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Hängebrücken [1]

[710] Hängebrücken. Werden zwei oder mehrere Ketten (s.d.) über eine Anzahl Stützpfeiler (Pylonen) gelegt und zum Tragen einer Brückenbahn an Hängestangen (Tragstangen) benutzt, so entsteht eine gewöhnliche Hängebrücke (s. Fig. 1, 2 und die Darstellungen im nächsten Artikel, vgl. Hängebrücken, feste). Die Lagerung der Ketten über den Pylonen pflegt auf horizontal verschiebbaren Sätteln und ihre Verankerung in besonderen Widerlagern zu erfolgen, da die Befestigung an den Köpfen der Stützpfeiler zu ungünstig für die Stabilität der letzteren wäre. Die Kettenstücke zwischen den Stützpfeilern und Widerlagern können nur durch ihr eignes Gewicht belastet sein (Fig. 1) oder noch einen Teil der Fahrbahn tragen (Fig. 2); in ersterem Falle heißen sie Spannketten (Rückhaltketten), zum Unterschiede von den Tragketten. Da die Ketten aus einzeln gelenkartig verbundenen geraden Stäben (Stabketten, Fig. 1); oder aus Drahtseilen (Drahtkabeln, Fig. 2) bestehen können, so hat man die Hängebrücken in Kettenbrücken und Kabelbrücken unterschieden.

Die Möglichkeit der Bewältigung größter Spannweiten durch Hängebrücken und die größere Billigkeit der letzteren auch in andern Fällen sind in erster Linie durch die hervorragenden Festigkeitseigenschaften des jetzt erhältlichen Stahldrahts bedingt. Während bis Anfang der siebziger Jahre des vorigen Jahrhunderts die Zugfestigkeit des Drahtes für Brückenkabel nicht wesentlich über 7000 kg pro Quadratzentimeter hinausging, wurde von Röbling für die 1877[710] bis 1879 hergestellten Kabel der Brooklynbrücke über den East-River in New York erstmals Gußstahldraht verwendet, welcher bei 11250 kg Fettigkeit und 5280 kg Elastizitätsgrenze ohne Herabsetzung der rechnungsmäßigen Sicherheit Beanspruchungen bis 3300 kg pro Quadratzentimeter gestattete. Seither wurde zu Brückenkabeln geeigneter Gußstahldraht mit Fertigkeiten von 12000–15000 kg bei 6000–7000 kg Elastizitätsgrenze, 2–4% Dehnung und 2100000 bis 2200000 kg Elastizitätsmodul des einzelnen Drahtes hergestellt. Für die neue Williamsburgbrücke in New York [34], [36], S. 289, beispielsweise war Draht von 14000 kg pro Quadratzentimeter Fettigkeit vorgeschrieben, der Beanspruchungen bis zu etwa 4400 kg pro Quadratzentimeter auszuhalten hat (die Proben ergaben durchschnittliche Fertigkeiten von 15750 kg). Versuche mit Drähten und Drahtseilen s. [9], [16], [17], [29], [35], S. 82, [36], S 228, vgl. Drahtprüfungen, Drahtseile, Kabel für Brücken.

Für die Theorie der Hängebrücken gelten die Drahtseile als vollkommene Ketten, d.h. als Stäbe mit stetig aufeinander folgenden reibungslosen Gelenken in der Achse. Den Stabketten werden ebenfalls reibungslose Achsgelenke und äußere Kräfte nur in letzteren angreifend zugeschrieben. Nebenspannungen (s.d.) durch Reibungen und Biegungswiderstände sind, wie in andern Fällen, eventuell nachträglich zu berücksichtigen (s. z.B. [36], S. 16, 45, 208). Unter den erwähnten Voraussetzungen können in den Kettenquerschnitten niemals Biegungsmomente entstehen (M_x = 0); die resultierende Beanspruchung jedes Querschnitts greift in der Achse an und wirkt tangential der Kette (dM_x/ds = T_x = 0, s. Bogen, Bd. 2, S. 142). Demgemäß ist jeder Kettenquerschnitt bei jeder Belastung gleichmäßig beansprucht, die Widerstandsfähigkeit des Materials also am besten ausgenutzt. Hierin liegt der zweite Hauptgrund für die Möglichkeit der Erreichung größter Spannweiten durch Hängebrücken, vgl. [27].

Wenn die Lallen unmittelbar an allein vorhandenen Ketten wirkten, so könnten fortwährend Aenderungen der Kettenform entstehen, weil eben nach dem oben Gesagten diejenige Form entstehen muß, bei welcher die Kettenachse überall mit den resultierenden Schnittkräften zusammenfällt. Um solche Schwankungen zu vermeiden, wendet man sogenannte Versteifungsträger an (Fig. 1, 2), deren Aufgabe darin besteht, die auftretenden Lasten so auf die Kette zu verteilen, daß diese ihre Form nicht zu ändern braucht, abgesehen selbstverständlich von den unvermeidlichen elastischen Deformationen. In der Regel wird die Kettenform parabolisch gewählt und bilden die Versteifungsträger einfache Balkenträger mit einem fetten und einem horizontal frei verschiebbaren Gelenkauflager (s. Balken, einfache, Balkenfachwerke, Parallelträger, Fachwerke mehrfachen Systems u.s.w.); doch sind auch Anwendungen durchlaufender Balken und von Bogen nicht ausgeschlossen [35], S. 59, 61, [36], S. 218. In neuerer Zeit wurde dem erwähnten gewöhnlichen Versteifungsträger mitunter noch ein Gelenk eingeschaltet [35], S. 5, wodurch eine statisch bestimmte Trägerart entsteht, d.h. die Berechnung aller Stützenreaktionen von Kette und Balken aus rein statischen Beziehungen (ohne Zuhilfenahme der Elastizitätslehre) ermöglicht wird. Bei Projektierung von Hängebrücken pflegen für die einzelnen Oeffnungen gegeben zu sein oder sind zunächst anzunehmen: die Spannweite l, die Differenz k der Stützhöhen, die Tiefe t des Kettenscheitels unter dem höchsten Stützpunkt und die in Betracht kommenden Verkehrslasten. Wir fassen im folgenden neben den allgemeinen Beziehungen besonders die einfachsten und praktisch wichtigsten Fälle ins Auge, im übrigen auf die angeführte Literatur verweisend.

a) Ketten, Kabel. Es handle sich um eine Oeffnung von der Spannweite l und der Höhendifferenz k der Stützpunkte (Fig. 3). Ursprung der Koordinaten im höchsten Stützpunkt, x-Achse horizontal, positive Richtung der y-Achse nach unten, für x = l ist y = k. An beliebigen Stellen a₁, a₂ ... mögen beliebige (vertikale) Lasten P₁ P₂ ... angreifen, wobei die P auch unendlich klein und die Abszissen a nur um Differentiale verschieden sein können (stetig verteilte Lasten, s. Belastung der Träger). Bezeichnen H die von dem Auflager 0 oder dem angrenzenden Kettenstücke ausgehende Horizontalreaktion im Querschnitt 0 der betrachteten Oeffnung (Horizontalschub), und V, V' die durch die betrachtete Oeffnung bedingten Teile der Vertikalreaktionen bei 0 und l, dann hat man:

und die Horizontalkraft, Vertikalkraft und resultierende Schnittkraft im Querschnitt x, welche wir stets auf die Fläche links von x beziehen (Fig. 4):

womit:

Die Kraft R_x wirkt als Zug in der Kettenachse, für welche man hat:

[711] und da

so tritt die größte Kettenkraft beim größten φ, d.h. in praktischen Fällen immer als R bei der höchsten Stütze ein. Bezeichnet Y die vertikale Abweichung eines Kettenpunktes von der Verbindungsgeraden der Stützpunkte (Fig. 3), so läßt sich die Gleichung der Kettenlinie anstatt durch 4. auch ausdrücken:

Wird für x = l/2 = m gesetzt Y = f, so liefert diese Gleichung:

und sind x = n, y = t die Koordinaten des Kettenpunktes, für welchen tgφ = O, dann hat man:

Für gleich hohe Stützpunkte (k = 0) und symmetrische Belastung liegt der Punkt n selbstverständlich in der Mitte der Oeffnung (n = m, t = f).

Nach vorgehenden Gleichungen entspricht im allgemeinen jeder bestimmten Lastverteilung eine bestimmte Form der Kette, während bei bestimmter Kettenform nach 7. der Horizontalschub und damit nach 5. alle Beanspruchungen der Kette mit der Größe der Lasten wachsen. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit, wie sie bei Berechnung der Beanspruchungen der Kette angenommen zu werden pflegt, gehen obige Gleichungen in die folgenden über (s. Belastung der Träger):

wonach speziell für φ bei x = 0 und l:

Die Kettenlinie ist in diesem Fall eine Parabel mit vertikaler Achse (Fig. 5). Bei gleich hohen Stützpunkten (k = 0) liegt der Punkt φ = 0 in der Mitte (n = m, t = f); bei verschieden hohen Stützpunkten hätte man z.B. bei gegebener Ordinate t des Punktes φ = 0 dessen Abszisse n und damit den Pfeil l:

Für Tragketten ist stets der Punkt x = n, y = t, φ = 0 der tiefste Punkt der Kette (Fig. 5); für Spannketten dagegen liegt derselbe nicht mehr innerhalb der Spannweite (Fig. 6), und man hat als tiefsten Punkt x = l, y = k, φ = φt. – Andre spezielle Beladungen s. Ketten, Kettenlinien.

b) Versteifungsträger. Wir ziehen nur Versteifungsträger mit einem festen und sonst horizontal frei verschiebbaren Gelenkauflagern in Betracht (einfache und durchlaufende Balken). Bezüglich spezieller Behandlung durchlaufender Versteifungsbalken und von Bogen als Versteifungsträgern s. [28], I, S. 419 und II, S. 418, 433, [35], S. 52, 61, [36], S. 26, 34, 38, 43. Für einen gewissen Normalzustand, welchem die gewählte Form der Kette entspricht (bei parabolischer Kette für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last und normale Temperatur), fällt dem Versteifungsträger keine Aufgabe bezüglich der Kette zu. Kommen jedoch weitere Lasten O₁, O₂, ... bei beliebigen Abszissen a₁, a₂, ... zunächst auf den Versteifungsträger (Fig. 7), so sind diese auf die Kette so zu verteilen, daß letztere ihre Form nicht zu ändern braucht. Durch die Q und sonstige Einwirkungen (Temperaturänderungen u.s.w.) werden für den Versteifungsträger Stützenreaktionen A, A', für die Kette aber infolge der an den Tragstangen wirkenden neuen Lasten P_1, P₂, ... Vertikalreaktionen V_z, V'_z und ein Horizontalschub H_z hervorgerufen. Es ist festzuhalten, daß die Q u.s.w. zwar die ganzen Beanspruchungen und Stützenreaktionen des Versteifungsträgers liefern, wenn[712] dessen Eigengewicht mit zur Normalbelastung gehört, aber erst mit den Beiträgen letzterer die ganzen Beanspruchungen und Stützenreaktionen der Ketten. Beispielsweise sind im ganzen:

unter H_n, V_n, V'_n die Beiträge der Normalbelastung zu H, V, V' verstanden. Bezeichnen für den Versteifungsträger U, U' diejenigen Vertikalreaktionen bei 0 und l und M_x, W_x diejenigen Werte des Moments M_x und der Vertikalkraft W_x in einem beliebigen Querschnitt x, welche durch die Q erzeugt würden, wenn keine Kette (und auch kein Zwischengelenk, vgl. c) vorhanden wäre, so hat man unter Mitwirkung der Kette:

Die von den Q herrührenden Vertikalreaktionen der Kettenstützen sind:

(φt negativ), und die entsprechende Vertikalkraft und Axialkraft im Querschnitt x der Kette:

Die Verteilung der Q auf die Kette bei der vorausgesetzten Wirksamkeit des Versteifungsträgers erfolgt also derart, daß

woraus auch die auf eine Tragstange kommende Last zu entnehmen ist.

Bei parabolischer Kette hat man nach 19. mit Rücksicht auf 11., 12:

die Q werden also gleichmäßig auf die ganze Spannweite verteilt. Mit Rücksicht auf 11., 12. lassen sich auch die andern vorstehenden Gleichungen für parabolische Ketten spezialisieren. Beispielsweise erhält man:

und die ganze Beanspruchung einer Tragstange, wenn λ den auf sie entfallenden Teil der Spannweite und T_n ihre Beanspruchung durch die Normalbelastung bedeuten:

Reicht der Versteifungsträger nur über eine Oeffnung, so hat man in 15., 16. (Bd. 1, S. 504):

welche Ausdrücke sich für stetig verteilte Lasten noch spezialisieren lassen (s. Belastung der Träger), Beispielsweise erhält man für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von q pro Längeneinheit:

Die gegebenen Gleichungen zeigen, daß alle Beanspruchungen der Kette und des Versteifungsträgers berechnet werden können, sobald der Horizontalschub H_z der Kette bekannt ist. Dieser ist jedoch bei einfachem Versteifungsträger nur statisch bestimmt, wenn ein Zwischengelenk eingeschaltet wird. Bei durchlaufendem Versteifungsträger wären ebensoviel Zwischengelenke einzuschalten, als Oeffnungen vorhanden sind [28], I, S. 419. Sofern für Versteifungsbalken auch negative Stützenreaktionen entstehen können, ist durch Verankerung für die Möglichkeit von oben nach unten wirkender Stützenreaktionen ohne Aenderung der sonstigen Beweglichkeit der Auflager Sorge zu tragen.

c) Einfache Versteifungsträger mit Zwischengelenk. Der Versteifungsbalken reiche nur über eine Oeffnung und erhalte an beliebiger Stelle x = v, wo Y = w ist, ein Zwischengelenk (Fig. 8). Dann folgt aus der ersten Gleichung 16. wegen M_v = 0 der Horizontalschub:

und wenn, wie sich auch bei verschiedenen Stützhöhen empfehlen wird, das Gelenk in die Mitte der Spannweite gelegt wird, mit v = l\2 = m, Y = f:

Speziell für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von q pro Längeneinheit folgen in dem erwähnten allgemeineren und spezielleren Falle:

[713] Bei parabolischer Kette erhält man mit dem letzten Ausdrucke und 12., 25. aus 15., 16.:

A = A' = 0, M_x = 0, W_x = 0,

29.

so daß der Versteifungsträger mit Zwischengelenk in der Mitte bei parabolischer Kette durch beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Lasten q überhaupt nicht beansprucht wird (abgesehen von Beanspruchungen durch die Normalbelastung). Man braucht also bei der Berechnung der Ketten für eine solche Belastung auch keine Rücksicht auf den Versteifungsträger zu nehmen. Gleiches gilt für die Berechnung der Tragstangen, deren ganze Beanspruchungen nach 22. mit 28.:

T = T_n + qλ.

30.

Dabei ist allerdings ein Versteifungsträger vorausgesetzt, welcher nach den Formeln für vollwandige Träger berechnet werden soll, wie dies besonders bei doppeltem System mit gekreuzten Diagonalen häufig zutreffen wird.

Bei Hängebrücken mit mehreren Oeffnungen und einfachen Versteifungsträgern darf um der Versteifungsträger einer Oeffnung ein Zwischengelenk erhalten. Die Lasten Q dieser Oeffnung tragen allein zum Horizontalschub H_z bei, welcher dann neben den betreffenden H_n in allen Oeffnungen zur Wirkung kommt. Da in den übrigen Oeffnungen die Lasten Q kein H_z liefern, so verhalten sich deren Versteifungsträger ihren Q gegenüber wie gewöhnliche Balkenträger ohne Kette (in den Formeln unter b) H_z = 0). Die Lasten Q der Oeffnung mit Zwischengelenk dagegen, weil ein H_z erzeugend, tragen nach den Formeln unter b) auch zur Beanspruchung der Versteifungsträger in den übrigen Oeffnungen bei, und zwar um so mehr, je größer H_z, so daß die Grenzwerte dieser Beiträge zugleich mit den Grenzwerten von H_z eintreten. – Bei einer wie bei mehreren Oeffnungen hat die Einschaltung des Zwischengelenks die Folge, daß der Horizontalschub H_z und damit alle Beanspruchungen durch gleichmäßige, wenn auch verschiedene Temperaturänderungen von Kette, Balken und Tragstangen und kleine Bewegungen der Kabelsättel oder Kabel (Ueberziehen) nicht beeinflußt werden.

d) Einfache Versteifungsträger ohne Zwischengelenk. In diesem Falle erhält man auf Grund der gewöhnlichen Biegungstheorie (s. Biegung) zur Bestimmung des Horizontalschubs H_z durch beliebige Belastung, eine gleichmäßige Temperaturänderung τ der Kette, eine Aenderung Δl der Spannweite, ein Ueberziehen der Kette in die betrachtete Oeffnung um Δs (s normale Kettenlänge) und Aenderungen Δh_x der Tragstangenlängen h_x [10], S. 129:

worin E, F, α Elastizitätsmodul, Querschnitt und Ausdehnungskoeffizient der Kette, E, J Elastizitätsmodul und Trägheitsmoment des Versteifungsträgers, für Zunahmen τ, Δl, Δs, Δh_x positiv zu rechnen und die Tragstangen in stetiger Folge gedacht sind. Eine gleichmäßige Temperaturänderung des Versteifungsträgers hat keinen Einfluß auf H_z. Werden die einfachsten und gebräuchlichen Annahmen gemacht, daß die Kette parabolisch, der Einfluß von Δh_x zu vernachlässigen und EF cosφ, EJ konstant (Mittelwerte), so liefert 31. mit den Bezeichnungen:

den Horizontalschub durch beliebige Belastung:

durch eine beliebige Temperaturänderung τ der Kette:

durch eine Aenderung der Spannweite um Δl:

und durch ein Ueberziehen der Kette um Δs;

Für manche Zwecke (vorläufige Berechnungen u.s.w.) kann in 33. β = 0 und mit dem Mittelwert ⁷/₆l² des letzten Klammerausdrucks

gesetzt werden. Durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von q pro Längeneinheit entsteht nach 33. (bei der vorausgesetzten parabolischen Kette):

und damit nach 15., 16. mit 12., 25 für den Versteifungsbalken:

während nach 22. mit 38. die ganze Beanspruchung einer Tragstange:

Bei etwaiger Berücksichtigung der Längenänderungen der Tragstangen sind auch die Längenänderungen der Pylonen einzuschließen [15], S. 47, [36], S. 22. Bezüglich der Berücksichtigung der Längenänderungen der einzelnen Stäbe bei Fachwerken als Versteifungsträger s. [28], II, S. 265, 289, 418, [35], S. 17, 52 und Träger, zusammengesetzte, Fachwerke, statisch unbestimmte.[714]

e) Mehrere Oeffnungen. Die bis jetzt gegebenen Beziehungen gelten für jede Oeffnung einer Hängebrücke, gleichgültig, ob letztere eine oder mehrere Oeffnungen besitzt. Wie bei Anwendung eines Zwischengelenks die Lasten Q der Oeffnung mit Zwischengelenk die übrigen Oeffnungen beeinflussen, wurde am Schlusse von c) erwähnt. Eine weitergehende gegenseitige Beeinflussung der einzelnen Oeffnungen findet im Falle eines Zwischengelenks nicht statt.

Anders bei Versteifungsträgern ohne Zwischengelenk. Wenn in diesem Falle die Ketten oder Kabelsättel über den Zwischenstützen nicht befestigt sind, so kann die Belastung und Temperaturänderung der Kette in einer Oeffnung wegen der dadurch bedingten Δl, Δs nach 35., 36. auch Einfluß auf den Horizontalschub H_z (und damit auf die Beanspruchung von Kette und Versteifungsbalken) in andre Oeffnungen ausüben. Bei einer von Schwend berechneten Brücke über den Rhein von 80 m, 209 m und 80 m Spannweiten betrug das größte Δl der ersten Oeffnung 8 cm [16], S. 63. Man könnte diese Verschiebungen bei Betrachtung einer Oeffnung ohne Berücksichtigung der übrigen Oeffnungen in Rechnung ziehen (unter den Voraussetzungen von d) auf Grund von 35., 36.), wenn die Grenzwerte von Δl, Δs durch Beobachtung oder Schätzung festgestellt würden, andernfalls muß die Theorie eingreifen. Gewöhnlich ist die Anordnung derart, daß kein Ueberziehen der Kette (Δs = 0), wohl aber nach Fertigstellung der Brücke eine horizontale Verschiebung der Kabelsättel stattfinden kann. Von der Reibung abgesehen, übertragen die Ketten alsdann nur vertikale Kräfte auf die Pylonen, während der ganze Horizontalschub H = H_n + H_z in allen Oeffnungen gleich groß ist. Dies sei vorausgesetzt; H_n möge den Horizontalschub im Normalzustand (s. oben b), vor Verschiebungen Δl mit Wirksamkeit des Versteifungsträgers bezeichnen. Der Wert von H oder H_z findet sich aus der Bedingung, daß die Aenderung der Summe aller Spannweiten L = l₁ + l₂ ... + l_n sein soll:

Wird der Horizontalschub auf Grund parabolischer Kettenform unter den für 32.–40. gemachten Voraussetzungen berechnet, so drückt sich mit den Bezeichnungen

zunächst in jeder Oeffnung l mit Versteifungsträger aus (für Spannketten s. unten):

und da

so liefert 41. zunächst für den Fall, daß jede Oeffnung einen Versteifungsträger enthält, den ganzen Horizontalschub in allen Oeffnungen im allgemeinsten Falle:

worin die vier Summanden die Beiträge der Normalbelastungen (wenn die H_n verschieden), der Lasten Q, der Temperaturänderungen τ und einer etwaigen Aenderung ΔL der Gesamtlänge L darstellen, welche Aenderung jedoch unter gewöhnlichen Verhältnissen ausgeschlossen sein wird. Ist hiernach H für einzelne oder alle Einwirkungen berechnet, so ergeben sich die H_z der einzelnen Oeffnungen aus 44., womit die Gleichungen unter b) in jeder Oeffnung anwendbar werden. Die Δl der einzelnen Oeffnungen würden sich aus 43. bestimmen lassen; sie können z.B. bei Berechnung der Einsenkungen interessieren. Sind die H_n in allen Oeffnungen gleich groß, was immer zutrifft, wenn die Kabelsättel schon während des Aufbringens der Normalbelastung (vor Wirksamkeit der Versteifungsträger) frei verschiebbar sind, aber auch in andern wichtigen Fällen eintritt, dann liefert 45. mit 44. unmittelbar H_x, nämlich durch beliebige Belastungen und beliebige Temperaturänderungen aller Oeffnungen:

Für eine auf die ganze Länge einer beliebigen Oeffnung l gleichmäßig verteilte Last von q pro Längeneinheit entspricht dieser Oeffnung in 45., 46. (s. Belastung der Träger):

Zu beachten ist, daß die Kettenabschnitte von den letzten Zwischenstützen nach den Widerlagern auch als Spannketten (ohne einen Teil der Fahrbahn zu tragen und ohne Versteifungsträger) besondere Oeffnungen darstellen, so daß jede Hängebrücke mindestens drei Oeffnungen zu haben pflegt. Setzt man für die Länge s einer Spannkette näherungsweise (Fig. 9) s² = l² + k², so folgt 2sds = 2ldl und für genügend kleine endliche Aenderungen:

Da man nun für eine Kettenkraft H_z(s/l) hat Δs = H_z/EF s²/l und für eine Temperaturänderung τ Δs = ατs, so gilt für Spannketten:

Der Vergleich mit 43. zeigt, daß die Gleichungen 43.–46. auch für Hängebrücken mit Spannketten (ohne Fahrbahnbelastung und ohne Versteifungsträger) gelten, wenn in den Oeffnungen mit Spannketten an Stelle von 42. gesetzt werden:

[715] f) Grenzwerte. Die Grenzbeanspruchungen der Ketten und Tragstangen, sowie die Grenzwerte der Vertikalreaktionen V, V' der Kettenstützen treten nach den Formeln unter b) zugleich mit den Grenzwerten von H_z ein. Um diese zu erhalten, hat man in allen Oeffnungen, welche Einfluß auf H_z ausüben (s. oben), einmal möglichst stark (durch Eigengewicht und Verkehrslast), das andremal möglichst schwach (durch Eigengewicht allein) zu belasten, während bei statisch unbestimmtem H_z (vgl. d), e) im ersten Falle möglichst niedrige Temperatur (τ negativ), im zweiten möglichst hohe Temperatur (τ positiv) zu wählen ist. Für den Versteifungsträger sind in erster Linie die Grenzwerte des Moments M_x und der Vertikalkraft W_x festzustellen, womit, weil für x = 0 W_x = A und für x = l W_x = – A', auch die Grenzwerte der Stützenreaktionen A, A' bekannt werden. Wir ziehen im folgenden für Hängebrücken ohne Zwischengelenk beliebige Oeffnungen, dagegen für Hängebrücken mit Zwischengelenk nur die Oeffnung, welche das letztere enthält, in Betracht, während bezüglich der übrigen Oeffnungen das Nötige am Schlusse von c) gesagt wurde. Es handelt sich zunächst um die Grenzwerte von M_x durch die Lasten Q der betrachteten Oeffnung, welche häufig die einzige verkehrsbelastete sein wird (Fig. 1). Da sich zeigt, daß der aus 16., 24. folgende allgemeine Ausdruck des Moments am Versteifungsträger:

auch das Moment durch die Q für einen wie die Kette geformten steifen Bogen mit Kämpfergelenken darstellt, und der aus 16., 24. hervorgehende allgemeine Ausdruck der Vertikalkraft am Versteifungsträger:

zugleich T_x : cos φ durch die Q für einen solchen Bogen darstellt, unter T_x die Transversalkraft (Querkraft) des letzteren verstanden, so lassen sich die Belastungen für die Grenzwerte von M_x, W_x am Versteifungsträger ganz wie diejenigen eines wie die Kette geformten einfachen Bogens mit Kämpfergelenken. erhalten (Weyrauch, Elastische Bogenträger, München 1897, S. 39, 62, 84), wonach man folgende Regeln hat. Grenzwerte von M_x (Fig. 10, 11): Man ziehe aus beiden Stützpunkten der Kette Gerade durch den Achspunkt des Kettenquerschnitts x bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S; für max. pos. M_x sind die Knotenpunkte zwischen diesen Schnittpunkten, für max. neg. M, die übrigen Knotenpunkte der Spannweite möglichst stark zu belasten. Grenzwerte von W_x (Fig. 12, 13): Man ziehe eine Parallele zur Kettenachse bei x aus demjenigen Kettenstützpunkt, aus welchem eine solche möglich ist, bis zum Durchschnitt mit der Kämpferdrucklinie S; es sind einmal die Knotenpunkte zwischen diesem Schnittpunkt und dem Querschnitte x, das andremal die übrigen Knotenpunkte der Spannweite möglichst stark zu belasten. Die erste Belastung liefert den positiven oder negativen Grenzwert, je nachdem die Parallele vom Stützpunkt 0 oder l aus gezogen wurde (auf der ersten Trägerhälfte also den positiven). – Häufig treten einzelne der erwähnten Durchschnitte nicht innerhalb der Spannweite ein, womit dieselben auch keine wirklichen Belastungsgrenzen liefern, ohne daß hierdurch die Allgemeinheit der angeführten Regeln beeinträchtigt wird. Die Gleichung der Kämpferdrucklinie (s. Kämpferdrücke), bezogen auf die Achsen der x, y (Abszisse a, Ordinate b), ist allgemein:

worin H_z einer bei a angreifenden Einzellast Q entspricht. Speziell für einen Versteifungsträger mit Zwischengelenk in der Mitte hat man

die Linie S ist wie in Fig. 11, 13 bestimmt. Für einen Versteifungsträger ohne Zwischengelenk gilt bei parabolischer Kette mit einer Oeffnung:

mit mehreren Oeffnungen:

Jedoch darf β in 54. und dem durch 42. bestimmten h für Tragketten vernachlässigt werden, womit das gleiche mit dem ganzen durch 49. bestimmten h für Spannketten gilt und für Hängebrücken mit hur einer tragenden Oeffnung Gleichung 54. mit β = 0 an Stelle von 55. Verwendung finden kann. Die Linie verläuft etwa wie in Fig. 10, 12. Für einen Versteifungsträger mit Zwischengelenk ist der angeführten Bestimmung der Grenzwerte nichts zuzufügen (vgl. am Schlusse von c). Für Versteifungsträger bei Hängebrücken ohne Zwischengelenk jedoch sind mit den[716] von der Belastung der betrachteten Oeffnung l herrührenden Grenzwerten die durch die Belastung außerhalb l und die Temperaturänderungen erzeugten Grenzwerte, welche durch die Gleichungen unter b) (mit den betreffenden Grenzwerten von H_z nach 45. oder 46.) bestimmt sind, so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige, d.h. möglichst weit auseinander liegende Grenzwerte im ganzen entstehen. Bezüglich genauerer Berechnung der Grenzwerte durch Radlastzüge s. Grenzwerte, Einflußlinien und [5], bezüglich weiterer Berechnungen für Hängebrücken [5], [15], [18], [35], [36].

Vorläufige Berechnung. Es handelt sich um das gewöhnliche Verfahren für einfache Versteifungsträger, wobei die im Falle von Versteifungsträgern ohne Zwischengelenk neben der Belastung der in Frage stehenden Oeffnung auftretenden Einflüsse vernachlässigt oder nur schätzungsweise berücksichtigt werden. Nachdem die vorläufigen Querschnitte bekannt sind, können nach den gegebenen Formeln alle Größen genauer berechnet werden.

Es seien pro Längeneinheit Spannweite g₀ die Normalbelastung der Konstruktion ohne die Kette, g_k die Belastung durch die Kette, q die größte vom Versteifungsträger auf die Kette zu verteilende Last, dann hat man den größten Horizontalschub der Kette nach dem bisherigen:

worin bei Versteifungsträgern mit Zwischengelenk β = 0. Bezeichnen ferner s die Kettenlänge auf der Spannweite l, γ das Gewicht der Volumeneinheit Kettenmaterial, R die größte Kettenkraft bei der höchsten Stütze, wo φ₀ der Neigungswinkel der Kette gegen die Horizontale, und σ die zulässige Beanspruchung pro Querschnittseinheit der Kette, also R : σ den theoretischen Kettenquerschnitt und

den wirklichen Kettenquerschnitt, wenn μ einen Erfahrungskoeffizienten bedeutet, dann haben wir in 56.:

und damit den Kettenquerschnitt:

womit auch das durchschnittliche Kettengewicht pro Längeneinheit Spannweite bestimmt ist, während Fγ das Kettengewicht pro Längeneinheit Kette darstellt.

Bezeichnen schließlich m die Anzahl der Tragstangenreihen, auf welche sich vorstehende Gleichungen beziehen, λ der auf eine Tragstange der Länge h_x entfallende Teil der Spannweite, und d₁, γ₁, σ₁ Durchmesser, Gewicht pro Volumeneinheit und zulässige Beanspruchung pro Querschnittseinheit Tragstange, dann hat man für die ganze Beanspruchung der letzteren:

woraus der nötige Durchmesser der Tragstangen:

Sollen die Tragstangen alle gleich stark werden, so ist für h_x die größte Länge einer solchen zu setzen, bei Vernachlässigung des Eigengewichts jedoch hat man h_x = 0.

Den Konstruktionskoeffizienten μ wählte beispielsweise Kübler [22] bei seinem Projekte der Schwurplatzbrücke (Elisabethbrücke) in Budapest (l = 314 m, f = 27,5 m) für Kabel aus Gußstahldraht μ = 1,07, für Ketten aus Flußeisen, Flußstahl oder Tiegelgußstahl μ = 1,15. Der Wert von β, welcher bei Anwendung von Versteifungsträgern mit Zwischengelenk gleich 0 ist, könnte auch im Falle von Versteifungsträgern ohne Zwischengelenk bei der vorläufigen Berechnung 0 gesetzt werden, Kübler nahm bei jener Brücke an 1/1 + β = 0,96. Auch das Trägheitsmoment des Versteifungsträgers J läßt sich vorläufig berechnen. Mit einem von Schwend gegebenen Ausdruck [15], S. 32, und dem Ausdruck 57. erhielt der Verfasser aus 32. für das Küblersche Projekt der Budapester Brücke β = 0,0225.

Der Ursprung der Hängebrücken ist nicht bekannt. In China, wo sie sich als Seilbrücken am weitesten zurückverfolgen lassen (bis etwa ins dritte Jahrhundert unsrer Zeitrechnung, vgl.[717] Engineer 1872, S. 139), wurden auch zuerst eiserne Ketten verwendet. Ein zwischen 1595 und 1616 zu Venedig erschienenes Werk von Fausto Veranzio (Machinae novae etc.) stellt verschiedene Hängebrücken dar. 1796 führte Finlay zwischen Town und Greenburg in den Vereinigten Staaten eine Straßenbrücke von 21,3 m Spannweite nach der jetzt gebräuchlichen Anordnung aus (Fahrbahn durch Tragstangen an den Ketten aufgehängt, welche über die Pylonen weg zu den tieferliegenden Verankerungen reichen). Die erste Drahtseilbrücke wurde 1815 bei Pittsburg in Amerika mit 124,4 m Spannweite und zwei Kabeln aus je drei Drähten von 9,5 mm Dicke erbaut, sie fand besonders in Amerika und Frankreich zahlreiche Nachahmungen. Erst nach und nach wurde genügende Versteifung erreicht, wie sie beispielsweise für Eisenbahnbrücken unerläßlich ist. 1850–55 führte Röbling die erste Eisenbahnhängebrücke, von 250,3 m Spannweite, über den Niagara aus. Fig. 14 zeigt die Zunahme der Spannweiten von Hängebrücken im 19. Jahrhundert [27]. Die größte Spannweite einer ausgeführten Hängebrücke besaß lange die Brooklynbrücke über den East-River in New York, 486,3 m [8], sie wird jetzt überboten durch die 1903 vollendete Williamsburgbrücke über den East-River in New York mit 487,7 m Spannweite der Hauptöffnung [34], [36], S. 289. Die vier Kabel dieser Brücke enthalten je 7696 Drähte von 4,88 mm Durchmesser. Größte Brückenspannweite überhaupt bisher 521,2 m, in Ausführung begriffen 548,9 m, vgl. Gelenkträger, durchlaufender, und Spannweite.

Literatur: [1] Navier, Rapport et Memoire sur les ponts suspendus, Paris 1823. – [2] Malberg, Historischkritische Bemerkungen über Hängebrücken, Zeitschr. f. Bauwesen 1857, S. 225, 559, und 1859, S. 397, 547. – [3] Hager, Die Eisenbahn-Draht-Hängebrücke über den Niagara in Amerika, Civilingenieur 1858, S. 27, 113. – [4] Steiner, Ueber Brückenbauten in den Vereinigten Staaten, Wien 1878, S. 161. – [5] Müller-Breslau, Theorie der durch einen Balken versteiften Kette, Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1881, S. 57 (erste befriedigende Berechnung der Versteifungsträger, zunächst für eine Oeffnung, Berücksichtigung von Verschiebungen über den Pylonen und damit mehrerer Oeffnungen s. [10], [15]). – [6] Heinzerling, Die eisernen Hängebrücken (Die Brücken der Gegenwart, 5. Heft), Leipzig 1882. – [7] Ritter, Statische Berechnung der Versteifungsfachwerke der Hängebrücken, Schweiz. Bauztg. 1883, I, S. 6, 14, 19, 23, 31, 36. – [8] Szen, Die East-Riverbrücke, insbesondere die Baugeschichte derselben, Deutsche Bauztg. 1883, S. 547, 560 (s.a. Schweiz. Bauztg. 1883, I, S. 148, und Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1884, S. 98, 118). – [9] Fischer, Experimentelle Untersuchungen über die Zugfestigkeit und Zugelastizität von Metalldrähten, Civilingenieur 1884, S. 391. – [10] Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 121, 125 (vgl. Zeitschr. f. Baukunde 1882, S. 104). – [11] Winkler, Theorie der Brücken, I, Aeußere Kräfte der Balkenträger, Wien 1886, S. 185. – [12] Levy, Memoire sur le calcul des ponts suspendus rigides, Annales des ponts et chaussées 1886, II, p. 179. – [13] Steiner, Theorie statisch unbestimmter Systeme unter Berücksichtigung der Anfangsspannung, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1886, S. 179 (vgl. Wochenschr. d. Vereins 1887, S. 107). – [14] Bestimmungen für die Untersuchung der französischen Hängebrücken, Zentralbl. der Bauverwalt. 1887, S. 171. – [15] Schwend, Ueber Berechnung und Konstruktion von Hängebrücken, Leipzig 1887. – [16] Rudeloff, Untersuchungen über die Beziehungen zwischen der Zugfestigkeit von Drahtseilen und deren Konstruktion, Mitteil. d. Berliner Versuchsanstalten 1889, S. 128. – [17] Tetmajer, Mitteil. d. eidg. Festigkeitsanstalt, 4. Heft, Zürich 1890, S. 227 (auch 3. Heft, Zürich 1886, S. 77). – [18] Report of board of Engineer officers as to a maximum span practical for Suspension bridges, Washington 1894 (Auszug in [27], S. 630, 634). – [19] Zschetzsche, Der internationale Wettbewerb um zwei in Budapest zu erbauende Straßenbrücken, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1894, S. 979, 1035, 1119, 1238 (Hängebrücke von Kubler, S. 982, s.a. 1900, S. 558, 592 und dagegen [22]). – [20] Godard, Recherches sur le calcul des tabliers des ponts suspendus, Ann. des ponts et chaussées 1894, II, S. 105. – [21] Kubler, Preisgekrönte Entwürfe von Brücken, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1895, S. 861. – [22] Ders., Die Brückenkonkurrenzen in Budapest, Turin und Bonn, Monatsschr. d. württ. Vereins s. Baukunde 1895–96, S. 24 (Kostenvergleiche). – [23] Lindenthal, Die projektierte Brücke über den Hudson (North-River) bei New York (Spannweite 945 m), Ann. f. Gewerbe u. Bauwesen 1896, S. 93, 113. – [24] Mehrtens, Hängebrücken der Neuzeit, »Stahl und Eisen« 1897, S. 495, 868, 1049. – [25] Straßenbrücke über die Argen bei Langenargen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing., 1899, S.U. – [26] Melan, Zur Bestimmung der Spannungen in den durch einen geraden Balken mit Mittelgelenk versteiften Hängeträgern, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1900, S. 553. – [27] Weyrauch, Ueber die Zunahme der Brückenspannweiten im 19. Jahrhundert, Zeitschr. f. Bauwesen 1901, S. 465, 617. – [28] Müller-Breslau, Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Bd. 1, Leipzig 1901, S. 404; Bd. 2, Leipzig 1903, S. 167, 265, 289, 418, 433. – [29] Hrabak, Die Drahtseile, Berlin 1902 (s.a. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1902, S. 716; 1903, S. 27, 29, 44, 138; 1904, S. 433; 1905, S. 114, 685). – [30] Benndorf, Beiträge zur Theorie der Drahtseile, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1904, S. 433, 449. – [31] Die Eisenkonstruktion der Elisabethbrücke in Budapest, Schweiz. Bauztg. 1904, XLIV, S. 1,42,53. – [32] Müller-Breslau, Neuere Methoden der Festigkeitslehre, Leipzig 1904, S. 55, 195. – [33] Dirksen, Die drei neuen East-River-Brücken, Zentralbl. der Bauverw. 1904, S. 117, 136, 141. – [34] Bernhard, Die Williamsburgbrücke über den East-River in New York, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1904, S. 1213, 1308 (s.a. 1901, S. 317). – [35] Bohny, Theorie und Konstruktion versteifter Hängebrücken, Leipzig 1905. – [36] Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Bd. 2, 5. Abt.: Eiserne Bogenbrücken und Hängebrücken (von Melan), Leipzig 1906. – S.a. Kabel, Kettenlinien, Drahtseile, Drahtprüfungen, Versteifungsbalken, und Träger, zusammengesetzte; vgl. Hängebrücken, feste.

Weyrauch.