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Fachwerke, statisch unbestimmte [1]

[551] Fachwerke, statisch unbestimmte . Ein Fachwerk (s.d.), Fachwerkträger, heißt statisch unbestimmt, wenn sich seine Stabkräfte und Stützenreaktionen nicht sämtlich aus statischen Bedingungsgleichungen allein bestimmen lassen. Voraussetzungen der statischen Bestimmtheit und Stabilität sowie allgemeine Gesichtspunkte für die Berechnung von Fachwerkträgern s. Fachwerk.

Diejenigen Stäbe und Reaktionskomponenten, welche zusammen ein statisch bestimmtes stabiles Fachwerk ausmachen, werden notwendige Stäbe und notwendige Reaktionen genannt, während die bei statisch unbestimmten stabilen Fachwerken darüber hinaus vorhandenen auch überzählige Stäbe und Reaktionen heißen. Zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke müssen Beziehungen der Elastizitätslehre herangezogen werden. Dies kann auf verschiedene Weise geschehen, wie auch die statisch unbestimmten Größen selbst oft verschieden gewählt werden können. Früher hat man lieh häufig mit Näherungen begnügt, besonders bei durchlaufenden Balkenfachwerken (s.d.) und einfachen Bogenfachwerken (s.d.) mit ausgesprochener Achse bis zu den Auflagern. Es wurden dann gewöhnlich als statisch unbestimmt angenommen für Balkenfachwerke die Stützenmomente M, M', für Bogenfachwerke mit Kämpfergelenken der Horizontalschub H, für Bogenfachwerke ohne Gelenke H und die Endmomente M, M', und diese Größen auf Grund der Formeln für wollwandige Träger berechnet (s. Balken und Balken, durchlaufende, sowie Bogen, einfache und durchlaufende). Nach Ermittlung der statisch unbestimmten Größen lassen sich die Stabkräfte der Fachwerke nach den unter Fachwerke, statisch bestimmte, angeführten Methoden oder nach den unter Balkenfachwerke, Bogenfachwerke, Parallelträger u.s.w. erwähnten Formeln berechnen. Indessen waren jene Näherungsverfahren ohne Kontrolle durch genauere Methoden nicht sehr zuverlässig, für wichtige Fälle der Praxis konnten sie überhaupt nicht in Betracht kommen. Schon das gewöhnliche Bogenfachwerk Fig. 1 ließ sich nicht wohl nach Beziehungen für stabförmige Bogen berechnen, wie denn auch hier das Bedürfnis nach genauerer Behandlung zuerst hervortrat [3], [4]; doch wurde das Nötige über diese und andre Bogenfachwerke mit Kämpfergelenken bereits unter Bogenfachwerke gegeben. Hier handelt es sich um möglichst genaue Ermittlung statisch unbestimmter Stützenreaktionen und Stabkräfte beliebiger stabiler Fachwerke, während bezüglich der weiteren Berechnungen auf die bereits erwähnten Artikel und Einflußlinien, Grenzwerte zu verweisen ist. Werden beispielsweise die statisch unbestimmten Größen (und eventuell auch andre Größen) für eine Last 1 in jedem für die Verkehrslast in Betracht kommenden Knotenpunkt einzeln festgestellt, so lassen sich leicht ihre Werte auch für jede Kombination belasteter Knotenpunkte angeben und durch Berücksichtigung der Knotenpunkte von positivem bezw. negativem Verkehrseinfluß allein insbesondere ihre beiden Grenzwerte.

Das betrachtete Fachwerk sei unter Einwirkung beliebiger äußerer Kräfte und Temperaturänderungen zum Gleichgewichte gelangt. Die Verrückungen der Knotenpunkte und Formänderungen[551] der Stäbe werden den anfänglichen Abmessungen gegenüber verschwindend klein vorausgesetzt. Bezüglich eines rechtwinkligen Koordinatensystems in fester Lage gegen die anfängliche Gruppierung der Knotenpunkte seien x_m, y_m, z_m die anfänglichen Koordinaten eines Knotenpunkts m und x_n, y_n, z_n diejenigen eines Knotenpunkts n, welcher mit m durch einen Stab der anfänglichen Länge s und schließlichen Stabkraft S verbunden ist, wobei ziehende S als positiv gelten. X_m, Y_m, Z_m mögen die resultierenden Komponenten der auf m wirkenden äußeren Kräfte (Lasten, Stützenreaktionen u.s.w.) in den Richtungen x, y, z bedeuten. Dann bestehen fürs Gleichgewicht am Knotenpunkte m die Bedingungen (Fig. 2):

worin sich die Summen Σ auf alle in m eintreffenden Stäbe beziehen. Bei k Knotenpunkten existieren 3k solcher Gleichungen, und weil diese bei statisch bestimmten Fachwerken genügen, um ohne Rücksicht auf die Verrückungen der Knotenpunkte und Längenänderungen der Stäbe alle Stabkräfte und Stützenreaktionen zu berechnen (s. Fachwerke, statisch bestimmte), so haben eben bei statisch bestimmten Fachwerken kleine Verrückungen der Knotenpunkte und kleine Längenänderungen der Stäbe, also auch Temperaturänderungen der letzteren wie überhaupt die Beziehungen zwischen den Stabkräften S und Längenänderungen Δs, keinen in Betracht kommenden Einfluß auf die Beanspruchungen. Anders bei statisch unbestimmten Fachwerken. Multipliziert man die erste, zweite und dritte Gleichung 1. mit beliebigen verschwindend kleinen, wirklichen oder gedachten Verrückungen ξ, η, ζ des Knotenpunkts m, verfährt in analoger Weise mit den Gleichungen sämtlicher Knotenpunkte und addiert dann alle 3k Gleichungen, so folgt nach Reduktion [15], S. 182:

worin sich die Summe links auf alle Knotenpunkte, diejenige rechts auf alle Stäbe bezieht; doch dürfen in erstere auch außerhalb des Fachwerks gelegene, bezüglich dessen anfänglicher Lage feste Punkte aufgenommen werden, weil deren ξ, η, ζ gleich Null sind, so daß der Wert der Summe ungeändert bleibt (s. unten drittes Verfahren). Die Δs sind die Längenänderungen der Stäbe, welche mit den Verrückungen ξ, η, ζ verbunden wären. Wirken in den Knotenpunkten beliebige Lasten oder sonstige Aktivkräfte (s.d.) Q, beliebige Reaktionen oder Reaktionskomponenten R, und bezeichnen q, r die den ξ, η, ζ entsprechenden Verrückungen der von Q, R ergriffenen Knotenpunkte in den Richtungen von Q, R (positiv, wenn in den Richtungen von Q, R selbst, negativ, wenn entgegengesetzt diesen Richtungen), dann nimmt 2. die Form an:

Die Formeln 1. bilden die Grundgleichungen der Statik für die einzelnen Knotenpunkte, die Formel 2. oder 3. drückt das Prinzip der virtuellen Verrückungen für das ganze Fachwerk aus. Auf diesen Beziehungen beruhen alle Methoden zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke. Auch die Formänderungen beliebiger stabiler Fachwerke sind dadurch bestimmt (s. unten).

Während die Gleichungen 1.–3. immer erfüllt sein müssen, welche Werte auch die Verrückungen ξ, η, ζ haben und welche Beziehungen zwischen den wirklichen Stabkräften S und Längenänderungen Δs bestehen mögen, gilt für elastische Längenänderungen eines homogenen, anfangs spannungslosen prismatischen Stabes vom Anfangsquerschnitt F, der schließlichen Stabkraft S (Zug positiv) und der schließlichen Temperaturänderung τ (Zunahme positiv) zwischen S und Δs die Beziehung [15], S. 213:

worin E den Elastizitätsmodul (s.d.) von S = 0 bis S = S, a den linearen Ausdehnungskoeffizienten (s.d.) von τ = 0 bis τ = τ bedeuten (eventuell Mittelwerte). Die den Gleichungen 4. zugrunde liegenden Voraussetzungen werden im folgenden beibehalten, sobald es sich um die wirklichen Verrückungen unter dem Einflusse äußerer Kräfte und Temperaturänderungen handelt, wonach das Fachwerk anfänglich als spannungslos gilt. – Für ebene Fachwerke pflegt man die Achsen der x, y in die Trägerebene zu legen und dafür zu sorgen, daß alle Knotenpunkte immer in derselben bleiben, womit alle z, ζ gleich Null werden, die dritte Gleichung 1. wegfällt, in unsern Darlegungen überall 2k an Stelle von 3k tritt, im übrigen aber an vorstehenden Gleichungen und den unten angeführten Berechnungsverfahren nichts geändert wird. Bei Anwendung der letzteren auf die gewöhnlichen Fachwerke von größerer Stabzahl ist tabellarische Anordnung der berechneten Größen zu empfehlen. Im Anschlusse an das dritte Verfahren sind direkt verwendbare Formeln für 1–2 überzählige Stäbe und 1–3 überzählige Reaktionen gegeben. Wir berücksichtigen auch unbeabsichtigte Bewegungen der Stützpunkte, da es gut ist, sich über den etwaigen Einfluß derselben im voraus Rechenschaft zu geben (bei mehreren aufeinander folgenden einfachen Bogen z.B. sind federnde Bewegungen der Zwischenpfeiler oft nicht zu vermeiden); auch kann dem Ingenieur die Frage vorliegen, welchen Einfluß eine tatsächlich eingetretene Verrückung eines Stützpunkts auf die Beanspruchungen ausgeübt hat.

Erstes Verfahren.

Einfachster Gedankengang, für praktische Zwecke der großen Anzahl gleichzeitig auftretender Unbekannten wegen unbequem. Es seien ξm, ηm, ζm, und ξn, ηn, ζn die wirklichen[552] Verrückungen der Knotenpunkte m und n. Dann gilt entsprechend 4. für den beliebigen Stab m n bei Vernachlässigung kleiner Größen zweiter Ordnung [15], S. 215:

und entsprechende Gleichungen für alle Stäbe. Sind nun die Stützenreaktionen durch r voneinander unabhängige Komponenten bestimmt, so haben wir 3k – r voneinander unabhängige Knotenpunktsverrückungen und im ganzen r + (3k – r) = 3k voneinander abhängige Unbekannte, ebensoviel als Gleichungen von der Form 1. Denken wir uns die S nach 5. in die 3k Gleichungen 1. eingesetzt, so enthalten diese von Unabhängigveränderlichen nur noch die erwähnten r Reaktionskomponenten (unter den X, Y, Z) und die 3k – r voneinander unabhängigen Verrückungen ξ, η, ζ so daß alle Unbekannten daraus bestimmt werden können. Nachdem dies geschehen, ergeben sich sämtliche Stabkräfte aus Gleichungen der Form 5. Vgl. [7] § 20, [15] § 82 und [16] A. 106. In der hiermit nachgewiesenen Bestimmtheit aller Stabkräfte und Stützenreaktionen eines beliebigen stabilen Fachwerks liegt zugleich ein Beweis der eindeutigen Bestimmtheit der Probleme des Gleichgewichts beliebiger fester Körper überhaupt, da man sich diese als stabile Punktsysteme mit »Stabkräften« S in den Verbindungsgeraden vorstellen kann. Vgl. am Schlusse des Artikels »Elastizitätsgesetz«.

Zweites Verfahren.

Auf Grund des zuerst von Menabrea [1] erkannten Prinzips der kleinsten Verschiebungsarbeit (s. unten) im wesentlichen von Castigliano eingeführt [6]. Bezüglich der folgenden Darstellung mit Berücksichtigung von Temperaturänderungen und kleinen Bewegungen der Stützpunkte s. [16] A. 94, 105, auch [15] § 85, und [13]. Es seien X eine gesuchte statisch unbestimmte Größe (überzählige Stabkraft oder Reaktionskomponente), U die Arbeit der mit ihren Endwerten konstant gedachten überzähligen Reaktionen während der eingetretenen Verrückungen, ∂ S die Aenderung einer Stabkraft S durch eine beliebige mit den Bedingungen des Fachwerks (Art der Auflager, statische Bedingungen u.s.w.) verträgliche Aenderung von X, und ∂ U eine ebensolche Aenderung von U, jedoch bei konstanten Verrückungen. Dann hat man zur Bestimmung von X:

worin die Summe Σ auf sämtliche Stäbe zu erstrecken ist. Die Berechnung eines beliebigen statisch unbestimmten Fachwerks auf Grund von 6. könnte nun beispielsweise wie folgt vor sich gehen: a) Auswahl der überzähligen Stabkräfte und Reaktionen X. b) Bildung der Ausdrücke sämtlicher notwendiger Stabkräfte S für die gegebenen äußeren Kräfte bei unbekannt eingeführten X, und der Arbeit U sämtlicher überzähligen Reaktionen für die angenommenen Verrückungen der Stützpunkte, c) Auf Grund dieser Ausdrücke Bildung der Differentialquotienten in 6. nach jedem der X und Einsetzung derselben in die Gleichungen 6., deren ebensoviele als Unbekannte X existieren (für S = X ist ∂S/∂X = 1, für eine überzählige Stabkraft differenziert nach einer andern ∂S/∂X = 0, da die überzähligen Größen als Unabhängig variable gelten), d) Berechnung der X aus den so entstandenen Gleichungen, e) Berechnung der wirklichen Stabkräfte der notwendigen Stäbe aus den unter b) erwähnten Ausdrücken, womit auch die etwa noch verlangten Stützenreaktionen durch rein statische Gleichungen, z.B. der Art 1., bestimmt werden. Wird angenommen, daß Bewegungen der Stützpunkte entweder gar nicht oder nur senkrecht zu den Stützenreaktionen eintreten, dann ist mit U = 0 auch die rechte Seite von 6. = 0. Will man jedoch z.B. für das Bogenfachwerk Fig. 1 den Horizontalschub H mit Berücksichtigung einer Aenderung der Spannweite um Δl berechnen (Ausweichen der Widerlager), dann hat man mit X = H:

Die S, ∂S/∂H würden im vorliegenden Falle am einfachsten nach den in Bd. 2, S. 162, gegebenen Formeln ausgedrückt, z.B. für die Obergurtstäbe der ersten Trägerhälfte S = Xm, ∂S/∂H = zm/hm u.s.w. Uebrigens ist H für das Fachwerk Fig. 1 bereits in Bd. 2, S. 164, 165, angeführt.

Sind alle τ = 0 und U = 0, dann lautet die Bedingung 6.:

Da nun D für τ = 0 die Verschiebungsarbeit des Fachwerks während der betrachteten Deformation darstellt (Verschiebungsarbeit [s.d.] = Arbeit zur Ueberwindung der inneren Kräfte) und wegen linearer Abhängigkeit der S von den X die zweite Derivierte ∂²D/∂X² = Σ s/EF (∂S/∂X)² positiv ist, so sind im Falle U = 0, τ = 0 alle überzähligen Größen eines statisch unbestimmten Fachwerks so bestimmt, daß die Verschiebungsarbeit ein Minimum ist (Prinzip der kleinsten Verschiebungsarbeit). Doch genügt die allgemeinere Bedingung 6. unabhängig von dieser Auffassung, und es ist zu beachten, daß das Prinzip von der kleinsten Verschiebungsarbeit nicht allgemein gilt.

Drittes Verfahren.

Von Mohr unmittelbar auf das Prinzip der virtuellen Verrückungen begründet [5], [30], vgl. auch [15], §§ 83, 84 und [16] A. 104. Es handle sich um ein beliebiges stabiles Fachwerk.[553] Das nach Entfernung der überzähligen Stäbe und Reaktionen verbleibende statisch bestimmte und stabile Fachwerk wird Hauptsystem genannt, während die notwendigen Stäbe und Reaktionen auch Hauptstäbe und Hauptreaktionen heißen. Hat das gegebene Fachwerk irgend welche Verrückungen erfahren und denkt man sich neben den Bedingungen, welche die Hauptreaktionen bestimmen (feste und verschiebbare Gelenkauflager, statische Beziehungen u.s.w.), die Längenänderungen der Hauptstäbe bekannt, so sind die neuen Längen und Lagen aller Stäbe bestimmt. Auch die Entfernungen l von nicht durch Hauptstäbe verbundenen Knotenpunkten A, B (Fig. 3) oder von Knotenpunkten A zu außerhalb des Fachwerks gelegenen, bezüglich dessen Anfangslage festen Punkten B haben im allgemeinen Aenderungen erfahren. Die Gesamtänderung einer solchen Entfernung AB = l setzt sich zusammen aus den Aenderungen, welche die Längenänderungen aller Hauptstäbe bei Einhaltung der Hauptreaktionsbedingungen einzeln ergeben (vgl. Koexistenz). Die Längenänderung Δl, welche von der Längenänderung Δs eines bestimmten Hauptstabes herrührt, findet sich, wenn man diesen allein seine Länge s ändern läßt und zusieht, welchen Einfluß dies auf l ausübt. Alle andern Hauptstäbe haben hierbei als starr zu gelten (ihre Δs gleich Null), und alle überzähligen Stäbe und Reaktionen dürfen wegbleiben. Denkt man sich unter diesen Umständen nur zwei äußere Aktivkräfte Q an A und B angebracht, welche in der Verbindungsgeraden von A, B auf Annäherung dieser Punkte wirken, so liefert 3. Q (q_a + q_b) + H = SΔs, unter H die virtuelle Arbeit der Hauptreaktionen durch die Q während etwaiger mit Δs eintretender Verrückungen ihrer Knotenpunkte verstanden. Da q_a + q_b = –Δl, so können wir einfacher setzen –QΔl + H = SΔs oder, wenn eingeführt wird

und a jene Arbeit der Hauptreaktionen für Q = 1 bedeutet: Δl – a = –gΔs. Erleiden beliebig viele Hauptstäbe Längenänderungen, so entspricht jedem derselben ein besonderes g und man erhält für die ganze Aenderung Δl von l:

worin die Summe Σ auf alle Hauptstäbe zu erstrecken ist und auch a die ganze Arbeit der Hauptreaktionen durch Q = 1 während des Entstehens der Δs bezeichnet. Liegt B außerhalb des Fachwerks, dann bedeutet f in 9. einfach die Verrückung des Knotenpunktes A in der Richtung Q (bei negativem f entgegengesetzt der angenommenen Q).

Meist läßt sich das Hauptsystem so wählen, daß a = 0 ist (Beispiele für von 0 verschiedene a s. [25], S. 13, [26], S. 25, 35). Dies trifft insbesondere immer dann zu, wenn das Hauptsystem ein Balkenfachwerk mit einer Oeffnung und frei drehbaren Enden ist, z.B. unten für Fig. 5–9. Wenn bei a = 0 für gleiche spezifische Längenänderungen (Längenänderungen pro Längeneinheit) aller Hauptstäbe auch AB = l sich im gleichen Verhältnis ändern müßte (wie die Spannweite in Fig. 1, wenn alle Stäbe Hauptstäbe sind), dann folgt aus 9. durch Multiplikation mit dem konstanten

wodurch mitunter Vereinfachungen ermöglicht werden.

Die Gleichungen 9. gelten für ganz beliebige der erwähnten AB = l, also z.B. auch dann, wenn die l nacheinander in die Richtungslinien aller überzähligen Stäbe und Reaktionen gelegt werden, womit wir ebensoviel Gleichungen der Form 9. als überzählige Größen erhalten, so daß die letzteren daraus bestimmt werden können, falls sie als einzige Unbekannte darin auftreten. Dies läßt sich aber für beliebige äußere Kräfte u.s.w. deshalb stets erreichen, weil unter den obenangeführten Voraussetzungen die in 9. auftretenden Δs der Hauptstäbe wie aller andern Stäbe durch 4. ausgedrückt sind, und hierin für jeden Hauptstab gilt:

worin A die rein statisch zu bestimmende Beanspruchung für die fraglichen äußeren Kräfte, wenn nur das Hauptsystem vorhanden wäre, X_I, X_II, X_III, ... die überzähligen Stabkräfte und Reaktionen und g_I, g_II, g_III, ... die obenerwähnten Beanspruchungen S = g für X_I = 1, X_II = 1, X_III = 1 u.s.w. Die einem bestimmten X entsprechenden g der einzelnen Hauptstäbe ergeben sich als Beanspruchungen S der letzteren, wenn an dem durch die Hauptstäbe und Hauptreaktionen allein gebildeten statisch bestimmten stabilen Fachwerk als äußere Aktivkräfte (s.d.) allein angebracht werden: falls X einem überzähligen Stabe AB entspricht, zwei Kräfte Q = X = 1, welche in der Verbindungsgeraden AB auf Annäherung der Punkte A, B wirken; falls X eine überzählige Reaktion bedeutet, eine Kraft Q = X = 1 an dem von X ergriffenen Knotenpunkte in der Richtung positiver X. – Nachdem alle überzähligen Stabkräfte und Reaktionen in der angeführten Weise auf Grund von 9. berechnet sind, finden sich die ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe aus den Gleichungen 11., deren ebensoviele als Hauptstäbe existieren. Auch die Hauptreaktionen R können durch das Hinzutreten der X Aenderungen erfahren, es läßt sich analog 11. setzen:

worin A der Wirksamkeit des Hauptsystems allein entspricht und g_I, g_II, g_III, ... die Werte R = g für X_I = 1, X_II = 1, X_III = 1 u.s.w. bedeuten; doch ergeben sich nach Ermittlung aller Stabkräfte die fehlenden Reaktionen im allgemeinen bequemer aus statischen Beziehungen, z.B. aus den Gleichungen 1. für die gestützten Knotenpunkte. – Mittels der vorstehenden Gleichungen lassen sich alle statisch unbestimmten Fachwerke berechnen. Zur Erläuterung des Vorgehens behandeln wir im folgenden die häufig vorkommenden Fälle, daß das Hauptsystem durch Entfernung[554] überzähliger Stäbe allein oder durch Entfernung überzähliger Reaktionen allein gebildet wird. Zur Abkürzung möge dienen:

Bei der Zahlenberechnung von Summen Σ, deren sämtliche Glieder den Faktor E oder a enthalten, kann natürlich für gleiches Material E bezw. a vor Σ gesetzt werden.

Fachwerke mit überzähligen Stäben allein. Das anfangs spannungslose Fachwerk sei unter Einwirkung beliebiger äußerer Kräfte und für je einen ganzen Stab gleichmäßiger Temperaturänderungen im Gleichgewicht. Wir nennen die anfänglichen Längen der Hauptstäbe s₁ s₂, s₃, ..., ihre ganzen Beanspruchungen S₁, S₂, S₃, ..., die anfänglichen Längen der überzähligen Stäbe s_I s_II, s_III, ..., ihre ganzen Beanspruchungen S_I S_II, S_III, ... Die Beanspruchungen der Hauptstäbe, welche durch die fraglichen Einwirkungen entstehen würden, wenn keine überzähligen Stäbe vorhanden wären, seien A₁, A₂, A₃, ... Hierzu kommen nun noch die Beanspruchungen infolge der Kräfte S_I, S_II, S_III, ... in den überzähligen Stäben. Erhalten die g der Hauptstäbe s₁, s₂, s₃, ..., welche Kräften Q = 1 an den Knotenpunkten eines bestimmten überzähligen Stabes entsprechen, den Index des letzteren neben denjenigen ihrer Hauptstäbe, so sind die ganzen Beanspruchungen der letzteren (vgl. 11.):

womit aus 9., wenn a = 0 für die Beanspruchungen der überzähligen Stäbe die zuerst von Mohr [5], 1875, S. 28, gegebenen Gleichungen folgen:

Die Summen Σ sind auf alle Hauptstäbe zu erstrecken. Man hat soviel Gleichungen der Form 14. als Hauptstäbe und soviel der Form 15. als überzählige Stäbe.

Häufig hat man es mit einem überzähligen Stabe oder mit zwei überzähligen Stäben zu tun. Im ersten Falle ergibt sich aus 15. die Beanspruchung desselben:

worin e und /#x03B1;τs außerhalb der Summen Σ dem überzähligen Stabe entsprechen. Im zweiten Falle erhält man mit den Bezeichnungen:

die Beanspruchung der überzähligen Stäbe:

Sind keine Temperaturänderungen zu berücksichtigen, so fallen selbstverständlich in 15., 16., 17. die Glieder mit τ weg. Wenn bei gleichen spezifischen Längenänderungen aller Hauptstäbe auch die überzähligen Stäbe ihre Länge im gleichen Verhältnis ändern müßten, wie dies z.B. bei Balkenfachwerken mit überzähligen Stäben zutrifft, dann hat man entsprechend 10. in 15., 16., 17.:

s_I = –Σsg_I, s_II = –Σsg_II, s_III = –Σsg_III, ...,

womit bei gleichen ατ aller Stäbe die mit τ behafteten Glieder wegfallen. Bei gleichem Material haben also in solchen Fällen gleiche Temperaturänderungen aller Stäbe keinen Einfluß auf die Beanspruchungen.

Die Berechnung eines Fachwerks mit überzähligen Stäben könnte nun beispielsweise wie folgt vor sich gehen: a) Auswahl der überzähligen Stäbe s_I, s_II, s_III, ... gewöhnlich mit Rücksicht auf möglichst bequeme Berechnung des verbleibenden Hauptsystems. b) Unter Voraussetzung der Wirksamkeit des letzteren allein Berechnung der Beanspruchungen der Hauptstäbe

c) Bildung der nur von den e, g, nicht von den A, τ abhängigen Summen Σ in 15. bezw. 16. oder 19. d) Berechnung der Beanspruchungen A₁, A₂, A₃, ..., welche in den Hauptstäben s₁, s₂, s₃, ... durch die wirklichen Aktivkräfte eintreten würden, wenn keine überzähligen Stäbe vorhanden wären, e) Berechnung der ganzen Beanspruchungen der überzähligen Stäbe nach 15. bezw. 16. oder 19. f) Berechnung der ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe nach 14. – Kommen verschiedene Beladungen zur Behandlung, so sind nur die Berechnungen d) bis f) zu wiederholen.

Fachwerke mit überzähligen Reaktionen allein. Das anfangs spannungslose Fachwerk sei wieder unter Einwirkung beliebiger äußerer Kräfte und für je einen ganzen Stab gleichmäßiger Temperaturänderungen im Gleichgewicht. Die Beanspruchungen der Stäbe s₁, s₂, s₃, ..., welche hierbei entstehen würden, wenn keine überzähligen Reaktionen vorhander wären, seien A₁, A₂, A₃ ... Hierzu kommen nun die Beanspruchungen infolge der überzähligen Reaktionen R_I, R_II, R_III, ... Erhalten die g der Stäbe s₁, s₂, s₃, ..., welche Kräften R_I = 1, R_II = 1 u.s.w. entsprechen, den Index des betreffenden R neben denjenigen ihrer Stäbe, so sind die ganzen Beanspruchungen der letzteren (vgl. 11.):

[555] womit nach 9. wenn α = 0 zur Berechnung der überzähligen Reaktionen:

Die Summen Σ sind auf alle Stäbe zu erstrecken, während f_I, f_II, f_III, ... die Verrückungen der durch R_I, R_II, R_III, ... ergriffenen Knotenpunkte in den Richtungen dieser R bedeuten (negativ, wenn entgegengesetzt den Richtungen R). Man hat soviele Gleichungen der Form 20. als Stäbe und soviele der Form 21. als überzählige Reaktionen.

Häufig sind eine, zwei oder drei überzählige Reaktionen vorhanden. Für eine überzählige Reaktion folgt aus 21.:

worin z.B. im Falle von Fig. 1 R = H, f = –Δl und für gleiche ατ aller Stäbe entsprechend 10. Σgατs = –ατl wären (vgl. Bd. 2, S. 164). Dies gilt übrigens, wenn keine überzähligen Stäbe vorhanden sind, nicht nur für ganz beliebige einfache Sprengbogenfachwerke mit Kämpfergelenken, sondern beispielsweise auch für den Fall Fig. 4, wenn l gleich der Summe der Spannweiten gesetzt wird (vgl. Bd. 2, S. 167), während für den Hängebögen Fig. 5 nur f = Δl anstatt f = –Δl wäre, da positive f stets der Richtung von R entsprechen. Für zwei überzählige Reaktionen liefern mit den Bezeichnungen 18. und

die Gleichungen 21.:

Im Falle dreier überzähligen Reaktionen ergeben sich mit den Bezeichnungen 18., 23. und

die Gleichungen 21.:

Mitunter lassen sich diese Formeln mit Rücksicht auf die Symmetrie der betreffenden Fachwerke vereinfachen. So hätte man bei symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte angeordneten Stäben (selbstverständlich bei sonst beliebigen Fachwerkformen) im Falle von Fig. 6 in 24. a = a, und in den Fällen von Fig. 7, 8, 9 in 27. r = a, n = e, womit z.B.:

Sollen Bewegungen der Stützpunkte in den Richtungslinien der R nicht in Betracht kommen, so sind in 21., 22., 23., 26. die betreffenden f gleich Null zu setzen. Soll der Einfluß der äußeren Aktivkräfte (Lasten u.s.w.) ohne Rücksicht auf Temperaturänderungen festgestellt werden, so sind die Glieder mit τ zu streichen. Bei Berechnung des Einflusses der f oder τ allein sind alle A gleich Null. Wenn sich bei gleichen spezifischen Längenänderungen aller Stäbe auch die AB = l_I, l_II, l_III, .... irgend welcher überzähligen Reaktionen R in gleichem Verhältnisse ändern müßten, dann gelten zufolge 10. die entsprechenden der folgenden Gleichungen:

l_I = –Σsg_I, l_II = –Σsg_II, l_III = –Σsg_III, ...,

womit die Ausdrücke für den Einfluß von Temperaturänderungen bei gleichen ατ aller Stäbe sich vereinfachen. Dies trifft z.B. in den Fällen Fig. 1, 4, 5 für R und in den Fällen Fig. 8, 9 für R_II zu, während für durchlaufende Balkenfachwerke wie Fig. 6, 7 die Summen Σsg_I = Σsg_II = Σsg_III = ... = 0 sind, [16] S. 262, und also gleiche Temperaturänderungen aller Stäbe bei gleichem Material weder Stabkräfte (s. oben) noch Stützenreaktionen erzeugen.[556]

Die Berechnung eines Fachwerks mit überzähligen Reaktionen könnte nun beispielsweise wie folgt vor sich gehen: a. Auswahl der überzähligen Reaktionen, gewöhnlich mit Rücksicht auf möglichst bequeme Berechnung des verbleibenden Hauptsystems. b. Unter Voraussetzung der Wirksamkeit des letzteren allein Berechnung der Stabkräfte in

c. Bildung der nur von den e, g, nicht von den A, τ, abhängigen Summen Σ in den Gleichungen für die R. d. Berechnung der Beanspruchungen A₁, A₂, A₃, ..., die in den Stäben s₁, s₂, s₃, ... durch die wirklichen Aktivkräfte (Lasten u.s.w.) eintreten würden, wenn keine überzähligen Reaktionen vorhanden wären, e. Berechnung der überzähligen Reaktionen nach 21. bezw. 22., 24. oder 27. f. Berechnung der ganzen Stabkräfte nach 20. – Kommen verschiedene Belastungen zur Behandlung, so sind nur die Berechnungen d. bis s. zu wiederholen.

Formänderungen. Stabzugverfahren.

Das folgende betrifft statisch bestimmte und statisch unbestimmte stabile Fachwerke. Die Verrückung f eines beliebigen Knotenpunktes in beliebiger Richtung läßt sich für jeden gegebenen Belastungsfall aus 9. mit Δs nach 4. berechnen, wobei S, τ die Stabkräfte und Temperaturänderungen für jenen Belastungsfall bedeuten und a nach obigem meist Null zu setzen sein wird (vgl. Einsenkung). Bei größerer Stabzahl ist diese Rechnung etwas langwierig, so daß man nach Vereinfachungen gesucht hat. Zu diesen gehört das sogenannte Stabzugverfahren nach Müller-Breslau, bei dem man nur einen einfachen Stabzug zu berücksichtigen hat, und da hierdurch auch die Berechnung statisch unbestimmter Stabkräfte und Stützenreaktionen erheblich abgekürzt werden kann [24], [25], [26], so soll das Verfahren nachstehend kurz dargestellt werden (vgl. Anhang zu [24]).

Es handle sich um die horizontale Vorrückung Δxm und die vertikale Verrückung Δym des beliebigen Knotenpunktes m eines ebenen Fachwerks in Hinsicht eines Koordinatensystems mit Ursprung im Bezugsknotenpunkte 0, horizontaler x-Achse und vertikaler y-Achse in der Trägerebene. Man betrachte einen einfachen ununterbrochenen Stabzug 0 1 2 ... m zwischen 0 und m, für den im spannungslosen Zustande s₁, s₂, ... s_m die Stablängen, ß₁, ß₂, ... ß_m die Neigungswinkel der in der Richtung von 0 nach m beschriebenen Stabachsen mit der positiven Richtung der x-Achse und alt α₁, α₂, ... α_{m – 1} die Winkel zwischen den Stabachsen 1 und 2, 2 und 3, ... m – 1 und m (Fig. 10), während Δs_i, Δß_i, Δα_i die Aenderungen von s_i, ß_i,α_i bedeuten. Dann sind die anfänglichen Koordinaten des Knotenpunktes m:

Hiervon ausgehend erhält man, am einfachsten durch Differentiation, Ersetzung der d durch Δ und Umformung, bei Beachtung von

und mit den Bezeichnungen:

die verlangten Verrückungen des Knotenpunktes m:

Wegen x₀ = 0, y₀ = 0 und mit

können wir auch setzen:

oder mit den Bezeichnungen:

noch übersichtlicher:

Man nennt die Größen Q_i, P_i elastische Gewichte. Nach 39. ist die horizontale Verrückung Δx_m des Knotenpunktes m gleich dem Momente der in den Knotenpunkten 0 bis m – 1[557] horizontal wirkenden elastischen Gewichte Q_i in bezug auf Punkt m, und die vertikale Verrückung Δym des Knotenpunktes m gleich dem Momente der in den Knotenpunkten 0 bis m – 1 vertikal wirkenden elastischen Gewichte P_i in bezug auf m.

Die bisherigen Gleichungen sind an keine Beschränkungen in betreff des Bezugsknotenpunktes 0 und sonstiger Knotenpunkte gebunden. Hat man nun beispielsweise für einen durch Fortsetzung des Stabzuges von 0 bis m über m hinaus erreichbaren Knotenpunkt n die vertikale Verrückung Δyn = 0 (Auflagerknotenpunkt), dann liefert 33. mit der Bezeichnung 38. für m = n:

und damit wieder 33. für beliebige Knotenpunkte m des Stabzuges von 0 bis n:

Hiernach ist in diesem Falle die vertikale Verrückung von m dargestellt durch das Moment bei x = x_m

eines einfachen Balkenträgers der Spannweite l = x_n mit beiderseits frei drehbaren Enden (Fig. 11) durch die elastischen Gewichte P = P_i bei a = x_i (vgl. im Art. »Balken«, Bd. 1, S. 504, Gleichung 11. nach Einsetzen von V aus 10.).

In den angeführten Formeln sind die Längenänderungen Δs_i der Stäbe für beliebige Stabkräfte S oder Stabspannungen σ = S/F und beliebige Temperaturänderungen τ durch 4. bekannt. Bei Berechnung der Aenderungen Δα_i von Winkeln α_i = 180 + ß_{i + 1} – ß_i ist zu beachten, daß alle α_i einem Stabdreieck angehören oder lieh als Summen oder Differenzen von Stabdreieckswinkeln erhalten lassen. Es genügt also, die Aenderung eines beliebigen Winkels eines Stabdreieckes auszudrücken. Bei den in Fig. 12 angedeuteten Bezeichnungen hat man die Aenderung des Winkels a:

und wenn den Stäben a, b, c gleiche E, a, τ und die Spannungen σ_a, σ_b, σ_c entsprechen, mit Rücksicht auf 4.:

Bezüglich andrer Darstellungen des Stabzugverfahrens s. [24], [25], S. 86, [26], S. 36.

Literatur: [1] Menabrea, Nouveau principe sur la distribution destensions dans les systemes élastiques, Comptes rendus etc., 1858, XLVI, S. 1056 (s. auch 1884, XCVIII, p. 714). – [2] Maxwell, On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames, Philosophical Magazine, 1864, XXVII, S. 294. – [3] Schulze, Theorie einer Bogenbrücke, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingen., 1865, S. 537. – [4] Mohr, Beitrag zur Theorie des Bogenfachwerks, Zeitschr. d. Arch.- u. Ingen.-Ver. zu Hannover, 1874, S. 223; 1881, S. 243. – [5] Ders., Beitrag zur Theorie des Fachwerks, ebend., 1874, S. 509; 1875, S. 17. – [6] Castigliano, Theorie de l'equilibre des systemes élastiques, Turin 1880 (deutsch von Hauff, Wien 1886). – [7] Foeppl, Theorie des Fachwerks, Leipzig 1880. – [8] Winkler, Theorie der Brücken, II: Theorie der gegliederten Balkenträger, Wien 1881. – [9] Fränkel, Das Prinzip der kleinsten Arbeit der inneren Kräfte elastischer Systeme und seine Anwendung auf die Lösung baustatischer Aufgaben, Zeitschr. d. Arch.- u. Ingen.-Ver. zu Hannover, 1882, S. 63. – [10] Allievi, Equilibrio interno delle pile metalliche secondo le leggi della deformazione elastica, Roma 1882 (deutsch von Tölz, Wien 1888). – [11] Melan, Ueber den Einfluß der Wärme auf elastische Systeme, Wochenschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Ver., 1883, S. 183, 202. – [12] Ders., Beitrag zur Berechnung statisch unbestimmter Stabsysteme, Zeitschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Ver., 1884, S. 100. – [13] Weyrauch, Arbeitsbedingungen für statisch unbestimmte Systeme, Wochenbl. f. Arch. u. Ingen., 1884, S. 290. – [14] Krohn, Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen, Zeitschr. d. Arch.- u. Ingen.-Ver. zu Hannover, 1884, S. 269. – [15] Weyrauch, Theorie elastischer Körper, Leipzig 1884. – [16] Ders., Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885. – [17] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Civilingen., 1885, S. 209. – [18] Land, Die Gegenseitigkeit elastischer Formänderungen, Wochenbl. s. Baukunde, 1887, S. 14, 24, 33. – [19] Ders., Beitrag zur Ermittlung der Biegungslinien ebener elastischer Stabwerke, Civilingen., 1889, S. 377. – [20] Zschetzsche, Fachwissenschaftliche Erörterungen zum Brückenwettbewerb in Bonn, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingen., 1895, S. 1105, 1196. – [21] Geusen, Die Berechnung der Ständer eiserner Wandfachwerke, ebend., 1898, S. 69, 88; 1900, S. 625, 708. – [22] Foeppl, Vorlesungen über technische Mechanik, II: Graphische Statik, Leipzig 1900, S. 194, 319. – [23] Handbuch der Ingenieurwissenschaften, II: Der Brückenbau, 2. Abteilung (Theorie der eisernen Balkenbrücken von Steiner), Leipzig 1901, S. 225, 241, 267, 278, 342. – [24] Frank, Ueber die analytische Bestimmung der elastischen Verrückungen von Fachwerken und vollwandigen Trägern mit Anwendung auf die Berechnung von statisch unbestimmten Systemen, Stuttgart 1900 (Dissertation mit Anhang von Weyrauch). – [25] Müller-Breslau, Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Bd. 2, 1. Abteilung: Formänderungen ebener Fachwerke, Untersuchung der ebenen statisch unbestimmten Fachwerke, Leipzig 1903. – [26] Ders., Neuere Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, Leipzig. 1904. – [27] Ostenfeld, Technische Statik, Leipzig 1904, S. 213, 311, 378. – [28] Dietz, Die Kaiser Wilhelm-Brücke über die Wupper bei Müngsten, Berlin 1904. – [29] Sachs, Zur Berechnung räumlicher Fachwerke, allgemeine [558] Formeln für statisch bestimmte und insbesondere statisch unbestimmte Kuppel-, Zelt- und Turmdächer, Berlin 1905. – [30] Mohr, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, Berlin 1906, S. 343. – S. auch Fachwerke, Bogenfachwerke, Balkenfachwerke, Gegenseitigkeit, Träger, zusammengesetzte, N ebenspannungen.

Weyrauch.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4., Fig. 5.

Fig. 6., Fig. 7.

Fig. 8., Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12.