Versuchsergebnisse, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1898, S. 1462. – [28] Külzow, Hilfstabellen zur Berechnung der Knickfestigkeit eiserner Bauteile, deren Querschnitte aus Normalprofilen, Blechen und Flacheisen bestehen, Hannover und Leipzig 1898. – [29] Schneider, Zur Theorie der Knickfestigkeit, Zeitschr. d. Oesterr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1901, S. 633, 649. – [30] Kriemler, Labile und stabile Gleichgewichtsfiguren vollkommen elastischer auf Biegung beanspruchter Stäbe, Karlsruhe 1902 (Habilitationsschrift). – [31] Ostenfeld, Einige Bemerkungen über die Bestimmung der Abmessungen exzentrisch und zentrisch beanspruchter Säulen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1902, S. 1858. – [32] Wittenbauer, Die Knicklast mehrfach beteiligter Stäbe, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1902, S. 501. – [33] Ders., Die Verallgemeinerung der Eulerschen Knicklast (sprungweise veränderlicher Querschnitt), Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1903, S. 245. – [34] v. Tetmajer, Die Gesetze der Knickungs- und der zusammengesetzten Druckfestigkeit der technisch wichtigsten Baustoffe, Leipzig und Wien 1903. – [35] v. Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904, S. 381. – [36] Pilgrim, Die Knickungsberechnung nach den Versuchsergebnissen, Zeitschr. f. Architektur u. Ingenieurwesen 1904, S. 241 (s.a. 1905, S. 74). – [37] Bach, Elastizität und Fertigkeit, Berlin 1905, S. 262. – [38] Kirsch, Neue Studien und Versuche über die Tragkraft der Säulen und den Einfluß an der Einspannung an den Enden, Zeitschr. d. Oesterr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1905, S. 93. – [39] Zimmermann, Knickfestigkeit eines Stabes mit elastischer Querstützung, Zentralblatt der Bauverwaltung 1906, S. 251. – [40] Mörsch, Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung, Stuttgart 1906, S. 59.

Weyrauch.

Fig. 1.

Fig. 2., Fig. 3., Fig. 4., Fig. 5., Fig. 6., Fig. 7., Fig. 8., Fig. 9., Fig. 10.